КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

зыходнага ўраўнення атрымаем — = х. У выніку атрымліваем at
dx dy нармальную сістэму ўраўненняў У’~^~ ~х
Заўвага 2. Можна сцвярджаць і адваротнае, што, пры некаторых умовах нармальная сістэма п га парадку (3) будзе эквівалентнай аднаму ўраўненню парадку п . Сапраўды, дыферэнцуючы першае ўраўненне з (3) і замяняючы х, праз іх выразы fi(t,x/,...,xn), dft	д/,	df,	df,
атрымаем x7 = — + — ■ Ji + — f2+...+7— • fn, гэта значыць ot	OX j	OX 7	dxn
выраз віду xt = F2(t,Xj,...,xn). Дыферэнцуючы атрыманае ўраў
dF2	dF2
ненне па /, з улікам (3) будзем мець х, = ~+ +7—’+
ot	OX ]
dF2	dF2
+ т^/2+...+—fn, або xt = F3(t,xl,...,xn). Працягваючы
OX 2	O^n
далей, атрымаем х^* = Fn(t,xl,...,xn). 3 атрыманай сістэмы п1 ураўненняў можна, наогул кажучы, вызначыць п1 велічынь х2,х3,...,хп праз t,xI,xl,...,x(ln~l). Падстаўляючы гэтыя выразы ва урауненне для х\ , атрымаем ураўненне віду
x(jn) =Ф(1,хІ,хІ....х(,п,)).
3 самога спосабу атрымання гэтага ўраўнення вынікае, што калі X](t),x2(t),...,xn(t) рашэнне сістэмы (3), to x,(t) будзе яму задавальняць. А ў тым, што Xj(t),x2(t),...,xn(t)рашэнні (3), можна лёгка ўпэўніцца (гл., напрыклад, [2], глава VII, § 1, с. 247). Магчымасць пераходу ад сістэмы да эквівалентных ураўненняў можна выкарыстаць пры рашэнні гэтых сістэм.
Прыклад 4. Рашыць сістэму х = у, ў = х.
240
d2x dy
Рашэнне. Дыферэнцуем першае ўраўненне —2" = —, выdt dt
d2x	„
карыстоўваючы другое, атрымаем —т+х = 0, адкуль х = Cj cos t +
+ С2 sin t; далей з першага ўраўнення у =
dx dt
Ct sin t +
+ C2 cos t. Прыведзеныя вышэй выкладкі не прывядуць сістэму да аднаго ўраўнення п га парадку, калі не выконваецца ўмова вырашальнасці апісанай сістэмы п1 ураўненняў адносна х2,х3,...,хп. Напрыклад, сістэму xt = frft.X)), х2= f2(t,xhx2) немагчыма замяніць эквівалентным ураўненнем другога парадку адносна xt, але калі f2 сапраўды залежыць ад х,, то можна скласці эквівалентнае ўраўненне другога парадку адносна х2.
Будзем разглядаць сістэму (3). Калі ^l(t),...,tpn(t) рашэнне сістэмы (3) на прамежку (а;Ь), то мноства пунктаў (t,tyi(t),...,tyn(t)), te(a;b) называецца інтэгральнай крывой. 3 азначэння рашэння вынікае, што інтэгральная крывая належыць абсягу G.
Задача Кашы для сістэмы (3) фармулюецца так: знайсці рашэнне ф/,...,ф„ сістэмы, якое задавальняе пры t = t0 пачатковым
умовам,
Ф/|,_, ^’Ч^' =X20^n\,t ^Хп	W
Геаметрычна гэта азначае, што патрабуецца пабудаваць інтэгральную крывую , якая будзе праходзіць праз дадзены пункт абсягу G.
Калі ў сістэме (3) t разглядаць як час, xt, х2, .... х„ як каардынаты пункта п мернай прасторы (фазавай прасторы) ОхІх2...хп (у выпадку п = 2 гэтая прастора ёсць плоскасць OxjX2 (фазавая плоскасць)), то яе рашэнне
X] = ^^t), х2 = ^2(t)....хп = ^n(t)	(5)
241
называецца рухам, азначаным гэтай сістэмай, а шлях, які апісвае рухомы пункт у фазавай прасторы (на фазавай плоскасці), траекторыяй гэтага руху.
Відавочна, траекторыя рашэння з’яўляецца праекцыяй адпаведнай інтэгральнай крывой у фазавую прастору.
Левыя часткі сістэмы (3) ёсць складовыя (па восях каардынат) скорасці руху пункта. Таму сістэма (3) задае так званае поле скарасцей рухаў, так што пункт можа праходзіць у момант часу t праз становішча (Х],х2,...,хп) толькі з дадзенай скорасцю.
Калі скорасць, з якой пункт праходзіць праз становішча (Х],Х2,...,хп), не залежыць яўна ад моманту часу праходжання, гэта значыць сістэма (3) мае выгляд
xi=fi(x],...,xn), і = 1,п, то яна называецца стацыянарнай, або аўтаномнай сістэмай.
У тым выпадку, калі ў пачатковым пункце {xt ,х2,...,хп) правыя часткі сістэмы (3) ператвараюцца ў нуль пры ўсіх разглядаемых значэннях часу t, сістэма (3) вызначае рух віду
хІ=х°1,х2=х02,...,хп=х°п. (6)
Такі рух называюць станам спакою. Траекторыя руху (6) з’яўляецца пунктам (Xj ,х2,...,хп ), які называюць пунктам спакою, або пунктам раўнавагі сістэмы (3).
Прыклад 5. Разгледзім сістэму х = х, ў = 2у.
Знойдзем рухі, вызначаемыя гэтай сістэмай, і даследуем іх уласцівасці. Адзначым, што сістэма аўтаномная. Пачатак каардынат з’яўляецца пунктам спакою, бо правыя часткі сістэмы ператвараюцца ў нуль пры ўсіх значэннях часу t. Гэтаму пункту адпавядае рух х = 0, у = 0стан спакою. Усё сямейства рухаў даецца формулай Xj = С]е', у = С2е2', дзе С/,С2адвольныя пастаянныя. Выдзелім X/ = С/е', у = С2е21, дзе C], С2адвольныя пастаянныя. Выдзелім рух, які задавальняе пачатковым умовам х = 1, у = 1 пры
242
t = 0, гэта значыць pyx, для якога рухомы пункт знаходзіцца ў пункце (1,1) у момант часу t = 0.
Падстаўляючы ва ўраўненне сямейства рухаў t = 0, х = 1, у = 1, знаходзім С1 = 1,С2=1, так што шуканым рухам будзе х = е', у = е2'.
Траекторыяй гэтага руху служыць паўпарабала у = х2 (х > 0), прычым з ураўнення руху відаць, што пры t > 0 пункт будзе рухацца ад пункта (1,1), аддаляючыся на °° з узрастаннем t . Гэтатаксама відаць і з самой сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў, dx	dy
бо для х> 0, у> 0 будзем мець —>0,——>0, таму з at	at
павелічэннем часу t абедзве каардынаты х і у пункта (х,у) таксама павялічваюцца. Пры t <0 пункт рухаецца ад пачатку каардынат (t = <») да пункта (1,1).
Нармальная сістэма (3) у вектарным запісе прымае выгляд дыферэнцыяльнага ўраўнення
x = f(t,x),	(7)
дзе f :G —> Rn непарыўная функцыя, G cz Rn+I, f = colon (j!,..., fn\ x = colon [x,,...,xn) & Rn.
Рашэннем вектарнага дыферэнцыяльнага ўраўнення (7) назавём функцыю tp:(a;b) ^ Rn, калі выкананы наступныя ўмовы: 1) ^(t) дыферэнцавальная пры ўсіх t е (а;Ь) ;
2)	[t,^(t)]eG прыўсіх t ё(а;Ь);
3)	ty(t) = f(t,y(t)) пры ўсіх te(a;b).
У вектарнай форме пачатковыя дадзеныя задачы Кашы прымаюць выгляд (t0,x°) е G, рашэнне ^(t) задачы Кашы павінна задавальняцьумове ^(t0)x0.
У некаторых выпадках пры рашэнні сістэмы (7) бывае лягчэй
243
знайсці спачатку камплексныя рашэнні сапраўднага ўраўнення, а затым выдзеліць ужо з іх сапраўдныя рашэнні (напрыклад, як у выпадку лінейных сістэм з пастаяннымі каэфіцыентамі, § 3.2).
Разгледзім нармальную сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў
Zj = wj(t,zl,z2...zj,j = l,n.	(8)
Камплексныя рашэнні (8) будзем адшукваць пры ўмове, што функцыі wJ(t,z],z2,...,zn) вызначаны для камплексных значэнняў зменных Z],z2,..,zn. Можна абмежавацца, напрыклад, выпадкам, калі гэтыя функцыі з’яўляюцца паліномамі адносна зменных zI,z2,...,zn з каэфіцыентамі ў выглядзе сапраўдных або камплексных функцый сапраўднай зменнай t, вызначаных і на інтэрвале (а;Ь).
Сістэму
Zj^a/t), j = l,n	(9)
камплексных функцый сапраўднай зменнай t, зададзеных на некаторым інтэрвале aj(t), j = 1,п сістэмы (8), якое будзе задавальняць пачатковым умовам Ы}(і0) = г^,] = 1,п. Пры гэтым усякія два рашэнні з аднолькавымі пачатковымі ўмовамі супадаюць на агульнай частцы іх інтэрвалаў вызначэння. Для гэтага заменім нармальную сістэму (8) камплексных ураўненняў
244
нармальнай сістэмай (3) сапраўдных ураўненняў. Дапусцім, Zj = ху + iyj, jl,n, тады замест(8) атрымаем
Xj+Wj= fj(t>*i......xn,yI,...,yn) + igj(t,xl,...,xn,yI.yj, (10),
дзе fj i gj сапраўдныя функцыі сапраўдных аргументаў, якія задавальняюцьсудачыненням fJ(t,x/,...,xn,yJ,...,yn) + + igj(t,x1,...,xn,yl,...,yn)= w/t^ +іУі,...,хп + іуп).
3 (10) будзем мець
xi=fi(t,xl,...,xn,yl,...,y„),i = l,n,
Ўі = gi(t.xl,...,x„,y1,...,yn), і = 1,п.
Такім чынам, сістэма (8) замянілася сістэмай (11).
Калі меркаваць, што правыя часткі ўраўненняў (8) з’яўляюцца паліномамі адносна zltz2,...,zn, то правыя часткі (11) fj,gj будуць паліномамі адносна xlt...,xn,y lt...,yn. Прычым каэфіцыенты гэтых паліномаў будуць непарыўнымі функцыямі на інтэрвале (а;Ь), таму што на гэтым інтэрвале непарыўнымі з’яўляюцца каэфіцыенты паліномаў w,. У сілу таго, што пры гэтых умовах выконваецца тэарэма існавання і адзінасці рашэнняў у сапраўдным выпадку (гл. наступны параграф), можна сцвярджаць, мяркуючы Zj° = Xj°+iyj°, Wj(t) = (ру(і) + іуj(t), што існуе адзінае рашэнне сістэмы (11) пры пачатковых умовах <^i(t0) = x]Q, Ч2(‘о) = у/> j = ^n.
Таксама, як і ў сапраўдным выпадку, у выпадку камплексным да нармальнай сістэмы можна прывесці дастаткова агульныя сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў.
Прыклад 7. Прывесці сістэму камплексных ураўненняў Zj = zl + iz2,z2 = z2 +iZ/ да сістэмы сапраўдных ураўненняў.
Рашэнне. Няхай Z] = Xj +iy/t z2 = x2 +iy2 ёсць камплексныя невядомыя функцыі сапраўднай зменнай t. Падставіўшы ў да
245
дзеную сістэму, атрымаем
*1 +іЎі =(*і +іУі)2 +і(х? +іу2) = (хі2 ~Уі2 у2)+і(2хІуІ +х2),
*2 +ІЎ2 =(х2 +ІУ2)2 + І(Х1 + ІУ1) = (х22 ~У22 ~У1) + І(?Х2У2 + хі)Адкуль сістэма сапраўдных ураўненняў мае выгляд
Х1=Х12У2У2’ Ўі=2хіУі+х2,
*2 = х22 У22 Уі’ Ў2= 2х2У2 + Х1 •
§ 2.	Тэарэма адзінасці
Няхай f](t,xl,...,xn),...,fn(t,x1,...,x„) непарыўныя функцыі са значэннямі ў R, вызначаныя для сапраўдных / з інтэрвалу I С. R і для пунктаў х = colon(xl,x2,...,xn) з адкрытага абсягу Da.Rn, абазначым G = I х D = {(t,x):t ё I, х е d}. Як і ў § 1, разгледзім сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў адносна невядомых функцый x1(t),x2(t),...,xn(t):
Х,= fi(t'xl.>xn) (І = ^п) або ў вектарнай форме
x = f(t,x), (12) дзе x(t) і f(t,x) вектарныя функцыі (слупкі) з каардынатамі Xj(t),...,xn(t) і f/t,x),...,fn(t,x) адпавепна.
У якасці рашэння ўраўнення (сістэмы) (12) азначым любую непарыўна дыферэнцавальную функцыю ^>(t), зададзеную на інтэрвале Д с Z, якая прымае значэнні ў D і задавальняе тоеснасці Ф^> = /(лф^>), /бА.
Скажам (гл. § 1), што пастаўлена задача Кашы або пачатковая задача, калі патрэбна знайсці рашэнне ўраўнення (12), якое задавальняе пачатковай умове
x(t0) = x°. (13)
246
У выпадку, калі для любых to & I, х° & D задача Кашы (12), (13) мае адзінае рашэнне, кажуць, што ўраўненне (12) задавальняе ўласцівасці існавання і адзінасці рашэнняў. Адзначым, што, як і раней, адзінасць рашэння тут разумеецца ў наступным сэнсе: калі функцыі фу/Д; ^ Z), ^2:^2 ~^ ^ задавальняюць ураўненню (12) і пачатковай умове (13), to ^^t) ^2(^) Для ? е Д/ гл Д2 •