Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
Абагульняючы ўсё сказанае вышэй, сфармулюем умовы існавання (0перыядычнага рашэння ў рэзанансным выпадку.
Калі выканана ўмова (40), ў° задавальняе ўраўненню (43) і мае месца (44), то сістэма (38) мае (0 перыядычнае рашэнне у(t,^.), z(t^), вызначанае і непарыўна дыферэнцавальнае па ц у некаторым наваколлі пункта Ц = 0 і роўнае пры Ц = 0 параджальнаму ра
шэнню у(і,у° ), z(t). Такое рашэнне адзінае.
Да ўраўнення (42), якое вызначае няяўную функцыю z =z (у ,|1/ z =z (у ,0), можна прымяніць тэарэму аб няяў
най функцыі і ў тым выпадку, калі
dW
det ~~^( V ) = 0. Тады (41) dy
прымае выгляд
Efy^^Y^.z^y0^))^.
Апошняе ўраўненне выконваецца пры у° =у, ц = 0.
Відавочна, V(y° ,0) = W('yn ).
Ураўненне W(yn) = 0 вызначае пачатковыя значэнні ў па
раджальных рашэнняў, а ўраўненне V(у° ,[і) = 0 залежнасць па
272
між у° і параметрам ц для (йперыядычнага рашэння сістэмы (38), якое адпавядае параджальнаму рашэнню y(t,y° ),z(t). Гэтае ўраўненне называюць біфуркацыйным ураўненнем (ураўненнем галінавання), таму што кожнай непарыўнай галіне У°(Н). у°(О) = ў рашэння гэтага ўраўнення адпавядае (0перыядычнае рашэнне сістэмы (38), якое імкнецца пры ц —» 0 да параджальнага рашэння.
3°. Аўтаномныя квазілінейныя сістэмы.
Разгледзім аўтаномную сістэму
х = Ах +f+ \JcF(x,\)l), (45)
дзе f, F задавальняюць тым жа ўмовам, што і ў (34), але не залежаць ад Z, у прыватнасці, / пастаянны вектар.
У сілу таго, што аўтаномную сістэму можна разглядаць як перыядычную па Z з адвольным перыядам, узнікае пытанне вызначэння перыяду рашэння.
Будзем адшукваць адразу перыядычнае рашэнне параджальнага ўраўнення
х = Ах + f. (46)
Калі det А ^О, ураўненне (46) будзе мець рашэнне х = х = А~' f. Прычым агульнае рашэнне мае выгляд х = е'Ахп + А~' f. Яно будзе змяшчаць перыядычныя рашэнні (не роўныя х ) толькі пры наяўнасці ў J чыста ўяўных уласных лікаў. Кожнай пары ± а і такіх 2л уласных лікаў адпавядаюць перыядычныя рашэнні з перыядам —.
Значыць, неабходна адшукваць перыядычныя рашэнні з перыядам 2п
(0(Ц), для якога С0( .
2п
Мяркуючы О) = — ^/+ ца/ выканаем замену незалежнай
зменнай па формуле t = (1 + [іа)Т. Ад (45) пяройдзем да сістэмы
273
— = (l + [ia)(Ax + f + [iF) al
або
dx
— = Ax+ f + [1F, (x,^,a). (47)
Цяпер ужо будзем адшукваць перыядычныя рашэнні (47) з азначаным перыядам —. У сілу таго, што мае месца рэзананс, задача прывялася да разгледжанан у п. 2 , толькі з тон розніцан, што (47) змяшчае дадатковы параметр а. Ён будзе вызначацца, як функцыя ц разам з пачатковым значэннем х° перыядычнага
рашэння.
Прыклад 2. Знайсці перыядычнае рашэнне ўраўнення
х + ц.(х2 1 )х + х = 0, якое з'яўляецца частковым выпадкам ураўнення вандэрПоля.
Рашэнне. 3 улікам таго, што карані характарыстычнага ўраўнення, якое адпавядае параджальнаму ўраўненню, роўны +/, a новы час т звязаны са старым формулай t = (1 + ца) т, зыходнае ўраўненне прымае выгляд
d2 х 7 dx ,
—+ \х(1 + \мх)(х1)—+ (1 + й.а)~ х = 0 ,або
dx dx
d^x ■> dx
—~ + x = \x (1 х^)—2a(0)x dx ■ dx
+ O^2),
дзе O([l~ ) бясконца малая велічыня парадку ц? .
Шукаем рашэнне перыяду 2п. У параджальнага ўраўнення любое рашэнне перыядычнае. Яго можна запісаць у выглядзе х = A cos((pn + X). Паколькі ўраўненне аўтаномнае, зрухам Т атрымаем ф0 = 0. Запішам ураўненні (43), якія вызначаюць Яф = а(0):
274
2л
^[(1 A2 cos2
0
x)A sin x + 2A^cos xjsin x dx = 0,
2п
j [(7 А~ cos2 х)А sin х + 2A^cos xjcos х dx = 0. о
У выніку інтэгравання атрымаем
Адкуль, лічачы,
апошняй сістэмы
розніваецца ад
A 1 ,
— __Аз=0, А^ = 0.
2 8 н
што А ^ 0, знаходзім А~ =4, Р = 0. Якабіян
3 Л
роўны А\—— А' . Пры A = 2, р = 0 ён ад\ 2 8 J
нуля. Значыць, ураўненне вандэрПоля мае
перыядычнае рашэнне х(і,[і), для якога x(t,0) — 2cos t. Яго перыяд роўны 2п + О(ц2), таму што [3 = 0 .
§ 8. Аўтаномныя сістэмы і іх уласцівасці
Будзем разглядаць аўтаномныя сістэмы віду
х = f (х). (48)
Дапусцім, што вектарная функцыя f(x) непарыўная на некаторым адкрытым мностве D прасторы зменных х/,...,хп і задавальняе ўмове Ліпшыца ў любым замкнутым абмежаваным мностве, якое цалкам змяшчаецца ў D. Тады, у сілу тэарэм існавання і адзінасці, для любога сапраўднага ліку t0 і для любога пункта х" е D будзе існаваць адзінае рашэнне x^(t) сістэмы ўраўненняў (48) у некаторым наваколлі пункта (t^x0). якое задавальняе пачатковай умове ty(t0 ) = х°.
Як было сказана ў § 1, любое рашэнне x — ^(t) сістэмы (48) у прасторы зменныхх/,...,х„, што называюць фазавай прасторай,
275
вызначае крывую, якую з зададзеным на ёй параметрам t называюць траекторыяй.
У кожным пункце х е D вызначаны вектар f (х), гэта значыць, што сістэма (48) вызначае вектарнае поле на мностве D.
Калі x^(t) рашэнне сістэмы (48), вызначанае на некаторым інтэрвале (а;Р) і (p(t0) = x°, toe (a; ft), to
^(h) = /Ыіо)) = f(^° )■
Разглядаючы t як час, з апошняга судачынення заключаем, што крывая x — ^(t) у мностве D з’яўляецца траекторыяй сістэмы (48) тады і толькі тады, калі ў кожным яе пункце хп =ty(t0) скорасць ф^t0) роўна значэнню вектарнага поля f (х) у гэтым пункце.
Рашэнне сістэмы (48) валодае наступнымі ўласцівасцямі:
1° . Калі x = ^(t) рашэнне сістэмы (48), то пры любой пастаяннай С вектарфункцыя x = ty(t + C) таксама з’яўляецца рашэннем гэтай сістэмы.
Сапраўды,
^(?(t + C) = ^t + C) = f(q(t + С)\
2°. Дзве фазавыя траекторыі або не маюць агульных пунктаў, або супадаюць. Інакш кажучы, калі x — ^l(t) і х — <^~ (t)два рашэнні сістэмы (48) і (р'(tj) = (р2(t2), to ty2 (t)^1 (t + т), дзе T = tIt2.
Пакажам гэта. Функцыя х = ty1 (t + х), дзе X = і/ —t, у сілу 1° будзе рашэннем сістэмы (48), а ў сілу роўнасці q1 (t!) = ty2 (t2 ) маем ty1 (t2 + т) = ty1 (t ]) = ty2 ft 2 ).3годна з тэарэмай 1 рашэнні х = ^1 (і + х) і x^2(t) будуць супадаць, таму што яны задавальняюць аднолькавым пачатковым умовам пры t = t,.
276
3° . Групавая ўласцівасць: калі x = ^(t,x° ) ёсць рашэнне сістэмы (48), якое задавальняе пачатковым дадзеным х° = ^(О.х0 ), тады ф^, фбs, х° ў) = <р(/ + s,x° ).
Сапраўды, пры х1 =^(s,x°) будзем мець ^(t) — ^(t,xi) рашэнне (48) і ^2 (t)^(t ‘г s,x') таксама рашэнне (48) (гл. 1°). Пры гэтым ^)1 (0) = ^(О.х1) = х', Ц)2 (0) = (p(s,x° ) = х1. Гэта значыць, што ^ (t) і ^2 (t) задавальняюць аднолькавым пачатковым умовам. А ў сілу тэарэмы 1 ty1 (t) = ty2 (t) або (pft.qfs.x0)) = = ty(s + t,x° ).
У § 1 было адзначана, што пункт а называецца становішчам раўнавагі, або пунктам спакою аўтаномнай сістэмы (48), калі f(a) = O.
4° . Калі a становішча раўнавагі , то вектарфункцыя x(t) = a, оо < t < 40° з’яўляецца рашэннем (48).
dx da \ r
Сапраўды, — = — = 0; f\x(t)) = f (a) = 0. Інакш кажуdt at
чы, калі a становішча раўнавагі, to пункт x = a ёсць фазавая траекторыя.
Разгледзім цяпер x^(t)рашэнне сістэмы (48), вызначанае пры °° (t) пры ўсіх t, лік X будзем называць перыядам рашэння x — ^(t). Пакажам, што мноства ўсіх перыядаў рашэння х = ty(t), абазначым яго Р, валодае наступнымі ўласцівасцямі: 1. Калі х& Р, то хе Р.
На самай справе, маем ф(7 4Т,) = ф(7/ Замяняючы t на tX, атрымаем ^(t)^(tx), гэтазначыцьТ ёсць перыяд.
2. Калі Xj е Р, Х2 G Р, то х1 4с, е Р.
Гэта вынікае з роўнасцяў (p(t + X/+X2) = (p(t + XJ) = (f)(t).
277
3. Р замкн}'тае мноства.
Сапраўды, у сілу непарыўнасці ty(t) маем
^(t + Tn) = wt + lim Тп
= limy(t + хп) = lim ^(t)^(t), / «»°°
дзе {Т„ } збежная паслядоўнасць і Нт Тп = То. Такім чынам, ХоеР
і, значыць, Р замкнутае мноства (гл. [32], глава V, § 23, п. 5, с. 243).
Mae месца
Тэарэма 11. Няхай траекторыя x — ^>(t) аўтаномнай сістэмы (48) сама сябе перасякае. Тады рашэнне ^(t) можа быць падоўжана на інтэрвал —<» 0, што ф(/+ Г) = (р(?) пры ўсіх t, але пры 0<\(і~ь\<Т будзе Ф^/>*Ф^2>
Такім чынам, як вынікае з тэарэмы, рашэнне сістэмы можа быць толькі трох тыпаў: пастаянным, тады фазавая траекторыя пункт; перыядычным — фазавая траекторыя замкнутая (называюць цыклам); неперыядычным з траекторыяй без самаперасячэнняў.
Ізаляванае перыядычнае рашэнне сістэмы (48) (а таксама траекторыю К, што апісваецца гэтым рашэннем) будзем называць лімітавым цыклам гэтай сістэмы. Геаметрычна гэта азначае, што ў мностве траекторый, якія праходзяць праз пункты, дастаткова блізкія да К, няма замкнутых (акрамя самой К).
Няхай x = ty(t) лімітавы цыкл сістэмы ўраўненняў (48) і К замкнутая траекторыя, якая апісваецца гэтым рашэннем.
Калі ўсе траекторыі, якія пачынаюцца паблізу ад К як знутры так і звонку, набліжаюцца да К пры t^+°°, то лімітавы цыкл называюць устойлівым (мал. 1). Калі траекторыі, што пачынаюцца паблізу да лімітавага цыклу, набліжаюцца да яго пры t —> —оо і аддаляюцца ад яго пры t —> +», гэты лімітавы цыкл
278
называюць няўстойлівым (мал. 2). Калі траекторыі, якія пачынаюцца паблізу лімітавага цыклу, набліжаюцца да яго пры t —»+“ (адпаведна пры t —> «>) знутры, а пры t —> —°° (адпаведна пры t ^ +<») звонку, такія цыклы называюцца паўустойлівымі (мал. 3).
Тэарэтычнае і прыкладное значэнне лімітавых цыклаў прыдае асаблівую важнасць праблеме лакалізацыі і характарыстыцы гэтых траекторый. Аднак пры рашэнні адпаведных задач сустракаюцца цяжкасці, якія звязаны з адсутнасцю агульных аналітычных метадаў пастраення лімітавых цыклаў.
Мал. 1 Мал. 2 Мал. 3
Пры высвятленні пытання існавання лімітавых цыклаў сістэмы ўраўненняў (48) часта карыстаюцца прынцыпам кольца, які быў прапанаваны Пуанкарэ: калі ўдаецца пабудаваць кольца, абмежаванае дзвюмя ладкімі крывымі, такое, што на ім няма пунктаў спакою і ўсе траекторыі перасякаюць межы кольца, уваходзячы ў яго, то ўнутры гэтага кольца ёсць, прынамсі, адзін лімітавы цыкл.
На фазавай плоскасці адшукваюць кольца, як наступнае мноства:
г2 <(Хіх^)2 +(х2х°2)2 <г22.
Лімітавы цыкл усярэдзіне яго будзе існаваць, калі ўсе рашэнні сістэмы (48), якія пачынаюцца на мяжы гэтага кольца, уваходзяць у сярэдзіну кольца або адначасова выходзяць з яго.
Пры даследаванні ўраўненняў у Rn, п> 2 ролю лімітавых
279
цыклаў адыгрываюць лімітавыя торы і больш складаныя геаметрычныя паверхні.
КНІГІ ОНЛАЙН
