КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

Рашэнне. Згодна са сказаным вышэй, пры непарыўнасці вытворнай па х рашэнне будзе мець непарыўныя вытворныя па Ц да парадку к, а гэта значыць, што яно раскладаецца па ступенях параметра ц па формуле Тэйлара
х(і) = уо(і) + і1ч,(О + іі2у2(і)+..+і^
Падставіўшы гэтае раскладанне ва ўраўненне (29), папярэдне знайшоўшы x(t) і параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях |1 злева і справа, атрымліваем наступную сістэму для знаходжання \fi(t)\
b=VoVo(l) = ~l> ^і=^о^і+2Г‘ ,\}fl(l) = 0, Ў2=2ЧоЧ2 + Ч2іЧ2(1) = О,
3 улікам пачатковай умовы з першага ўраўнення атрымліваем ^ofO^G1 ■ Падстаўляючы \f0(t) у другое ўраўненне, будзем
мець ^ = 21 ,\\ll+2t \ \]fj(l) = O. Адкуль Vj(t) = 1Г .
Пасля падстаноўкі \|/0 і \|/ 7 у трэцяе ўраўненне атрымаем
ў2=—2і '\y2+(lt 2 )2, ^2(1) = 0 задачу Кашы для лінейнага
ўраўнення першага парадку (гл. § 1.6). Рашэннем гэтай задачы будзе
t 2	8	1
^^^n^V'
функцыя
Такім чынам, рашэнне задачы
(29), (30) мае выгляд
264
1	(	Jt 2	8	2
x(t) = + y. 7^ +ц+ — — +оГц>.
Гэтае раскладанне можна прадоўжыць тым жа спосабам.
Разгледзім сістэму ўраўненняў (22). Няхай л = ф(М1) 
нядоўжанае яе рашэнне, якое задавальняе пачатковым умовам  0 да параджальнага рашэння x(t), і гэтае рашэнне x(t,\l) адзінае.
3 гэтай тэарэмы вынікае, што калі карані Х; характарыстыч
нага ўраўнення, якое адпавядае ўраўненню
х(п) + a j х(п ~,} +...+а пх = f (t) + pF(t,x, х,..., х ^п ~ 1' ,\х) ,(36) дзе a/,...,ап пастаянныя, f(t)~ (0перыядычная функцыя па і, F (д перыядычная і непарыўна дыферэнцавальная па t, задавальняюць умове (35), то гэтае ўраўненне (36) мае (Оперыядычнае рашэнне x(t,n) такое, што х(і,0) = х(і),дзе x(t) (Оперыядыч
нае рашэнне параджальнага ўраўнення х,п) + а Іх,п~І>+...+ + апх = f (t), прычым такое рашэнне адзінае. Для знаходжання перыядычнага рашэння параджальнага ўраўнення карыстаюцца раскладаннем f(t) у рад Фур’е (гл. § 2.11).
Прыклад 1. Прыблізна вызначыць перыядычнае рашэнне ўраўнення х + 2х = sin t + [1х~.
Рашэнне. Будзем адшукваць рашэнне ў выглядзе
x(t,\l) = x0 (t) + ^,(t)+.. .+^пхп (t)+.... (37) Знаходзім перыядычнае рашэнне параджальнага ўраўнення х0 + 2х0 = sin t. Яно будзе мець выгляд х0 = sin t. Падстаўляючы рад (37) у дадзенае ўраўненне і параўноўваючы выразы пры ц злева і справа, атрымаем ураўненне X] + 2xj — sin't. Яго перыядычным
7 cos 2t
рашэннем будзе функцыя xt = —+—“—• Аналагічна знаходзяцца
x2(t),...,xn(t),.... Перыядычнае рашэнне запішацца ў выглядзе
x(t,\\.) = sin t + —(1 + cos 2t Jg+....
2°. Перыядычныя рашэнні пры рэзанансе.	^
Разгледзім сістэму (34) пры зробленых у п. 1° дапушчэннях, але не будзем патрабаваць выканання ўмовы (35). У гэтым выпадку
269
ўласныя лікі матрыцы А разаб’юцца на дзве групы: 'кІ,...,‘кІп (0 <т<п), для якіх гэтая ўмова парушаецца, а астатнія (яны могуць і адсутнічаць), для якіх яна выконваецца. Відавочна, \1,...,\т 2пі
маюць выгляд к, к € Z. Будзем меркаваць у далейшым, што
або сярод іх няма кратных, або ім адпавядаюць толькі простыя элементарныя дзельнікі. Сістэму (34) з дапамогай лінейнага неасаблівага пераўтварэння можна пераўтварыць так, каб матрыца А прыняла сапраўдную жарданаву форму: A — diag{B,C\ прычым матрыцы В адпавядаюць уласныя лікі першай групы, a матрыцы С — уласныя лікі другой (гл. § 3.2, п. 3°). У выніку гэтага сістэма прыме від
y = By + f/(t) + [iF/t.y.z, Ц/
z = Cz + f2(t) + \xF2(t,y,z>Vi),
дзе f/,f2 — (0перыядычныя функцыі, а Ft і F2 задавальняюць тым жа ўмовам, што і F у (34).
Разгледзім параджальную сістэму
ў = By + f/t), z = Cz + f2(t).	(39)
Будзем шукаць яе йперыядычныя рашэнні. У сілу таго, што для ўласных лікаў матрыцы С умова (35) выконваецца, то другое ўраўненне (39) мае адзінае CO перыядычнае рашэнне
z(t) = (En_me(aC)~’ ]e(‘')Cf,(x)dx, z(0) = z°
(гл. § 3.4, п. 5°). Тут Ек адзінкавая матрыца памеру кхк .
Першае ўраўненне зза таго, што е^ = Ет, мае CO перыядычныя рашэнні толькі тады, калі выконваецца ўмова (гл. у дадатку доказ тэарэмы 3.5, формула (30)) <0
je~,Bf/(t)dt^O.	(40)
о
270
Пры гэтай умове ўсе рашэнні y(t,y° ), у(0,у° ) = у° першага ўраўнення з (39) (0 перыядычныя.
Будзем адшукваць пры выкананні (40) С0 перыядычнае рашэнне сістэмы (38) y(t,y° ,z° ,[L), z(t,y° ,z° ,[і) з пачатковымі дадзенымі у°,z° пры t = 0, якое пры Ц = 0 ператвараецца ў параджальнае рашэнне ў(t,y'), z(t).
У сілу тэарэмы 6 рашэнне y(t,y° ,z° ,\l), z(t,y° ,zn ,[і) вызначаецца пры (е[0,®], калі велічыні |ц|, ^z° ~z°^ дастаткова малыя. Неабходнай і дастатковай умовай С0 перыядычнасці рашэння y(t,y° ,z° ,Ц), z(t,yu ,z° ,[і) з’яўляецца выкананне роўнасцяў (гл. доказ тэарэмы 3.12, формулы (28)(30)):
<о
0 = Y(y° ,z°4L) = J e,BFt (t,y(t,y° ,z° ,V),z((t,y° ,z°^))dt, (41) 0
0 = Z(y0,z0,v) = (e^ En^)z°+je(l°,)C[f2(t) +
o	(42)
+ llF2(t,y(t,y\z\]l),z((t,yl\z\[l))^ (У (41) улічана (40)).
Мяркуючы ў (41) ц = 0, атрымаем, што ў(Еу° ) павінна задавальняць ураўненню
W(y°) = J e^FXt.yft.y0 ),z(t),O)dt = 0 .	(43)
о
Няхай W(y°) = 0. Функцыі Y,Z ператвараюцца ў нуль у пункце (ў° ,z° ,0) і згодна з тэарэмай 9 будуць непарыўна дыферэнцавальнымі ў наваколлі гэтага пункта. Якабіян гэтых функцый (гл. [20], глава V, § 41, п. 41.3, с. 209) па зменных у ,z ва ўказаным пункце роўны
271
det^(y° Jdet^' En_in).
Другі множнік y гэтым выразе не роўны нулю ў сілу ўласцівасці матрыцы С. Значыць, калі выконваецца ўмова
, dW _n det^(y)^°, ov
(44)
то па тэарэме аб няяўнай функцыі (гл. там жа, с. 211) існуе адзінае рашэнне у° (у.), zn (\і) сістэмы (41), (42), такое, што у° (0) = ў°, z°(0) = z°. Пры гэтым атрыманае рашэнне непарыўна дыферэнцавальнае па ц пры дастаткова малых |ц|.