Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.
Гародня 2000
75.93 МБ
5.	Скласці лінейную аднародную сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў, фундаментальная матрыца якой мае выгляд
^е' cos t е' sin t
k sin t cos t )
II.	1. Устанавіць від частковага рашэння сістэмы
х = ху + 2(sin t +1), ў = 2ху + t(cos t +t).
2.	Знайсці, пры якіх а лінейнае ўраўненне другога парадку , 2ті
х + а х = sin —t не мае перыядычных рашэнняў з перыядам (0. (й
3.	Рашыць сістзму матрычным метадам:
хІ=2х1, х2=2х2, х3=Зх3.
229
4.	Знайсці агульнае рашэнне сістэмы
x = 2x4y + te‘ ,ў = х3у + 3е'.
5.	Рашыць задачу Кашы: х2 = х2, х2 = х3, х3 = xh Хі(0) = х,(0)= = х3(0) = 1.
III.	І.Знайсці, пры якіх а лінейнае ўраўненне другога парадку ..2	•
х + а~х = sin —t мае ўсе свае рашэнні, перыядычныя з перыядам (й.
2.	Рашыць метадам Даламбера сістэму ўраўненняў х = 2х4у + 1,ў = х + 5у.
3.	Рашыць задачу Кашы аперацыйным метадам:
х = х + 6х + 6е3' + 2е~2', х(0) = 0, х(0) = —.
4.	Рашыць неаднародную сістэму х + у = і2,ўх = 1.
5.	Знайсці агульнае рашэнне сістэмы xt = 15xj 6х2 + 16х3, х2 = J5xj~7x2 + 18х3 +1,х3 = 19X, 8х2 + 21х3 +ег.
IV.	1. Метадам выключэння знайсці агульнае рашэнне сістэмы X/ = 5х/ + 2х2 +е' ,х2 = X/ +6х2+ е~2'.
2.	Знайсці агульнае рашэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў ^! = Х2 + tg2t 1,Х2= X/ + tg t.
3.	Няхай сапраўдныя часткі ўласных лікаў матрыцы А адмоўныя, f(t) непарыўная і абмежаваная пры ўсіх teR вектарфункцыя. Знайсці абмежаванае пры ўсіх teR рашэнне сістэмы ўраўненняў х = Ах + f (t).
4.	Рашыць сістэму метадам Эйлера: х = х у + е', ў — х 4у + е' г.
dx	(a(t) Ь(іў
5.	Даказаць, што лінейная сістэма — = A(t)x, А( t) = ,
3	2 (b(t) a(t)J
230
інтэгруецца ў квадратурах. Знайсці матрыцант гэтай сістэмы.
V. 1. Даказаць, што ўласныя лікі матрыцы ел роўны е^1, дзе А,у уласныя лікі матрыцы A .
2у
2.	Даказаць, што ўсе рашэнні сістэмы х = у, ў = — абмежаваныя
пры t> 1.
3.	Рашыць сістэму метадам выключэння: xy = l,y + x = t.
4.	Праінтэграваць сістэму матрычным метадам: Х]=ЗХ]+12х24х3, x2=xt Зх2 + х3,х3 = Xj 12х2 + 6х3.
У і ■ х
5.	Рашыць сістэму ўраўненняў і = х + ~ + tch t, ў = —у + tsh t.
VI. 1. Знайсці рашэнне сістэмы ўраўненняў х = 2х + y7te~', ў = х + 2у 1, якое застаецца абмежаваным пры / —> °о.
2.	Рашыць сістэму метадам выключэння: Xj = Зх2 Xj,
х2 = х2 + X! + е‘.
3.	Рашыць сістэму метадам Даламбера: X] =Xj + х2 + х3 + 4t2, х2 = X] х2 + х3 + 12е2' ,х3 = X/ + х2 + х3 4t.
4.	Рашыць сістэму х = у, ў = x + ^y + ln t.
5.	Знайсці det еА, не вылічваючы матрыцы еА , калі
1 0
А = 1 2
. 0 1
0
VII. 1. Знайсці агульнае рашэнне сістэмы хІ = 15хІ6х2 + 16х3, х2 = 15х! 7х2 + 18х3,х3 = 19X) 8х2 +21х3.
231
2.
3.
Устанавіць від частковага рашэння сістэмы x = 2xy+t+te', ў = 2у х5( 1 + е5' sin t).
Цела кінута пад вуглом а да гарызонту з пачатковай скорасцю v0. Лічачы супраціўленне паветра прапарцыянальным скорасці руху, знайсці закон руху ў залежнасці ад часу і траекторыю руху цела.
4.
dx
Рашыць сістэму — = Ах, х =
х; р о
х2 , А= 1 ~ 1
1
0
5.	Рашыць аперацыйным метадам: х + у 2х = 0, ў + х 2у =
= 5е' sin t, х(0) = 2, у(0) = 3.
VIII. 1. Рашыцьсістэму х = (а + 1)ху,ў = х + (а1 )у.
2.	Рашыць сістэму аперацыйным метадам: х + 2ў + х + у + г = 0, х + ў + х + z 0, z 2ў у = 0, х( 0) = у(0) = 1, z( 0) 2.
3.	Дыферэнцыяльныя ўраўненні руху свабоднага матэрыяльнага пункта адносна зямнога шара пад уздзеяннем сілы цяжару маюць d2x	dy d2у	dx	dx	d2z
dt2	dt dt2	dt	dt 6 y dt2
= —gsin ф, дзе фшырата пункту, coвуглавая скорасць вярчэння зямнога шара. Вызначыць залежнасць становішча пункта ад часу, калі пры t = 0 пункт знаходзіўся ў пачатку каардынат.
4.	Вызначыць характар пункта спакою і пабудаваць фазавыя траекторыі сістэмы х = —х + 5у, ў = х + у.
5.	Рашыць сістэму матрычным метадам: Xi =2xj + х2,х2 —2х2, *з = Зх3.
IX.	1. Рашыць метадам Даламбера сістэму X] = х2 + х3 + lOcos t, х2 = X/ + х3 + 2е‘ ,х3 = X! +х2 10 sin t.
232
2.
Рашыць аперацыйным метадам задачу Кашы х = yz, ў = х + у, z = x+z, x(0) = l,y(0) = 2,z(0) = 3.
3.
Рашыць сістэму х = Ах, х =
\Х2І
4.	Вядома адно рашэнне xt — sin t, y] = cos t сістэмы ўраўненняў х = xcos2 t (1 sin t cos t)y, ў = (1 + sin cos t) + ysin2 t. Знайсці ўсе яе рашэнні.
5.	Рашыць сістэму х + ~х = 1, ў\ 1 + ~ \х у = 1.
X.	1. Знайсці ўсе рашэнні сістэмы х = t(l t)x + (t3 12 +1 + 1)у, ў = (1і)х + (і2і + 1 )у, калі вядома, што яна мае рашэнні X/(t)~ паліном другой ступені, yt(t)~ паліном першай ступені.
2.	Рашыць сістэму метадам варыяцыі адвольных пастаянных:
2	3
х = 4х 2у + —, ў = бх + 3у —.
е 1	е 1
3.	Рашыць метадам Эйлера сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў х = х + у + е' ,ў = х + уе'.
4.	Знайсці дэтэрмінант матрыцы ел, не вылічваючы еА, калі '12 З}
А= 3 2 1 .
J о
5.	Рашыць сістэму х = 2у, ў = 2х.
•	A
XL 1. Вылічыць матрыцу е , калі A =
г л
8а Зак. 970
233
2.	Рашыць сістэму х = 2х + у 2z 1 + 2, y = x + l,z = x + yzt + 1.
3.	Рашыць сістэму метадам варыяцыі адвольных пастаянных: 1
х = У + ~, Ў = ~х.
4.	Знайсці ўсе рашэнні сістэмы ўраўненняў х = — ty, ў —, калі sin t	sin t
вядома частковае рашэнне Xj(t) = cos t ——, У/(і) = —’— •
5.	Рашыць сістэму метадам выключэння: Xj — 3xj 2х2 +1, х2 = 3xj 4х2.
ХП. 1. Ці ўтвараюць вектарфункцыі
^2 J
фундаментальную сістэму рашэнняў сістэмы ўраў
ненняў х = (2 sin t cos t)x + (sin t cos t)y, ў = 2(cos t sin t)x + (2 cos t sin t )y ?
2.	Вылічыць матрыцу eA , калі A =
J
3.	Рашыць сістэму ўраўненняў z = 2x + y + 2z.
Г
2:
х = 2х + у + г,ў = 2x z,
4.	Рашыць сістэму матрычным метадам: Xj = 5xjx2 4х3, х2 = 12Х]+5х + 12х3, х3 = 10xt3x2 9х3.
5.	Устанавіць від частковага рашэння сістэмы х = ху + 2 sint, ў = 2ху + і(1 + cos t).
XIII.	1. Метадам варыяцыі адвольных пастаянных праінтэграваць
234
2.
t2
сістэму хІ = 2х, 4x2 +l + 4t, х2 = х7 + х2 +3 — .
Метадам Даламбера праінтэграваць сістэму х,=х2+х3 + +10 cos t, х2 = X/ +х3 + 2е', х3 = х3 +х2 10 sin t.
3.
Рашыць сістэму х = Ах, дзе х =
хі
,А =
4 1 '
4.
5.
2
Рашыць задачу Кашы х = у, ў =	х(1)1, у(~1) = 2.
Запісаць від частковага рашэння сістэмы х = у + 2е‘
XIV.	1. Рашыць сістэму ўраўненняў х = у + sin ОУ, ў = х.
2.	Рашыць сістэму х = е' 5х у, ў = е2‘ + хЗу.
3.	Знайсці траекторыю руху электрона ў аднародным электрычным полі з напружаннем Е, калі ў пачатковы момант вядомы напрамак і велічыня пачатковай скорасці электрона.
4.	Знайсці еА для матрыцы A =
' 0 Г
5.	Рашыць аперацыйным метадам задачу Кашы
х = 4y + z, ў = z,z = 4у; x(0) = 5,y(0) = 0,z(0) = 4.
XV.	1. Метадам Даламбера праінтэграваць сістэму х3 = 2х3 + Зх2 + + 4х3, х2 = Зх, + 2х2 + 4х3, х3 = 5xj + 5х2 + 2х3.
2.	Аперацыйным метадам рашыць сістэму х = 7х + у + 5, ў2х5у37і; х(0) = у(0) = 0.
3.	Цела масы т рухаецца на плоскасці х,у, прыцягваючыся да пункта (0;0) з сілай а2тг, дзе гадлегласць да гэтага пункта.
8а*
235
Знайсці pyx цела пры пачатковых умовах х(0) = d, у(0) = 0, х(0) = 0, ў(0) = v і траекторыю гэтага руху.
4.	Знансці det е , не вылічваючы матрыцу е , калі
(14 2
А= 3
5.	Вызначыць характар пункта спакою і пабудаваць фазавыя траек
торыі сістэмы х = 2х у, ў = Зху.
ГЛАВА FV
АГУЛЬНЫЯ ПЫТАННІСІСТЭМ ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫХ УРАЎНЕННЯЎ
§ 1. Сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў. Асноўныя паняцці і азначэнні
Сістэмай дыферэнцыяльных ураўненняў парадку М будзем называць сукупнасць ураўненняў
^r^f t) = f](t,Xj,Xl X(tm,~l).......Xn,Xn..X^^ ),
x(n^(t) = fn(t,xl,xl x^ x„,x„ x^),	(1)
дзе fj(t,Xj,...,xM).....fn(t,xl,...,xM)(M	= ml+...+mn)
непарыўныя ў абсягу G ( M +1)мернай прасторы OtXj...xM скалярныя функцыі.
Лік т, называюць парадкам сістэмы па зменнай xt.
Да сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў прыводзяць, напрыклад, задачы дынамікі пункта: зададзены сілы, якія дзейнічаюць на матэрыяльны пункт; знайсці закон руху, гэта значыць знайсці функцыі xx(t),y = y(t),z = z(t), якія выражаюць залежнасць каардынат пункта, які рухаецца, ад часу. У агульным выпадку сістэма, якая апісвае гэты закон, мае выгляд d2x	dx dy dz
—Г = fi(^>x,y,z— — — dt2	’dtdt'dt
d2z	dx dy dz
дзе x,y,z каардынаты пункта, які рухаецца, / час, fi,f2>f2 “ вядомыя функцыі сваіх аргументаў.
237
Сістэмы віду (1) або (2) называюцца кананічнымі, таму што яны вырашаны адносна старэйшых вытворных.
Сістэма ўраўненняў п га парадку, вырашаных адносна вытворных ад шуканых функцый,
Xi=fi(t,x1,x2,...,x„),i = l,n	(3)
называецца нармальнай.
Рашэннем сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў (1) называецца сукупнасць п функцый ф7^t),...,ф„(t), вызначаных на прамежку (а;Ь) сапраўднай восі, калі выкананы наступныя ўмовы:
1)	(^ I(t),...,^>n(t) адпаведна тІ,...,тп разоў дыферэнцавальныя пры t е (а;Ь)\
2)	для ўсіх t ^(а;Ь) пункт
^^/(O^ifO.^^ft).............Ф/аф/О.> (p(nm"~')(tj}eG, 3) для ўсіх t е (а;Ь)
^(t^f^t^t),...^
^'^^/„(^(t),...,^	t)\
1
Прыклад 1. Паказаць, што сістэма функцый Х]=— , x2=—tlnt, вызначаных у прамежку 0~Т~ іх выразы
238
праз t, атрымліваем тоеснасць р= ^= рі In tl = In t1, 0 
dx3 2хІ
dt t3
Заўвага 1. Частковым выпадкам кананічнай сістэмы з’яўляецца адно ўраўненне п га парадку, якое вырашана адносна старэйшай вытворнай х(п> = f (t,x,x,...,x(n~'>). Увядзеннем новых функцый х = X], х = х2,...,х^"~^ = хп гэтае ўраўненне заменіцца наступнай сістэмай п ураўненняў:
Х1 = х2,х2 =х2,...,хп_1 =х„, хп = f(t,xI,x2,...,xn).
d2x
ПрыкладЗ. Адно ўраўненне ~^2~~~х з’яўляецца пры
239
ватным выпадкам кананічнай сістэмы. Калі дапусціць, што ~^ = У> 3 dy
<1 2...22 23 24 252627 28 29 30...49 50 >