КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

255
Рашэнне будзем называць нядоўжаным, калі любы яго працяг супадае з ім самім.
Прывядзём некаторыя ўласцівасці нядоўжаных рашэнняў, чым пакажам, што кожнае рашэнне можа быць падоўжана да рашэння, далей нядоўжанага, і ў гэтым сэнсе нядоўжаныя рашэнні вычэрпваюць сукупнасць усіх рашэнняў.
Тэарэма 3. 1) Існуе нядоўжанае рашэнне сістэмы (12) з адвольнымі пачатковымі значэннямі з G.
2)	Калі некаторае нядоўжанае рашэнне сістэмы (12) супадае з некаторым іншым рашэннем гэтай сістэмы хоць пры адным значэнні t, то яно з’яўляецца працягам гэтага рашэння.
3)	Калі два нядоўжаныя рашэнні сістэмы (12) супадаюць паміж сабой хоць пры адным значэнні /, то яны поўнасцю супадаюць, гэта значыць маюць адзін і той жа інтэрвал вызначэння і роўныя на ім.
Тэарэма 4. Няхай I = R,ty(t) нядоўжанае рашэнне і Д яго абсяг вызначэння. Калі існуе такое кампактнае мноства К  Т. Такім чынам, калі абсяг вызначэння Д нядоўжанага рашэння ф(1) не супадае з / , то выконваецца адна з наступных умоў:
sup k d=°°,
:nf d((p(t),Fr(Dj} = 0,	(19)
teA
256
дзе d(v,M) = inf \vx\ адлегласць ад пункта v да мноства М. хеМ
Прыклад 1. Разгледзім рашэнне ўраўнення х = 1 + х2 пры пачатковых умовах х(0) = 0.
(it
Інтэгруючы яго, атрымаем arctg x = t + C
Шуканае рашэнне пастаўленай задачы Кашы мае від х = tg t
1t It}	.	It . It
— — < t < — \ i, відавочна, дзве асімптоты Z = —— i t — —. Гэтае
2	2)	2	2
it
рашэнне будзе нядоўжаным лявей пункта t — — — і правей пункта
It
‘ = ~2'
Тэарэма 4 дае таксама і дастатковыя ўмовы неабмежаванай доўжанасці, якія, аднак, не з'яўляюцца эфектыўнымі, паколькі фармулююцца ў тэрмінах, наогул кажучы, невядомага нам рашэння. Таму ўзнікае задача знаходжання ўмоў неабмежаванай доўжанасці, якія выражаны непасрэдна праз правую частку f(t,x) ураўнення (12).
Няхай I = R, D — Rn і Ф^ непарыўная функцыя, вызначаная для неадмоўных сапраўдных s, якая прымае дадатныя сапраўдныя значэнні і задавальняе ўмове
7 ds = °°.
{ Ф^
Тэарэма 5. Калі для ўсіх (fj) G. Rx Rn выконваецца няроў
насць
|/Тл*>| < Ф(Ы).	(21)
то кожнае рашэнне ўраўнення (12) неабмежавана доўжанае.
Заўвага. Ясна, што тэарэма 5 мае месца, калі няроўнасць (21)
9 Зак. 970
257
выконваецца толькі для вялікіх |х|. Таму, у якасці функцыі Ф^ можна ўзяць cs, cslns, сsln(lns),..., дзе с = const > 0.
§ 5. Непарыўная залежнасць рашэнняў ад пачатковых дадзеных і параметраў
Разгледзім пытанне аб характары залежнасці рашэнняў дыферэнцыяльных ураўненняў ад пачатковых дадзеных і параметраў. I пачатковыя дадзеныя, і параметры ў задачах прыкладнога характару знаходзяцца вымярэннем, за дакладнасць якога нельга паручыцца. Таму важна быць упэўненым у тым, што невялікія хібнасці ў такіх вымярэннях не прывядуць да вялікіх змяненняў рашэння.
Будзем разглядаць нармальную сістэму ўраўненняў
x = f(t,x,\l),	(22)
правая частка якой залежыць ад параметру ц і вызначаецца на некаторым адкрытым мностве G у прасторы зменных (/,х,Ц).
Тэарэма 6. Няхай выконваюцца ўмовы:
1°. функцыя f(t,x,[l) непарыўная на адкрытым мностве G і задавальняе ўмове Ліпшыца па аргуменце х на любым замкнутым абмежаваным мностве, што змяшчаецца ў G ;
2°. Пункт (t0,x°,\10) адвольны з мноства G і x = ^>(t,[i) (ц.о—h<\l0, што пры |цЦ0|<О рашэнні x = ^)(t,[l) вызначаны пры a 0 знойдзецца
258
такі лік 5 (0<8 0 знойдзецца такі лік Ь> 0, што
іфбЛрі^фбЛЦ;;!
е
< ~ пры
|цц7|<8, a0 знойдзецца такі 8 7 > 0, што пры |/f7|<87 будзе
выконвацца
^(t^J^tl^!^^
3 атрыманых няроўнасцяў вынікае, што пры |z/7|<37 і |ЦЦ7| <8 маем
|ф^,ц>ф^7,ц7>|<е, а гэта і азначае , што функцыя ф^ф) непарыўная ў пункце
9*
259
Тэарэму 6 можна абагуліць і на выпадак, калі правая частка сістэмы ўраўненняў (22) залежыць ад некалькіх параметраў.
Пытанне аб залежнасці рашэнняў задачы Кашы ад пачатковых дадзеных прыводзіцца да даследавання залежнасці рашэння некаторай сістэмы ўраўненняў ад параметраў, што ўваходзяць у яе правую частку. Сапраўды, разгледзім сістэму ўраўненняў
x = f(t,x)	(23)
пры пачатковых умовах x(t0 ) = хп .
Няхай
x = ^(t,t0,x°)	(24)
нядоўжанае рашэнне ўказанай задачы Кашы, якое задавальняе пачатковым умовам
^(t0,t0,x°) = х°.	(25)
3 дапамогай замены незалежнай зменнай t tt0 і невядомай функцыі
x(t ,t0,x°) = х(7 + 10)х°	(26)
атрымаем
^ = х(7 + t0) = f(7 + t0,x(7 + toj) = f(t + t0,x(7) + x°).
Калі ў якасці x(t) узяць рашэнне (24) сістэмы ўраўненняў (23), якое задавальняе пачатковым умовам (25), тады адпаведная функцыя (26) будзе рашэннем сістэмы ўраўненняў
dx ~	п
^ = f(t+t0,x+x°),	(27)
якое задавальняе пачатковым умовам x(O,to,x°) = 0,	(28)
паколькі ў сілу (25) x(O,to,x° ) = q(t0,t0,x0 )х° =0.
Такім чынам, даследаванне залежнасці рашэння сістэмы ўраўненняў (23) ад пачатковых дадзеных (t0,x°) прыводзіцца да
260
даследавання залежнасці рашэння задачы Кашы (27), (28) ад параметраў 10,х°.
Таму мае месца
Тэарэма 7. Няхай выконваюцца ўмовы:
1°. Правая частка f (t,x) сістэмы ўраўненняў (23) непарыўная на адкрытым мностве G прасторы зменных (t,x) і задавальняе ўмове Ліпшыца па аргуменце х на любым замкнутым абмежаваным мностве, якое змяшчаецца ў G ;
2°. Пункт (і0,х°) адвольны з мноства G \ x = ty(t,t0,x0) сямейства нядоўжаных рашэнняў сістэмы ўраўненняў (23), якія задавальняюць пачатковай умове ф(t0,t0,x0) = х° .
3°. Пры t0 = і0,х° = х° рашэнне х = ty(t,in,х°) зададзена на інтэрвале mf < t < т2 і [a;b] адвольны адрэзак, які змяшчаецца ў (т!;т2).
Тады існуе такі лік <5>0, што пры |/0/0|<<7, ^х^С рашэнні x^(t,t0,x°) вызначаны пры a 0 знойдзецца такі Ь (0 <Ь<<5), што пры ко ~ ^)| < $ ’ |*° ~*0| < $ будзе выконвацца няроўнасць
\^(t,t0,x°)^>(t,t0,x°)\ < е
для ўсіх te[a;b], гэта значыць функцыя ty(t,to>x°) будзе непарыўнай па t0 і хп у пункце t0=i0, х° = х°, прычым раўнамерна адносна t наадрэзку [a;b].
Аналагічна можна паказаць, што з тэарэмы 7 вынікае непарыўнасць функцыі ^(t,t0,x° ) на мностве a0 змяненні рашэнняў будуць дастаткова малымі пры дастаткова малых змяненнях пачатковых значэнняў шуканых функцый. Адзначым, што акрамя гэтага Нт(хх) = 0, Нт (ў у) = 0 пры любым 8, гэта знаtt+°°	/>+<»
чыць, што ўсе рашэнні са змененымі пачатковымі дадзенымі шуканых функцый асімптатычна набліжаюцца да частковага рашэння х, у пры t —> +°о
§ 6.	Дыферэнцавальнасць рашэнняў па пачатковых дадзеных і параметрах
Як і ў папярэднім параграфе, спачатку будзем разглядаць дыферэнцавальнасць рашэнняў па параметрах, а затым на аснове атрыманых вынікаў даследуем пытанне дыферэнцавальнасці рашэнняў па пачатковых дадзеных.
262
Тэарэма 8. Няхай у сістэме (22) функцыі f(t,x,\\.), df	— df	~
——(t,x,[k) (j = l,n),—(t,x,[k) — непарыўныя на мностве G. dXj	dp.
Няхай x = ^>(t,\i.) рашэнні сістэмы (22), якія задавальняюць пачатковым умовам ty(t0,[k) = х° і вызначаюцца пры a(t,\k) разам са сваёй частковай Эф
вытворнай z~—(t,[k) — непарыўная пры тых жа значэннях / і ^ .
Заўважым, што, калі ў тэарэме 8 патрабаваць непарыўнасць усіх мяшаных вытворных
дт
(1хІУ‘...(дхп^(^)р
(Я]++Яп+Р = т^к)
функцыі f(t,x,\l) па ўсіх Xj (j = l,n) і ц да Лга парадку ўключна, тады рашэнне x = ty(t,[k) мае к непарыўных вытворных па зменнаму Ц у прамавугольніку a < t < b, |ц Цо| < а і, значыць, раскладваецца па ступенях малога параметру ц па формуле Тэйлара ^(t,\k) = \\fn(t) + ^l(t)+...+lkk\\fk(t) + o(ikk ).
Каб знайсці функцыі ^/(і) (1 = 0,к), неабходна апошняе раскладанне падставіць у сістэму ўраўненняў (22) і, папярэдне расклаўшы правую частку па ступенях малога параметру, параўнаць каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях ц . 3 атрыманай у выніку такіх аперацый сістэмы паслядоўна знаходзім \]f0(t),\^I(t),...,\ifk(t).
У сілу таго, што
х° = ^0(to) + ^i(to)++^k^k(to) + o(^k )> пачатковыя ўмовы ў разглядаемым выпадку маюць від Чо(‘о) = х°'Чі(іо) = О....................yk(to) = O.
263
Прыклад 1. Раскласці па ступенях параметра ц рашэнне ўраўнення
x = x2+2\lt~', G = {(t,x):t > 0, |х| < «>}	(29)
пры пачатковай умове
Шц;=/	(зо)