КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

матрыцу	дх	ду _ 1 ^ ^2	^2 ~{2х t; . дх ду J
Ранг гэтай матрыцы роўны 2, таму інтэгралы У/ і \|/? незалежныя.
Прыклад 5. Праінтэграваць сістэму
dx,	х2 dx,	х2,
Г = —>	= х^О.х^О.
dt	Xj	dt	х2
Рашэнне. Падзяліўшы першае ўраўненне на другое, складзём dxj х2
інтэгравальную камбінацыю ——= —ТПраінтэграваўшы гэтае dx2 X]
ўраўненне, як ураўненне з падзяляльнымі зменнымі, атрымаем агульнае рашэнне х2 = X/ + Cj. Таму першы інтэграл сістэмы мае выгляд у^х^х*. Падставіўшы цяпер у сістэму
287
х2=^х]+С/, панізім яе вымернасць на адзінку і атрымаем dx і ^хі + C]
ураўненне з падзяляльнымі зменнымі —— =, якое мае
dt X/
агульнае рашэнне х2 + J х^ + сў = С2е2' Значыць, \J/p =е~2'(х2 + х2). Лёгка праверыць, падлічыўшы ранг матрыцы
Якабі, што сукупнасць першых інтэгралаў у j = х2 — х], V і = е~21 (х2 + х2 ) утварае базіс першых інтэгралаў.
Вырашыўшы функцыянальную сістэму ўраўненняў х2 
xjC^O, х2 + х2 С2е2'= 0 адносна X/ і х2, атрымаем агульнае рашэнне сістэмы
*i(t) =
'^2 2t Cl 2t z >
—e ~~^РГе > ХА1)
2	2С2	2[
2 „2і . 1 „~2'
~~е + g
2	2С2
Для аўтаномнай сістэмы (48) першы інтэграл ’^(хІ,...,хп) гэта некаторы закон захоўвання: велічыня \f(xI,...,xn) пры руху пункта ўздоўж фазавай траекторыі (гл. § 8) захоўвае тое ж значэнне, што і ў першапачатковы момант часу. Менавіта з такіх мер^аванняў, як законы захавання, і былі атрыманы многія першыя інтэгралы дыферэнцыяльных ураўненняў класічнай механікі.
Прыклад 6. Функцыя Гамільтона Н(х, р), дзе х =
= colon(xI,...,xn), p = colon(pI гамільтонавай сістэмы
dx,	дН(х,р) dp,
dt dp,	’ dt
Сапраўды,
р„), ёсць першы інтэграл
дН(х.р) . — 7,1 = 1,П.
дэяэя л^ эя' =1 ^ ^Р, + ,=/ ^р, [ дх, ,
= 0.
Тоеснасць (53) мае месца.
288
Функцыя Гамільтона гэта энергія адпаведнай механічнай сістэмы, і той факт, што яна ёсць першы інтэграл, азначае закон захавання энергіі.
Прыклад 7. Аднамерны рух матэрыяльнага пункта масы т у патэнцыяльным полі апісваецца ўраўненнем Ньютана тх U'(x). Яго першы інтэграл гэта функцыя v(x,x), якая з’яўляецца пастаяннай пры x^(t), х = (p(t), дзе x^(t) рашэнне. Памножыў
шы абедзве часткі ўраўнення на х, атрымаем
d тх2 dt[~
+ U(x) =0,
так што
тх2
— + U(x) = E,
дзе Е пастаянная. Левая частка гэтай роўнасці першы інтэграл. Яна носіць назву інтэграл энергіі, ён роўны суме кінетычнай энергіі і ‘ патэнцыяльнай энергіі.
Напрыканцы дадзім азначэнне агульнага рашэння сістэмы (49) (гл. [33], глава III, § 16, с. 178). Няхай
\fi(t,x,,...,xn,CIt...,Cm), і = 1,п ёсць сукупнасць п сапраўдных функцый, зададзеных у абсягу G С. Rn+m+I. Гэтая сукупнасць вызначае на G агульнае рашэнне сістэмы (49), калі пры кожным дапусцімым наборы пастаянных С],...,Ст сістэма ўраўненняў адносна хк
\\ll(t,x],...,xn,Cl,...,Cm) = 0 і = 1,п	(54)
вызначае адно або некалькі рашэнняў сістэмы (49). Часам сістэмы (54) вызначаюць пры ўсіх магчымых Ск усе рашэнні (49), але ў агульным выпадку яны даюць толькі частку сямейства рашэнняў сістэмы (49). Калі з дапамогай рашэнняў сістэм (54) можна рашыць любую пачатковую задачу на G , то, дапоўніўшы мноства рашэнняў сістэм (54) асаблівымі і састаўнымі (гл. [33], глава II, § 10, с. 122123) рашэннямі, атрымаем усе рашэнні сістэмы (49).
10 Зак. 970
289
§ 10. Метад нармальных формаў у тэорыі аўтаномных сістэм
Разгледзім сістэму віда
x = f(x),	(55)
дзе f(x) = colon{fl(x),...,fn(xj} вектарфункцыя, вызначаная ў
некаторым абсягу V п мернай камплекснай прасторы Сп для ўсіх \х\<а0,{у = {х G Сп:\х\ < а0}\
Будзем меркаваць, што сістэма (55) мае становішча раўнавагі х = 0 і што f (х) аналітычная ў абсягу V .
Як вядома, функцыю f .V ^ С1 называюць аналітычнай
(або галаморфнай) у абсягу V а Сп, калі для кожнага пункта b eV існуе абсяг Р = ^е C".jxy "^ rj> j = Рп^, Р eV з цэнтрам у пункце b і ступенны рад
Z ак,......к„(хіЬі)к,...(хпЬп)к", к/,...,к„>0
збежны да функцыі f (х) у кожным пункце (гл. [36], с. 267).
Запішам f (х) у выглядзе
дзе
%/. J^n'
J = Pn
f(x)= Ах + Х(х),	(55')
матрыца з камплекснымі элементамі,
X = colonfXj,..., Хп), прычым
^,=	£	^......^X^.X^,
Чі++Ч„=2
(56)
Х<к> = X ^^........Ч")ХЧІ,...ХЧП". Чі++Ч„=к
і = 1,п, qt цэлы неадмоўны лік.
290
Адзначым, што вектарны рад Х(х) будзем лічыць збежным, калі можна ўказаць такое наваколле пачатку каардынат, у якім усе каардынатныя рады (56) збягаюцца. Калі ж рад Х(х) разбежны, у любым наваколлі пачатку каардынат або аб яго збежнасці нічога не сцвярджаецца, то гэты рад будзем лічыць фармальным і пры яго дыферэнцаванні, падстаноўцы ў іншы рад будзем ставіцца да яго, як да збежнага.
Вектарную функцыю Х,к> = colon(X(]k>,...,Х(пк)) будзем называць аднародным вектарным паліномам парадку к.
У збежнай сістэме (55) з дадзенай правай часткай выканаем замену зменных
х = У + Ч>(у), (57) дзе ty(y) збежны рад. Дапусцім, што гэтая замена прывядзе да сістэмы
y=Ay + Y(y). (58) Дыферэнцуючы (57) па / і лічачы х і у адпаведна рашэннямі сістэм (55) і (58), атрымаем судачыненне
Эф Эф
^AyA^ = X(y + ^)^YY. (59) ay ay
Такім чынам, каб сістэма (55) з дапамогай замены (57) прывялася да сістэмы (58), неабходна і дастаткова, каб ф задавальняла ўраўненню з частковымі вытворнымі (59). У тым выпадку, калі X,Y,ty фармальныя рады, роўнасць (59) неабходна разумець як роўнасць радоў, гэта значыць роўнасць іх каэфіцыентаў у левай і правай частках пры аднолькавых ступенях у^' yV ■■■Уп" ■
Будзем казаць аб фармальных сістэмах (55) і (58), што яны фармальна эквівалентныя, калі існуе такая падстаноўка (57), дзе ффармальны рад, якая пераводзіць (55) у (58). Калі, у прыватнасці, рады X,Y,ty збежныя, то аналітычныя сістэмы (55) і (58) будзем называць аналітычна эквівалентнымі.
Абазначым уласныя лікі матрыцы А праз ’кІ,...,\п.
ю*
291
Mae месца
Тэарэма 13. Калі выконваюцца няроўнасці
q]kJ+...+qnk„'ki *0,і = 1,п, q,+q,+...+qn>2,	(60)
то сістэма (55) будзе фармальна эквівалентнай любой наперад зададзенай сістэме (58), прычым рад (р у (57) вызначаецца адзіным чынам.
Калі ўмовы (60) выконваюцца не пры ўсіх і = 1,п; Ч1 + ch+''+qn2' то тады некаторыя з ураўненняў, што
оо атрымліваюцца з (59), калі падставіць туды ф = ір^; (гл. (63) з к=2
дадатку), могуць быць невырашальнымі.
Аднак, карыстаючыся крытэрыем сумяшчальнасці сістэмы лінейных ураўненняў (тэарэма КронекераКапелі, гл. [34], глава I, § 9, с. 42), неабходным выбарам Y(k) можна зрабіць указаныя ўраўненні вырашальнымі, хоць і неадназначна. У выніку атрымаем сістэму (58), фармальна эквівалентную сістэме (55).
3 дапамогай лінейнай неасаблівай замены зменных прывядзём матрыцу А да жарданавай формы і будзем разглядаць цяпер сістэму
х = Jx + Х(х).	(61)
оо
Прадставім ф у выглядзе ф = ^ф^ , дзе к=2
q/k) =Cvlon(^k),...^	X Ф^.......^Уі'Уп"'
тады (59) прыме выгляд
— Jy J^(k) = F(k) (^т), Yu), Х(,)) Y,	(62)
ду
т < к, j < к, і < к.
Пры доказе лемы 4.1 з дадатку было паказана, што матрыца аператара левай часткі (62) з’яўляецца ніжнетрохвугольнай з велічы292
нямі ql'kI+...+qnXn X, па галоўнай дыяганалі. Значыць, каэфіцыенты ф/'..ч"^ вектарнага аднароднага палінома вызначаюцца ўраўненнямі
(?д,+^+9,х« ’,)ч>1’.........."^F^^ If''*’, (63) дзе F^4'.......................Чп) вядомая велічыня, калі вылічваць гэтыя каэфіцыенты ва ўказаным парадку (гл. доказ лемы 4.1).
Калі
q^j+...+д^,,Хі ^ 0,	(64)
тады ф^'..ч"> вызначаецца адназначна. Калі ж
qI’kl+...+qn’kn\i=0,	(65)
тады ўраўненне (63) будзе вырашальным толькі пры ўмове у^Яі ’Яп)р(яіЧп) ррЫ гэтым ф^..Ч"> будзе адвольнай велічынёй, якую можна лічыць роўнай нулю.
Тыя каэфіцыенты ступенных радоў, якія адпавядаюць такім і, q,i = 1,п; qj + q2+...+qn > 2, што задавальняюць (65), будзем называць рэзананснымі. Пры выкананні ўмовы (64) назавём іх нерэзананснымі. Пры гэтым судачыненне (65) называецца рэзанансным судачыненнем.
Адзначым, што прыведзеныя азначэнні маюць месца толькі ў выпадку, калі А = J жарданава матрыца.
Падводзячы вынікі, можна сцвярджаць, што сістэма (61) будзе фармальна эквівалентнай любой сістэме
y = Jy+Y(y)	(66)
з адвольнымі нерэзананснымі каэфіцыентамі. Пры гэтым рэзанансныя каэфіцыенты ў радзе ф(у) можна выбіраць адвольна. Пры выбраных адвольных каэфіцыентах астатнія каэфіцыенты ф і Y вызначаюцца адзіным чынам.
Сістэму (66), у якой усе нерэзанансныя каэфіцыенты Yf4'.q"l роўны нулю, будзем называць нармальнай формай сістэмы (61). Пераўтварэнне (57) да нармальнай формы (66), у якой усе рэза
293
нансныя каэфіцыенты ф^ ;.ч"^ роўны нулю, называюць стандартным нармалізуючым пераўтварэннем.
Адзначым, што калі разглядаць толькі стандартныя нармалізуючыя пераўтварэнні, то нармальная форма сістэмы вызначаецца адзіным чынам.
Прыклад 1. Няхай п = 2, X/ = a, Х2 = a, а* 0. Рэзананснае судачыненне мае выгляд
(^і~Я2~О^ = 0 пры і = 1,
(q]q2 + ])а = 0 пры і = 2.
Значыць, нармальная форма (66) мае наступны выгляд
Ўі = ^У/ +УіРі(УіУ2)’
Ў2 =~^У2 +У2Р2(У1У2)’
дзе Pj, Р2 фармальныя рады па ступенях здабытку у,у2 без свабодных членаў.
Прыменім апісаны вышэй метад прывядзення сістэмы (55) пры ўмове (55') да нармальнай формы для даследавання размяшчэння траекторый гэтай сістэмы ў дастаткова малым наваколлі пачатку каардынат. Будзем разглядаць сапраўдную сістэму (55) пры ўмове (55') для п = 2. (Даследаванне размяшчэння траекторый у такой лінеарызаванай сістэме х — Ах было праведзена ў § 3.8.)
1°. Дапусцім |Х./|<|Х,|. Рэзананснае судачыненне (65) для вызначэння рэзанансных i,q мае выгляд
qiXi+q2X2Xj=0, ^~Х2; Яі+Я2^<ЎТ) Пры і = 1 судачыненне (67) не мае рашэнняў. Пры і2, калі Х2 ^ІХ/ пры I > 1 цэлым, (67) таксама не мае рашэнняў. У выпадку, калі і = 2, Х2 = IX/, тады q/ — I, q2 = 0. Нармальная форма пры гэтым мае выгляд
Ўі^іУіЎ2 = ^2У2	(68)
у першым выпадку і
Ў1 =^іУі> Ў2 = ^2У2 + аУі	(69)
294
у другім. Можна паказаць, што ў разглядаемым выпадку стандартнае нармалізаванае пераўтварэнне збягаецца. Відавочна, што (68) ёсць частковы выпадак (69) пры а = 0.
Паўвосі восі у2 з’яўляюцца траекторыямі. Каб знайсці астатнія траекторыі, праінтэгруем лінейнае ўраўненне (гл. § 1.7)
Агульнае рашэнне гэтага ўраўнення мае выгляд
калі a *0.
У абодвух выпадках інтэгральныя крывыя датыкаюцца восі У] у пачатку каардынат і гэтым пунктам падзяляюцца на дзве траекторыі.