КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

x(t) = t~2x(t), x(t0) = xn, toe(P;°°).
Рашэнне. Рашэнне ўраўнення будзе мець выгляд х(t,t0,x° ) = х° exp^tg1 t1) ■
У сілу таго, што \x(t,t0,xn )| < ^^ехр^1^, для любога Е>0, узяўшы b(E,t0) = E exp(to'), атрымаем, што рашэнне x(t) = 0 устойлівае ў сэнсе азначэння 2. Аднак раўнамернай устойлівасці няма, паколькі b(z,tn) ^> 0 пры tn —^ 0.
Другім узмацненнем паняцця ўстойлівасці з’яўляецца асімптатычная ўстойлівасць.
Азначэнне 5. Нулявое рашэнне x(t) = 0 сістэмы (1) называецца асімптатычна ўстойлівым, калі:
1°. Яно ўстойлівае па Ляпунову.
2°. Для ўсякага tQ £ I існуе & = &(tn ) > 0 такі, што
314
lim\x(t,t0,x° ^ = 0 пры |х°| < Д (мал. 4).
Мноства Q(t0)ciRn усіх тых пачатковых умоў х°, для якіх
Um x(t,t0,x°) = 0, называюць абсягам прыцягнення нулявога рашэння ў пачатковы момант t0.
Калі Qfto)= R" ,чо кажуць, што рашэнне x(t) = 0 асімптатычна
Мал. 4	ўстойлівае ў цэлым (або глабальна
асімптатычна ўстойлівае).
Калі выконваецца толькі ўмова 2° з азначэння 5, то будзем казаць, што нулявое рашэнне з’яўляецца прыцягальным (або атрактарам). Наогул кажучы, з прыцягнення не вынікае ўстойлівасць. Аднак для скалярнага звычайнага дыферэнцыяльнага ўраўнення з прыцягнення заўсёды вынікае ўстойлівасць.
Практыкаванне 1. Прывесці прыклад сістэмы, для якой гэта
не мае месца.
Азначэнне 6. Нулявое рашэнне сістэмы (1) называецца раўнамерна асімптатычна ўстойлівым, калі яно раўнамерна ўстойлівае і для любога ліку у>0 знойдуцца лікі Д; (0 < &t < Н) і Цу)
Устойлівасць нулявога рашэння дапускае зручнае геаметрычнае паясненне не толькі ў fn +/Jмернай прасторы змен
315
ных t,x, але і ў п мернай фазавай прасторы зменных х.
Геаметрычнае паняцце ўстойлівасці нулявога рашэння сістэмы (1) азначае наступнае: для любога Z> 0 знойдзецца 5 > 0 такі, што фазавая траекторыя, якая пачынаецца ў 5 наваколлі пачатку каардынат (нулявое рашэнне ў фазавай прасторы адлюстроўваецца пунктам пачаткам каардынат), не выйдзе з енаваколля пачатку
каардынат пры ўсіх t >0 (мал. устойлівасці траекторыя пры пачатку каардынат (мал. 7).
5, п = 2); у выпадку асімптатычнай t —» co бясконца набліжаецца да
Мал. 6
Мал. 8
Мал. 7
Фазавы партрэт няўстойлівай траекторыі адлюстраваны на мал. 8. Акрамя прыведзеных азначэнняў устойлівасці, існуюць і іншыя, такія, як экспаненцыяльная ўстойлівасць, абсалютная ўстойлівасць, устойлівасць на канечным інтэрвале часу, арбітальная ўстойлівасць і г.д. (гл. [7], с. 549, с. 562).
Прыклад 2. Карыстаючыся азначэннем устойлівасці па Ляпунову, устанавіць, ці будзе ўстойлівым рашэнне ўраўнення х = кх (кconst) з пачатковай умовай x(t0) = х0.
Рашэнне. Дадзенае ўраўненне мае рашэнне
316
X = XO ek(l~,o)	(4)
з пачатковымі дадзенымі (t0,x0).
Пры к <0 рашэнне (4) будзе ўстойлівым па Ляпунову, таму што пры ўсіх t>t0
\хІек(,~'0> хоек(,~,о)\ = e^'^^Xjx^ < |х; х0\< е, пры |х; х0| < 5 = Е .
Калі к<0,то /пп е^'Мх/— х0 = 0, і таму рашэнне асімпм+«
татычна ўстойлівае.
Калі к = 0, то пры X/ * х0 рознасць |х/ — х0| не імкнецца да нуля пры t —> +°°. гэта значыць рашэнне х = х0 устойлівае па Ляпунову, але не асімптатычна.
Пры к>0 \ хІ ^ х0
Ііт ек^,~,°^\х] — х0\ = +«,
Z>+~
таму рашэнне х = хое няўстонлівае.
Прыклад 3. Карыстаючыся азначэннем устойлівасці па Ляпунову, паказаць, што рашэнне сістэмы dx	dy
=	=	(5)
dt	dt
якое задавальняе пачатковым умовам х(0) — 0,у(0) = 0, устойлівае.
Рашэнне. Любое рашэнне сістэмы (5), якое задавальняе пачатковым умовам х(0) = хп, у(0) = у0, мае выгляд (гл. главу III)
x(t) = x0 cos ty0 sin t, y(t) = x0 sin t + y0 cos t.
Рашэнне сістэмы (5), якое задавальняе пачатковым умовам х(0) = х(0) = 0, у(0) = 0, ёсць x(t) = 0, y(t) = O. Возьмем адвольны £>0 і пакажам, што існуе 3f£j>0 такі, што пры |х0—о|<8, |у0 б| < 5 маюцьмесца няроўнасці
317
\x(t)O\ = \x0 cos t y0 sin t\ < e,
\y(t)~o\ = \x0 sin t + y0 cos r| < e для ўсіх t >0.
Гэта значыць, згодна з азначэннем 2, што нулявое рашэнне x(t) = 0, y(t) = O сістэмы (5) устойлівае па Ляпунову. Відавочна,
што
|%0 cos t у0 sin t\ < \х0 cos t\ + l^o sin t\ < |x01 + ІУо |,
1*0 sin t + yn cos t\< \x0 sin (| + |.V0 cos t\ < |x01 + |y01 для ўсіх t.
Таму, калі Ц + Ц < £, тады і тым больш
|х0 cos t Уо sin t\0, гэта значыць нулявое рашэнне сістэмы (5) устойлівае па Ляпунову, але не асімптатычна.
§ 2.	Устойлівасць лінейных стацыянарных сістэм з пастаяннымі каэфіцыентамі
Разгледзім сістэму з п дыферэнцыяльных ураўненняў х = Ах,
(8)
дзе A =
aijtj = l,n А = 1’п	>
пастаянная сапраўдная матрыца.
Няхай кк =Цк +іУк, матрыцы A.
Маюць месца
к = 1,т, т < п
уласныя значэнні
318
Лема 1. Калі ўсе ўласныя значэнні матрыцы А маюць адмоўныя сапраўдныя часткі, то для любога рашэння x = 0
^(t^Re'*.
Лема 2. Калі ўсе ўласныя значэнні матрыцы А маюць адмоўныя сапраўдныя часткі, то для рашэння ^(t,xn ) сістэмы (8), якое задавальняе пачатковай умове ^(0,х^ ) — х^, існуюць такія пастаянныя г>0 і а>0, што пры t >0
|ф< t,x° ^ < г^х0^^.
Крытэрый устойлівасці становішча раўнавагі х = 0 сістэмы (8) устанаўліваецца наступнай тэарэмай.
Тэарэма 1. Для таго, каб становішча раўнавагі х = 0 сістэмы (8) было асімптатычна ўстойлівым, неабходна і дастаткова, каб усе ўласныя значэнні матрыцы А мелі адмоўныя сапраўдныя часткі.
Заўвага 1. Для ўстойлівасці па Ляпунову становішча раўнавагі х = 0 сістэмы (8) неабходна і дастаткова, каб усе ўласныя значэнні X, матрыцы А задавальнялі ўмове Re\j<0, прычым уласныя значэнні Х/5 для якіх Reh^O, мелі простыя элементарныя дзельнікі.
Практыкаванне 1. Прывесці прыклад сістэмы (8) другога парадку, калі ўласныя значэнні маюць недадатныя сапраўдныя часткі, a становішча раўнавагі х = 0 няўстойлівае па Ляпунову.
Практыкаванне 2. Выкарыстоўваючы тэарэму 3.4 аб прадстаўленні рашэнняў сістэмы (8), даказаць сцвярджэнне, сфармуляванае ў заўвазе 1.
Такім чынам, пры даследаванні асімптатычнай устойлівасці становішча раўнавагі х = 0 сістэмы (8) важна мець магчымасць устанавіць, што ўсе ўласныя значэнні сапраўднай матрыцы A, гэта значыць усе карані яе характарыстычнага палінома, маюць адмоўныя сапраўдныя часткі.
Прывядзём вядомыя з алгебры ўмовы адмоўнасці сапраўдных частак усіх каранёў паліномаў з сапраўднымі каэфіцыентамі.
319
1°. Крытэрый РаусаГурвіца (гл. [25], глава XVI, § 6, с. 457).
Для таго, каб у палінома f (z) = zn +alzn~I +...+an_lz + an з сапраўднымі каэфіцыентамі ўсе карані мелі адмоўныя сапраўдныя часткі, неабходна і дастаткова, каб усе галоўныя міноры матрыцы
' ^	1	0	0	...	0' а3	а2	at	1	...	0 а3	а4	а3	а2	...	0 \а2п1	а2п2	а2п3	а2п4	••• ап J
^зе ак = 0, калі к > п} былі дадатнымі, гэта значыць, каб наступныя дэтэрмінанты падпарадкоўваліся ўмовам:
\t = aj > 0, ^2 ~			а2 “3	1 а2 С (		>0,...,		(9)
А» =	аі а3	1 а2						
						= ^п1 ап	>0.	
	а2п1	а2п2		a	п			
Апошнюю ўмову можна замяніць умовай ап > 0.
2°. Крытэрый ЛьенараШыпара (гл. [25], глава XVI, § 13, с. 477). Неабходныя і дастатковыя ўмовы для таго, каб паліном f (z) = zn + ajz” 1 +...+an_jZ + ап з сапраўднымі каэфіцыентамі меў усе карані з адмоўнымі сапраўднымі часткамі, могуць быць запісаны ў любым з наступных чатырох відаў:
1)	ап	>	0, ап_2	>	0,Д; >0, А3 > 0,...,
2)	ап	>	0, ап_2	>	0,...; Д2 >0, \4> 0,...,
3)	ап	>	0, an_t	>	0, ап_3 > 0,...; Д; >0, А3	>	0,...,
4)	ап	>	0, ап_]	>	0, ап_3 > 0,...; А2 >0, &4	>	0,...,
дзе ^lt...,\n задаюцца формуламі (9).
320
Адзначым, што ўмовы 1) 4) маюць вядомую перавагу перад умовамі РаусаГурвіца, паколькі яны змяшчаюць амаль удвая менш дэтэрмінантных няроўнасцяў. 3 двух набораў дэтэрмінантных няроўнасцяў A] > 0, А3 > 0,... і &2 > 0> ^4 > 0,... практычна лепшы той, які запісваецца ў выглядзе Д„_7 > 0, Ап_3 > 0,..., таму што ён змяшчае дэтэрмінант меншага парадку.
3°. Крытэрый Міхайлава (гл. [38], глава I, § 5, с. 32). Гэты крытэрый дазваляе вырашыць пытанне аб размяшчэнні каранёў сапраўднага палінома f (z) на камплекснай плоскасці.
Дапусцім, z = іа. Будзем мець f (ia) = u(a) + iv( CO ),
дзе
u(a) = апап_2а2 + ап_4а4...,
v(a) = an_Iaan_3a3+....
Велічыню f (іа), так званы гадограф Міхайлава, пры зададзеным значэнні параметра CO можна адлюстраваць у выглядзе вектара на камплекснай плоскасці u,v з пачаткам у пачатку каардынат.
Пры змяненні CO у інтэрвале (— =»,+“) канец гэтага вектара апіша нейкую крывую так званую крывую Міхайлава. 3за таго, што функцыя й{(£>) цотная, крывая Міхайлава сіметрычная адносна восі Ой, і таму дастаткова будаваць частку крывой, адпаведную змяненню параметра (0 ад 0 да+<». Калі паліном f (z) ступені п мае т каранёў з дадатнай сапраўднай часткай і п — т каранёў з адмоўнай, то вугал ф павароту вектара f (іа) пры змяненні CO ад
0 да +« роўны (p=fn2m)~. Крытэрый Міхайлава фармулюецца
так: для таго, каб сапраўдны паліном
f(z) = z” +°і zn~'+...+ап_! z + an
11 Зак. 970
321
меў усе карані з адмоўнымі сапраўднымі часткамі, неабходна і дастаткова, каб: 1) вектар f(i(d) пры змяненні (0 ад 0 да + оо зрабіў
паварот на вугал
л ф^р
гэта
п
значыць зрабіў — абаротаў супраць 4
Мал. 9	гадзіннай стрэлкі;
2	) гадограф f (і(й) пры змяненні (0 ад 0 да +°° не
праходзіў праз пачатак каардынат (0,0).
Адсюль вынікае, што для адмоўнасці сапраўдных частак усіх каранёў f (z) неабходна, каб усе карані ўраўненняў й(ы) = 0, v((i)) = 0 былі сапраўднымі і чаргаваліся адзін з другім, гэта значыць паміж любымі двума каранямі аднаго ўраўнення павінен знаходзіцца корань другога ўраўнення.
Прыклад 1. Даследаваць на ўстойлівасць рашэнні сістэмы ўраўненняў
dx	dy
— = ах + 5у, — = х + 2у. dt	dt
Рашэнне. Уласныя лікі матрыцы каэфіцыентаў сістэмы вызначаюцца з ураўнення
= 0 або X* — (2 + й)% + 2d. + 5 = 0.
аХ 5
1 2Х
Згодна з формуламі Віета, якія вызначаюць сувязь паміж каранямі квадратнага ўраўнення і яго каэфіцыентамі, маем, што Х;+Х, =2 + а, Х;Х2 =2а + 5. Калі 2 + а<0 і 2а + 5>0 адначасова, то карані гэтага ўраўнення маюць адмоўныя сапраўдныя часткі. Гэта значыць, што пры 2,5  2,5 або a > 2, то характарыстычнае ўраўненне мае