КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

3 умовы ~y — ~~ f (x) — 0 маем = , , • 3 апошняй dx dy	aA
dy dx
роўнасці, прыраўняўшы, напрыклад, абедзве часткі да 1, знаходзім
B(y) = ^,A(x) = \f(t)dt.
Ляпунова
Такім чынам, увядзём функцыю
V(x,y) = ^+ \f(t)dt.	(19)
2 о
Няхай выконваюцца ўмовы
х f(x)>0, х*0, уу(у)>0, у*0.	(20)
Тады функцыя (19) з’яўляецца дадатна вызначанай, а яе вытворная роўна V = ~У ty(y)
Мноства V = 0 у дадзеным выпадку мае выгляд [у = 0, х 
1 Іа*
331
адвольнае}. Але калі на некаторым рашэнні у = 0 , то і ў = 0 , a значыць, і f (х) = 0. Згодна з умовамі (20) пункт х = 0 з’яўляецца адзіным нулём функцыі f (х). Значыць, ва мностве V = 0 няма цэлых траекторый, акрамя пункта х = 0, у = 0.
Згодна з тэарэмай 7, нулявое рашэнне ўраўнення (18) асімптатычна ўстойлівае, калі выконваюцца няроўнасці (20).
м
Калі, акрамя таго, Um \ f (t)dt = °°, то ў сілу тэарэм 7 і 5
нулявое рашэнне асімптатычна ўстойлівае ў цэлым.
§ 4. Устойлівасць па першаму набліжэнню
Няхай х = 0становішча раўнавагі нармальнай сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў
X = f(t,x),	(21)
правая частка якой задавальняе ўмовам тэарэм існавання і адзінасці і мае выгляд
f(t,x) = A(t)x + F(t,x), дзе A(t) матрыца, прычым
\F(t,x)\
Пт 1	=0.
Ы>о |х|
Лінейную сістэму
х= A(t)x
называюць першым набліжэннем або лінеарызацыяй зыходнай сістэмы (21).
Адзначым, што згодна з дапушчэннямі
F(t,0) = 0 і A(t) =
(^fi	—
Т~(^0), J = ^^ дх,
ў = 1,п
Разгледзім выпадак, калі A пастаянная матрыца.
332
Тэарэма 8 (тэарэма Ляпунова аб устойлівасці па першым набліжэнні). Няхай зададзена нармальная сістэма ўраўненняў
х = Ax + F(t,x), (F(t,0) = 0\ (22) дзе A пастаянная матрыца, усе ўласныя значэнні якой маюць адмоўныя сапраўдныя часткі, і пры t>toi дастаткова малым |х|
\F(t,x)\toi дастаткова малым |х|
\F(t,x)\ 0.
1	+ t
Пры t > 0 усе ўмовы тэарэмы Ляпунова аб устойлівасці па першым
набліжэнні выкананы, таму што матрыца A =
мае ўлас
ныя значэнні Х] 2 =2 + і. Таму становішча раўнавагі х = у = 0 будзе асімптатычна ўстойлівым.
333
Прыклад 2. Аварачальны pyx снараду апісваецца ўраўненнямі
Jp + Ad2 sin Р cos р Cndcos Р = eRsin Р cos a, »	. •	„	■	(23)
Ad cos Р 2 Ad^> sin $ + Cn$ = eRsin a,
дзе a,P некаторыя вуглы, што мяняюцца з часам, п праекцыя вуглавой скорасці вярчэння снарада на яго вось, С момант інерцыі снарада адносна яго восі, A момант інерцыі адносна вертыкальнай восі, што праходзіць праз цэнтр цяжару, е адлегласць ад цэнтра цяжару да цэнтра ціску (так называецца пункт, дзе прыкладаюцца сілы супраціўлення паветра), R лабавое супраціўленне. Даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне ўраўненняў руху.
Рашэнне. Будзем меркаваць, што ў (23) sin a ~ a, cos a ~ 1, sin$~$, cos ^ ~ 1. Адкінуўшы члены, парадку вышэй за першы, для (23), атрымаем ураўненні першага набліжэння
AQCnd = е^Р,
а	(24)
Ja + Cnp = eRa.
Характарыстычнае ўраўненне лінейнай сістэмы (24) мае выгляд
А)сeR СпХ
= 0
Спк AX"eR
або
(AX2 eR] +С2п2)с =0.
Ураўненне (25) мае карані
X1.2.3.4 (?А)~' ± Спі ± ^4 AeR С2п~ .
(25)
(26)
Калі 4 AeR С2п2 > 0. то два карані (26) маюць дадатную сапраўдную частку і рашэнне лінейнай сістэмы (24) няўстойлівае. Пры гэтым, у сілу тэарэмы 9, рашэнне нелінейнай сістэмы (23) таксама няўстойлівае.
Калі ж 4AeR С2п~ < 0, то ўраўненне (25) мае дзве пары
334
чыста ўяўных каранёў. У гэтым крытычным выпадку ўраўненні першага набліжэння (24) не дазваляюць разважаць аб устойлівасці поўнай сістэмы (23).
Заўвага 1. Выкарыстоўваючы тэарэму Чэтаева, можна паказаць, што ў выпадку 4AeR — С2п2 <0 рашэнне сістэмы (23) будзе ўстойлівым (гл. [38], глава I, § 3, с. 21 22).
Практыкаванне 2. Правесці поўнае даследаванне сістэмы (23) на ўстойлівасць.
Прыклад 3. Знайсці, пры якіх значэннях параметраў a і Р dx
рашэнне х = у = z = 0 сістэмы ўраўненняў — = OCX cos У + е>
dy	■> dz
— = $ sin х + ln( 1 + ay) xz , — = х cos z + $у + sin az асімптатычна ўстойлівае.
Рашэнне. Ураўненні першага набліжэння, якія адпавядаюць дадзенай сістэме, маюць выгляд dx п dy п dz п — = ax + Bz, — = B+ay, — = By + az.
dt v dt	dt
Уласныя лікі матрыцы каэфіцыентаў апошняй сістэмы вызначацца з характарыстычнага ўраўнення
аХ
Р
0
0
aX
Р
3
о
ak
= 0, к3 Зак2 +За2Ха3 $3 =0.
Для вызначэння значэнняў параметраў a і Р, пры якіх сапраўдныя
часткі каранёў характарыстычнага ўраўнення адмоўныя, выкарыстаем крытэрый РаусаГурвіца (гл. § 2). Матрыца Гурвіца для характарыстычнага ўраўнення будзе такой:
' За 1	0	'
a5pJ За2 За
0	0	а5Р^
335
Умовы адмоўнасці сапраўдных частак каранёў гэтага ўраўнення запішуцца ў выглядзе сістэмы няроўнасцяў
За>0, 9а3 +а3 +^>3 >0, a3pJ>0.
3 гэтай сістэмы знаходзім a < 0,2a < Р < a. Гэта значыць, што, калі a і Р задавальняюць умовам a < 0, і 2a < Р < a, тады рашэнне х = у = z = 0 зыходнай сістэмы з’яўляецца асімптатычна ўстойлівым (гл. тэарэму 8).
§ 5.	Фазавая плоскасць
Даследаванне фазавага партрэта сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў з’яўляецца адной з задач так званай якаснай тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў.
Разгледзім сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў dx dy
~Т=Р(х, у), — = Q(x, у), (27) dt dt
дзе Р(х,у) і Q(x,y) непарыўна дыферэнцавальныя ў некаторым абсягу D е R' (або ва ўсёй плоскасці) функцыі. Сістэму (27) часта называюць дынамічнай сістэмай, а каардынатную плоскасць Оху яе фазавай плоскасцю.
Даследаванне наваколля становішча раўнавагі сістэмы (27) гэта лакальная задача якаснай тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў. У асобных выпадках, даследаваўшы паводзіны фазавых крывых у наваколлі кожнага пункта раўнавагі, удаецца рашыць глабальную задачу якаснай тэорыі устанавіць паводзіны фазавых крывых сістэмы (27) на ўсёй фазавай плоскасці. У агульным выпадку гэтая задача даволі складаная.
У сістэме (27) могуць мець месца тры тыпы фазавых траекторый (гл. § 4.8): пункт, замкнутая крывая і незамкнутая крывая. Рашэнне. траекторыяй якога з’яўляецца пункт [х0,у0^ (становішча раўнавагі), пастаяннае x(t)x0, y(t) = у0 для ўсіх t е R. Замк
336
нутая крывая адпавядае перыядычнаму рашэнню, а незамкнутая 
неперыядычнаму.
Каб пабудаваць траекторыі сістэмы (27) на фазавай плоскасці Оху, можна або даследаваць непасрэдна паводзіны так
званых асаблівых фазавых крывых гэтай сістэмы (пункт спакою, лімітавыя цыклы (гл. § 4.8) і незамкнутыя крывыя), або, падзяліўшы адно ўраўненне на другое , прывесці (27) да ўраўнення першага
парадку
dy _ Q(x.y) dx Р(х,у)
(28)
Траекторыі сістэмы (27) будуць інтэгральнымі крывымі ўраўнення (28). Іх можна пабудаваць, рашыўшы (28), або метадам ізаклін, пры гэтым неабходна даследаваць пункты спакою сістэмы (27).
Для даследавання пунктаў спакою сістэмы (27) патрэбна перанесці пачатак каардынат у даследуемы пункт і раскласці функцыі Р(х,у) і Q(x,y) у наваколлі гэтага пункта ў рады Тэйлара па х і
у. Адкідаючы ўсе члены, пачынаючы з другога парадку, атрымаем лінейную сістэму
х = aj/X + а]2у, ў = а2Іх + а22у.
Няхай X] і X2 уласныя значэнні матрыцы
(29)
aij,j = l,n
J = ^п
Становішча раўнавагі (0,0) сістэмы (27) будзем называць нявыраджаным, калі лікі \1 \ к2 не роўны паміж сабою і іх сапраўдныя часткі адрозніваюцца ад нуля. Паводзіны траекторый лінейнай сістэмы (29) былі апісаны ў § 3.8. За становішчам раўнавагі (0,0) сістэмы (27) захоўваецца назва, дадзеная ў § 3.8. Калі лікі ^ і ^2 абодва сапраўдныя і адмоўныя, то становішча раўнавагі называецца ўстойлівым вузлом. Калі лікі Х; і Z,2 абодва сапраўдныя і дадатныя,
337
то становішча раўнавагі называецца няўстойлівым вузлом. Калі лікі Х7 і X, камплексна спалучаныя і маюць адмоўную сапраўдную частку, то становішча раўнавагі называецца ўстойлівым фокусам. Калі лікі X; і ^ камплексна спалучаныя і маюць дадатную сапраўдную частку, то становішча раўнавагі называецца няўстойлівым фокусам. Калі лікі ^ і X, сапраўдныя і маюць розныя знакі, то становішча раўнавагі называецца сядлом.
Найбольш простыя ўласцівасці паводзін траекторый паблізу становішчаў раўнавагі можна ўстанавіць, непасрэдна карыстаючыся тэарэмай 8. Так, можна сцвярджаць, што ўстойлівы вузел і ўстойлівы фокус з’яўляюцца асімптатычна ўстойлівымі становішчамі раўнавагі. Гэтае сцвярджэнне ў значнай ступені ўжо вырашае пытанне аб паводзінах траекторый паблізу вузла і фокуса. Сапраўды, калі вядома, што дадзенае становішча раўнавагі з’яўляецца асімптатычна ўстойлівым, то з пункту гледжання прыкладанняў ужо часта бывае не важна, якім менавіта чынам імкнуцца да яго траекторыі.
Для прыдання больш простага віду сістэме (27) прыменім у фазавай плоскасці пераўтварэнне каардынат. Раскладаючы правыя часткі сістэмы (27) у рады Тэйлара па х іу з дакладнасцю да членаў другога парадку, атрымаем:
х = ацХ + аІ2у + Fl(x,y), ў =a21x + a22y + F2(x,y),
(30)
дзе астаткавыя члены F/(x,y) і F2(x,y) у пункце х = 0, у = 0 пеператвараюцца ў нуль разам са сваімі першымі вытворнымі па х і у і могуць быць запісаны ў выглядзе
F/(x,y) = гпх2 + 2гІ2ху + гІ3у2, ^2(Х>У) = Г21Х' + ?Г22ХУ + Г23У2 
(31)
прычым каэфіцыенты г^ гэтых «квадратычных форм» з’яўляюцца функцыямі зменных х,у, абмежаванымі паблізу пачатку каардынат. Выконваючы сапраўднае лінейнае пераўтварэнне велічынь х,у
338
у велічыні ^,Т|. можна прывесці сістэму (30) да простага прычым неабходна адрозніваць два выпадкі:
1) калі ўласныя значэнні X/ і X, матрыцы
ау,) = 1,п, і = 1,п
сапраўдныя і розныя, тады сістэма ўраўненняў для запісваецца ў выглядзе
^ = ХД + р^,Г|Л П = Х2Г| + О(^ПА
віду,
(32)
ау,1 = 1,п,
2) калі ўласныя значэнні матрыцы
камплексна спа
U = а» ;
лучаныя, гэта значыць маюць выгляд oc + z'P і аф, то сістэма ўраўненняў для ^,Т| запішацца ў выглядзе