КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

m~— = mgsin 0~—pSC]V‘, at	2
dQ	1	2
mv—=mgcos 8+ — pSC,v . at	2	~
Тут m маса планёра, v скорасць pyxy, 0 вугал паміж датычнай да траекторыі і воссю Ox, g паскарэнне сілы цяжару, р шчыльнасць паветра, S плошча крылаў планёра.
Увёўшы беспамерныя велічыні
\pSC, \pgSC, С,
\ 2mg \ 2,ng С2 ураўненні руху запішам у выглядзе
7 . у2 cos 0
y = sin$ay, 0 = ,	(40)
У
347
дзе дыферэнцаванне вядзецца па беспамернаму часу Т. 3 ураўненняў (40) вынікае, што дынаміка палёту планёра характарызуецца адным істотным дадатным параметрам a, які роўны стасунку сілы супраціўлення руху планёра да яго пад’ёмнай сілы.
Паколькі значэнні (^,у) і (0 + 2п,у) адпавядаюць аднаму і таму ж стану, фазавай прасторай разглядаемай дынамічнай сістэмы з’яўляецца паверхня цыліндра, на якім уздоўж утваральнай адкладзена велічыня у, а ўздоўж накіравальнай вугал 0 . Будзем разглядаць толькі абсяг у>О,у якім фазавыя траекторыі сістэмы (40) за
давальняюць ураўненню
dy _y(sinG + ay2 )
dQ cosQy2
Інтэгральная крывая у = 0 з’яўляецца асаблівай фазавай
траекторыяй сістэмы ўраўненняў (40) і адпавядае імгненнаму пера
л
л
кульванню планёра са становішча 0 = у у становішча 0 = — у ПРЫ
ператварэнні скорасці ў нуль.
Разгледзім спачатку частковы выпадак а = 0, калі сілы супраціўлення адсутнічаюць і разглядаемая сістэма аказваецца кансерватыўнай. Ураўненні руху (40) у гэтым выпадку прымаюць выгляд у2 cos 0
y = sin&, 0 = .	(42)
У
Адзінае становішча раўнавагі сістэмы (42) знаходзіцца ў пункце 0 = 0, у = 1 і адпавядае рэжыму гарызантальнага палёту планёра з пастаяннай скорасцю. Фазавыя траекторыі вызначаюцца судачынен
нем
^у у cos 0 = const,
(43)
якое з’яўляецца першым інтэгралам ураўнення (41) пры a = 0. Згодна з (43) на фазавым цыліндры знаходзяцца два іншыя асаблівыя
348
пункты з каардынатамі д = —, у = 0
0 =	, у = 0 . Аднак яны не
2
будуць з’яўляцца становішчамі раўнавагі сістэмы (42), паколькі ў гэтых пунктах вытворная ў не роўна нулю. Пры пастраенні інтэгральных крывых на фазавым цыліндры будзем карыстацца крывымі (43) на дапаможнай плоскасці, дзе па восях каардынат адкладзены велі2
чыні у і cosQ (мал. 17). Значэнню С = ~ адпавядае асаблівы
пункт Q = 0, у = 1 тыпу цэнтра. Для значэнняў С на інтэрвале
— — < С <0 фазавыя траекторыі ўяўляюць сабой замкнутыя крывыя,
што ахопліваюць цэнтр, і для значэнняў С>0 замкнутыя крывыя, якія ахопліваюць фазавы цыліндр. Інтэгральная крывая, якая адпавядае значэнню С = 0, падзяляе гэтыя
два тыпы замкнутых траекторый. Яна складаецца з сепаратрыс седлавых асаблі
лівых пунктаў 0 =—,
у = 0
і
е=ў
у = 0, вызначаных
Мал. 17.
ураўненнем у = 0, — <&< — і
у2 = 3cos 0. Разбіўка фазавага цыліндра на траекторыі прыведзена на мал. 18, дзе адлюстравана разгортка цыліндра на плоскасць. Траекторыі руху планёра, якія адпавядаюць розным тыпам фазавых траекторый, прыведзены на мал. 19.
349
Такім чынам, pyx пункта па замкнутых фазавых траекторыях, што ахопліваюць становішча раўнавагі на фазавым цыліндры, адпавядае палёту планёра па хвалістых лініях, а пры руху па крывых, што ахопліваюць фазавы цыліндр, палёту, пры якім планёр робіць мёртвыя петлі.
ў агульным выпадку a *0.
Мал. 18	Згодна з ураўненнямі (40)
сістэма, як і раней, мае адно становішча раўнавагі, аднак, цяпер яго каардынаты вызначаюцца судачыненнямі
( ^
Qn=arctga \— вузел.
350
Пакажам, што ў разглядаемым выпадку на фазавым цыліндры не можа быць замкнутых фазавых траекторый ні пры якім значэнні параметра a *0.
Для гэтага выкарыстаем крытэрый Дзюлака (гл. заўвагу 5.1), узяўшы у ў якасці функцыі F :
д(уР) d(yQ) ( 3\д ( 2 ч 2
Гэты выраз ператвараецца ў нуль толькі на акружнасці у0, якая ахоплівае фазавы цыліндр. Значыць, у абсягу у>0 замкнутыя фазавыя траекторыі адсутнічаюць.
Упэўнімся ў тым, што ў абсягу у > 0 не можа быць замкнутых траекторый, якія ахопліваюць фазавы цыліндр. Сапраўды, дапусцім, што такая траекторыя існуе. Тады, злучыўшы гэтую замкнутую фазавую крывую з інтэгральнай крывой у = 0 пры дапамозе
адрэзка ўтваральнай, атрымаем замкнуты контур (мал. 20), які абмяжоўвае абсяг, заключаны паміж інтэгральнымі крывымі. Інтэграл jy(PdyQdx), узяты ўздоўж гэтага контура, роўны нулю, таму што адрэзак АВ на мал. 20 праходзіцца два разы ( у прамым і зваротным напрамку), a астатнія ўчасткі гэтага замкнутага контура складаюцца з інтэгральных крывых. Таму
Мал. 20 дСуР) d(yQ)
выраз ——Чпавінен быў бы ў разглядаемым абсягу пера
оу дх
тварацца ў нуль, што немагчыма. Значыць, у выпадку a *0 усе фазавыя траекторыі асімптатычна набліжаюцца да ўстойлівага становішча раўнавагі. Фазавы партрэт сістэмы адлюстраваны на мал. 21.
Такім чынам, калі прысутнічаюць сілы супраціўлення паветра, планёр пры любых пачатковых умовах прыходзіць да адзінага ўстойлівага раўнаважнага рэжыму. Калі пачатковая скорасць планё
351
ра дастаткова вялікая, то планёр зробіць спачатку адну або некалькі мёртвых петляў, затым па хваліста згасальнай траекторыі будзе набліжацца да траекторыі прамалінейнага палёту.
Адна з магчымых траекторый палёту планёра Мал. 21 паказана на мал. 22.
Прыклад 3. Лінейны асцылятар з вязкім трэннем.
Малыя ваганні асцылятара ў тым выпадку, калі сіла вязкага трэння будзе прапарцыянальнай скорасці, апісваюцца ўраўненнем mz + hz + kz = 0,
дзе т маса, h каэфіцыент трэння, к каэфіцыент пругкасці асцылятара.
Электрычным аналагам гэтай сістэмы служыць вагальны контур з амічным супраціўленнем R , які задавальняе ўраўненню
Lq + Rq+^q = 0, тут q зарад кандэнсатару, С ёмістасць, L індуктыўнасць. У
беспамерных велічынях
zo\ Чо )
2°=R^ =
абодва гэтыя ўраўненні запішуцца ў выглядзе
х + 25х + х = 0,
(45)
дзе на гэты раз кропка азначае вытворную па Т, а не па /, як у папярднім выпадку.
352
У адсутнасці вязкага трэння (8 = 0) атрымліваем кансерватыўную сістэму. Фазавыя траекторыі на плоскасці Охх уяўляюць сабой канцэнтрычныя акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат. Аднак для любога як патрэбна малога 5 (0 <Ь « 1) у фазавым партрэце адбываюцца якасныя змяненні. Сапраўды, агульным рашэннем ураўнення (45) пры 0 <Ь « 1 з’яўляецца
х = Ае~Ьх cos (сот + a),
дзе co = >/^ 82; А,а адвольныя пастаянныя. Згодна з гэтым рашэннем параметрычныя ўраўненні траекторый на фазавай плоскасці Оху маюць выгляд
х = Ае~^х cos (сот + a),
1	(46)
у = х = Ае [Seos (шх + а)+ (йsin fcor + аД
Калі ўвесці зменныя й = (йх, v = y + 8x, то ўраўненні фазавых траекторый на плоскасці Ouv у палярных каардынатах р, ф (u = pcos ф, v = psin ф) прымаюць выгляд
р = соЛе5т, ф = (сот + а),
S
а пасля вылучэння часу Т , р = Сехр—ф, дзе С новая адвольная
пастаянная.
Такім чынам, на плоскасці Ouv фазавымі траекторыямі служыць сямейства лагарыфмічных спіраляў з асімптатычным пунктам у пачатку каардынат. На плоскасці Оху фазавыя траекторыі таксама ўяўляюць сабой спіралі, што скручваюцца да пачатку каардынат (мал. 23). Пры руху па любой з гэтых фазавых траекторый пункт асімптатычна (пры t —» +»)
набліжаецца да пачатку каардынат, дзе знаходзіцца асаблівы пункт 
12 Зак. 970
353
устойлівы фокус. Пункт х = 0,у = 0 уяўляе сабой асобную фазавую траекторыю, якая адпавядае асімптатычна ўстойліваму становішчу раўнавагі асцылятара. Калі каэфіцыент вязкага трэння дастаткова вялікі (3>7), то агульнае рашэнне ўраўнення (45) запісваецца ў выглядзе
х = Ае+Рі‘ + Ве^', р12 = | (8 ± № ~1\
дзе A, В адвольныя пастаянныя. Значыць, пры любых пачатковых
умовах рух затухае па экспаненцы
ўяўляе сабой устойлівы вузел.
яльнаму закону. У гэтым выпадку сямейства інтэгральных крывых (у + Рі*/1 = С(у + р,х)Р2	уяўляе
сабой на плоскасці Оху дэфармаваныя парабалы, якія датыкаюцца прамой у = ~Р]Х (мал. 24, стрэлкамі адзначаны напрамак руху пункта). Адзіны асаблівы пункт гэтага сямейства, як і ў папярэднім выпадку, знаходзіцца ў пачатку каардынат і
У гранічным выпадку (3 = 7) таксама атрымліваем сямейства крывых парабалічнага тыпу, а ў пачатку каардынат устойлівы асаблівы пункт тыпу вузла. Такім чынам, пры любых значэннях фізічных параметраў у абсягу 8> 0 і любых пачатковых
умовах разглядаемая сістэма выконвае згасальныя (перыядычныя або аперыядычныя) рухі.
Заўвага 1. Аб іншых прыкладах даследавання канкрэтных сістэм віду (27) метадамі якаснай тэорыі гл., напрыклад, [39], глава ПІ, с. 4064 [40], с. 79230; [41], с. 80152; [42], глава IV, §28, с. 348; [43], глава II, § 4, с. 53 і інш.
354
§ 7. Устойлівасць лінейных нестацыянарных сістэм
1.	Прывядзём спачатку галоўныя паняцці тэорыі ўстойлівасці Ляпунова ў прымяненні да лінейных сістэм. Разледзім неаднароднае ўраўненне
х = A(t)x + f (t),	(47)
дзе, як і раней, A(t)~ непарыўная (пхп)матрыца, f (t) непарыўны п — вектарслупок, зменная t мяняецца на дадатнай паўпрамой R+ ={t е R: t>0}.
Няхай toeR+, х° (у°) & Rn; x(t,t0,x°) (x(t,t0,y° )) рашэнне сістэмы (47) з пачатковай умовай x(t0) = х° (х(t0) = у°).
Выкарыстоўваючы § 1, увядзём наступныя азначэнні.
Азначэнне 1. Сістэму (47) назавём устойлівай, калі для любога дадатнага ліку £ і любога t0 6 R+ знойдзецца велічыня S = $(tn,$)>0, што з няроўнасці |хв /| < 6 вынікае судачыненне \x(t,t0,x° )x(t,t0,y° )\ < е ’ справядлівае пры t>t0. Калі лік 5 можна выбраць незалежным ад t0 е R+, то сістэма (47) называецца раўнамерна ўстойлівай.
Ясна, што з раўнамернай устойлівасці вынікае ўстойлівясць. Адваротнае, наогул кажучы, няправільна.
Прыклад 1. Разгледзім скалярнае ўраўненне
х = (4t sin t 2t )х,	(48)
сукупнасць рашэнняў якога апісваецца формулай
x(t,t0,x° ) = х° exp.
12а Зак. 970
355
У сілу таго, што паслядоўнасць [ехр[ті(4п)(4п +1)^ неабмежаваная, то ўраўненне (48) раўнамерна ўстойлівым не з'яўляецца.
Азначэнне 2. Сістэма (47) асімптатычна ўстойлівая, калі для любога t0 е R+ і любых х° ,у° & Rn мае месца ўмова