Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
х(‘о) = хО (2)
эквівалентным інтэгральным ураўненнем t
x = x0 + jfO’xO))^ (3)
lo
Сапраўды, калі некаторая непарыўна дыферэнцавальная функцыя x = x(t), tel ператварае ў тоеснасць ураўненне (1) і задавальняе ўмове (2), то, інтэгруючы гэтую тоеснасць і ўлічваючы ўмову (2), атрымаем, што х = x(t), tel ператварае ў тоеснасць і ўраўненне (3). Калі ж некаторая непарыўна дыферэнцавальная функцыя xx(t), tel ператварае ўраўненне (3) у тоеснасць, то яна, відавочна, задавальняе і ўмове (2), а, дыферэнцуючы тоеснасць (3) (функцыі fix — непарыўныя, непарыўнай з’яўляецца і функцыя
t
f(fx(t)) пры tel, а значыць, функцыя J f (t ,x(t ))dt ‘о дыферэнцавальная), атрымаем, што x = x(t), tel ператварае ў тоеснасць і ўраўненне (1).
Дакажам спачатку існаванне непарыўных рашэнняў інтэгральнага ўраўнення (3), прымяняючы для гэтага метад паслядоўных набліжэнняў Пікара.
За зыходнае (нулявое) набліжэнне x0(t) прымем функцыю, роўную тоесна адпаведнаму пачатковаму значэнню шуканай функЦыі: x0(t) = x0.
Заменім у падынтэгральнай функцыі ўраўнення (3) зменную x(t ) нулявым набліжэннем. Атрыманую функцыю возьмем у якасці 374
першага набліжэння, гэта значыць t
Xi(t) = x0 + jf(t,x0(7)}ff. (4)
f0
За другое набліжэнне возьмем
t
x2(t) = x0 + \f^>xI(’t)yti. (5)
‘о
Наогул, у якасці п га набліжэння возьмем функцыю, вызначаную судачыненнем
t
хп(і) = х0 + \/$,хп_,(і)Уі,п = 3.......... (6)
‘о
Такім чынам, пабудавана паслядоўнасць функцый [xn(t)}.
Пакажам спачатку, карыстаючыся метадам матэматычнай індукцыі, што ўсе функцыі паслядоўнасці [xn(t)} вызначаныя і непарыўныя ў некаторым прамежку |/^|<3 і не выходзяць з замкнутага абсягу Ro = {|/ /01 < 5; |х х01 < />}, гэта значыць, што выконваюцца няроўнасці
\xn(t)x0\ xl(t)}^\ f^> хов)№ = to to
Адсюль
x0 | < M | t to | i карыстаючыся ўмовай
Улічваючы, што | Xj
Ліпшыца, атрымаем
I x2
to
'о
= LM
м
2!
Дапусцім цяпер, што мае месца ацэнка
п~хп1
п1
п!
(Ю)
Пакажам, што тады
п
\хп+і~хп \ ^М L
Сапраўды, маем
377
хп+і ^ = J [Ж*л f^)f^, Хп1 (tj^di.
Адсюль
У сілу таго, што ацэнка (10) мае месца для п = 1 і п = 2 ,тоз вышэй сказанага і метаду матэматычнай індукцыі вынікае, што яна выконваецца для ўсіх п. 3(10) маем
5”
\xnx^\sML"'—.
Згодна з гэтай формулай можна сцвярджаць , што модулі членаў рада (9) не большыя за адпаведныя члены збежнага рада з дадатнымі
членамі:
II 82 783
х^ + М8 + Mh ~ + Mh
1 1 2! 3!
Згодна з прыметай
Вейерштраса (гл. [4], глава III, § 1, с. 109) рад (9) збягаецца і прытым раўнамерна ў прамежку | 1^ | < 8 . А значыць, па тэарэме аб непарыўнасці сумы рада (гл. [6], глава XI, § 2, с. 633) функцыя xf/J, як сума рада (9) або лімітавая функцыя паслядоўнасці [xn(t)^, будзе непарыўнай пры \ ttQ | < 5.
Пакажам цяпер, што лімітавая функцыя x(t) задавальняе ўмове
378
I x(t)x0 \сю fo lo
пры 111/5 I $ ■ Сапраўды,
Wxnf't lxfi )\dt
>o
У сілу таго, што xn(t) збягаецца раўнамерна да x(t) у інтэрвале
\ tto |<6, для любога наперад зададзенага дадатнага ліку е знойдзецца нумар Nz такі, што пры п > Nz выканаецца няроўнасць
х„ х | < е для ўсіх t з інтэрвалу | 1 ^ | < 8. Таму будзем мець
< L z\t 10 I < Le8 —> 0 пры
Такім чынам, судачыненне (12) даказана. Пераходзячы цяпер у роўнасці (6) да ліміту пры л—>°°, атрымаем (3). Значыць, x(t) —
непарыўнае пры |//0|<5 рашэнне ўраўнення (3). Яно і ўяўляе
сабою рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення (1) пры пачатковай
379
умове (2), вызначанае і непарыўна дыферэнцавальнае ў інтэрвале l^^I^S.
Дакажам цяпер, што гэтае рашэнне ва ўказаным сэнсе адзінае. Дапусцім, што існуе іншае рашэнне y(t) (коратка у), якое задавальняе тым жа умовам (2), вызначанае і непарыўнае ў некаторым інтэрвале \ t to | < 8 , дзе 0 < 8 < 8 , і якое не выходзіць пры такіх t з абсягу Ro . Тады пры \tt0 | < 8 будзем мець
У = х0 + jftj.yO ))d7 . (13)
l0
Ацэнім рознасць хпу. Карыстаючыся формуламі (6), (13) і ўмовай Ліпшыца, атрымаем
п
I ’Хп1
7
(14)
3(13) маем
J \лп1 'о
‘о
Улічваючы гэта і дапускаючы ў (14) п = 1, атрымаем
y\ <» (як агульны член збежнага рада). Таму lim xn(t) = y(t) пры
1 1С < 5. Вышэй было даказана, што lim xn(t) = x(t) пры
Л—>ОО
ttQ <5. Таму y(t) = x(t) пры
t~ tQ < 8, гэта значыць ра
шэнне y(t) супадае з рашэннем x(t), што і даказвае яго адзінасць.
Тэарэма 1.2 даказана.
Тэарэма 1.3. Няхай к = 1. Падстаўляючы x(t) ва ўраўненне dx — = f (t,x), атрымаем тоеснасць
^^f(t,x(tj), (17)
at
і таму, у сілу тэарэмы 1.2, рашэнне x(t) мае ў некаторым наваколлі
пункта/о непарыўную вытворную f(t,x(tj).
Згодна з тэарэмай аб дыферэнцавальнасці складанай функцыі
(гл. [8], глава III, § 9, с. 79), функцыя ад адной зменнай f(t,x(t))
будзе непарыўна дыферэнцавальнай у сілу непарыўнай дыферэнцавальнасці па сукупнасці зменных функцый f(t,x) і x(t)y разглядаемым наваколлі пункта t0. Такім чынам, правая частка тоеснасці (17) непарыўна дыферэнцавальная ва ўказаным наваколлі d2x
пункта tQ, гэта значыць існуе непарыўная другая вытворная —у . dt~
Няхай к — 2. Прадыферэнцаваўшы тоеснасць (17) па t, атрымаем d2x(t) df(t,x(t)) і df(t,x(tj) dx(t) dt2 dt dx dt
13a Зак. 970
381
У сілу існавання непарыўных вытворных другога парадку функцыі f можна, дыферэнцуючы яшчэ раз тоеснасць (17), паказаць існаванне і непарыўнасць трэцяй вытворнай рашэння x(t)\
^i = ^L+7^LLf^f2^(V^f}
dt3 dt2 dt dx dx2 dx\dt dx J
Разважаючы аналагічна k разоў, даказваецца сцвярджэнне тэарэмы.
Тэарэма 1.4. Непарыўнасць рашэння, як функцыі параметра, будзе азначаць, што для Ve>0 3h(t)>0 такое, што пры |Лц| < h выконваецца няроўнасць
| х(/ф + Ац)х(1,ц)|<£
для любых ц і Ц + Ац з некаторага інтэрвалу |Ц Цо | < 5. Доказ праводзіцца па схеме, аналагічнай доказу тэарэмы 1.2.
Задача Кашы dx — = f(t,x,p.), x(t0,p.) = x0
замяняецца інтэгральным ураўненнем
t
х = х0 + ^ f (7,x,\l) dt . (18)
‘о
Будуецца бясконцая паслядоўнасць функцый ^xn(t,[l)^ па формулах
t
xn(t,U.) = x0+\f(7,xn_]4i)dt. (19)
to
Паслядоўнасць будзе раўнамерна збягацца адносна /,Ц у разглядаемым абсягу, таму што агульны член рада
Хо+Іх1(1^)~ х0] + [х2(^^)~х1(t.li)]+...+[хп(t,v)хп_,(Г. ц)]+. мае ацэнку
382
\хп ^’ н> хпі (^ нЛ ^ ML”1 —
(гл. формулу (10)), дзе |/(t,x,[l)\< М. Сума гэтага рада, функцыя x(t,^.), што супадае з лімітавай функцыяй паслядоўнасці, будзе непарыўнай адносна ЛЦ у абсягу |//0|<5, ||1|І0І<5, таму што члены рада непарыўныя адносна /, Ц у гэтым абсягу і рад у ім збягаецца адносна /,|1 раўнамерна. Пераходзячы да ліміту ў (19), упэўнімся, што x(t,^.) задавальняе (18). Аналагічна, як і ў доказе тэарэмы 1.2, можна паказаць адзінасць такога рашэння.
Тэарэма 1.5. Няхай к = 1, a x = ^(t,[l) — рашэнне задачы Кашы (1.67). Функцыя х = ф(7,Ц + Дцў задавальняе ўраўненню dx
— = /^,х,|Д +Д|1ў і дадзеным Кашы x(t0,\X) х0, а функцыя dt
Дф = ф(% Ц + Дц)ф(/ф) будзе тады задавальняць ураўненню
^^ = /(лфГЛЦ + ДцЛр + Д|1) /(гфГЛЦ/ц).
Прымяняючы да правай часткі гэтага ўраўнення лему Адамара (гл. тэарэму 4.8), перапішам яго так:
d Дф
—— = ДфФ / + ДцФ,, dt
дзе Фу і Ф; —непарыўныя функцыі ад зменных ф(/ф + Ац), Ц, Ц + ДЦ. Падзяліўшы апошнюю роўнасць на Дц , для вызначэння Дф атрымліваем лінейнае ўраўненне
Дф
, А(Р
а ——
W)
dt
13а*
383
Дф
Акрамя таго, —— =0 (функцыі ф(1,|1) і ф^/^ + Дц^ задаваль
Ц t=t0
няюць адным і тым жа дадзеным Кашы). Правая частка ўраўнення (20) непарыўная па зменных t, Д|1 і непарыўна дыферэнцавальная
Дф
па зменнай (згодна з лемай Адамара функцыі Ф/, Ф2 інтэг
Э/ э/
ралы ад непарыўных функцый —, —). Згодна з тэарэмай 1.4 раdx dt
Дф
шэнне “— ураўнення (20) з’яўляецца непарыўным па Д|1 пры ўсіх
дастаткова малых па абсалютнай велічыні Дц . Таму пры Д|1 —> 0
Дф .
велічыня імкнецца да вызначанага ліміту, а гэта азначае існа
ванне вытворнай па Ц ад <р(?,|1/
Э/ У
3 лемы Адамара пры Дд—>0 вынікае Ф/ —» ^—, Ф2 —> .
Эф
Таму вытворная ~— задавальняе дыферэнцыяльнаму ўраўненню
d д^ df Эф df dt\d\X) Эф Эц Эц
(21)
Эф
пры пачатковай умове 7— = 0. Згодна з дадзенымі ўмовамі тэ
t=0
Эф
арэмы, знаходзім, што т— — непарыўная па сукупнасці зменных
Калі f(t,x,[i) мае непарыўныя вытворныя па /, х і // да
КНІГІ ОНЛАЙН
