КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

lim\x(t,t0,x° )x(t,t0,y° )\ = 0.	(49)
Калі ліміт раўнамерны па t0 е R+, гэта значыць для кожнага ліку Т|> 0 знойдзецца велічыня N = N(T\,x° ,у°)> 0, якая не залежыць ад t0, што ^(t.to.x0 )x(t,t0<У° \<г\ пры t^tn+N.To сістэма (47) раўнамерна асімптатычна ўстойлівая.
Прыклад 2. Для скалярнага ўраўнення
х
х = —
t
о х°1о
агульнае рашэнне мае від х(7,/0,х ) =—— (t > tn > 0). Таму яно асімптатычна ўстойлівае, але не раўнамерна асімптатычна ўстойлівае.
3 формулы (3.4.3 Г) вынікае, што вектарнае ўраўненне (47) (далей проста ўраўненне) устойлівае, раўнамерна ўстойлівае, асімптатычна ўстойлівае, раўнамерна асімптатычна ўстойлівае тады і толькі тады, калі гэтымі ўласцівасцямі валодае адпаведнае аднароднае ўраўненне
x = A(t)x.	(50)
Таму далей будзем разглядаць толькі аднародныя сістэмы (50).
У сілу таго, што адлюстраванне хп ^ x(t,t(),xn ) для сістэмы (50) лінейнае (гл. формулу (3.4.3 Г) пры / = 0 ), то азначэнні 1 і 2 можна эквівалентным чынам перафармуляваць пры уп = 0, гэта значыць x(t,tn,y° ) = 0.
Адзначым. што вызначэнне ўмоў устойлівасці ўраўнення (50)
356
з'яўляецца цяжкай, дагэтуль не вырашанай да канца, задачай. Часта ў тэхнічных прыкладаннях выкарыстоўваюць так званы метад «замарожаных» каэфіцыентаў. Гэты метад заключаецца ў наступным. Пры кожным t (f0 < Z < оо) знаходзім усе ўласныя значэнні ^(t) матрыцы A(t). Калі яны задавальняюць умове ReT^ft) < 6 < 0 (1<і<п, t0Q>0, то сістэма (50) няўстойлівая. Гэтыя сцвярджэнні без дадатковых меркаванняў няправільныя, што паказваюць наступныя прыклады.
Прыклад 3. Сістэма
X) = (19 cos2 6t + 6 sin 12t)xj +(12cos2 6t + 4,5 sin 12t)x2,
x2 = (12sin2 6t + 4,5sin 12t)x! (1 + 9sin2 6t + 6sin 12t)x2 мае рашэнне
Xj(t) = Ce2'(cos 6t + 2sin 6t),
x2(t)= Ce2' (cos 6t sin 6t),
дзе C адвольная пастаянная, i таму з'яўляецца няўстойлівай. Аднак уласнымі значэннямі матрыцы A(t) служаць A.; ^ў = J, X2(t) = 10.
Прыклад 4. Для сістэмы
х, = (5,5 + 7,5 sin 12t )х, +7,5 cos 12t ■ х2,
(51) х2 =7,5 cos 12txt + (5,5 7,5 sin 12t)x2
уласныя значэнні матрыцы A(t) наступныя: XI(t) = 2, X2(t) = —13.
Разам з тым нармаваная фундаментальная матрыца X(t) {Х(0)Е} рашэнняў сістэмы (51) мае элементы віду
xl](t) = 0,5е~' (cos 6t + 3sin 6t) + O,5e~101 (cos 6t 3sin 6t),
х,т(і) = —е~'(cos 6t + 3sin 6t)—e~10'(cos 6t 3sin 6t), 6	6
12a*
357
x2i(t) = 0,5e 1 (3cos 6t sin 6t)0,5e 101 (3 cos 6t + sin 6t),
х22({) = Те ' (3cos 6t sin6t) + ~e Іп' (3 cos 6t + sin 6t). o	6
Значыць, сістэма (51) асімптатычна ўстойлівая.
У агульным выпадку мае месца наступнае сцвярджэнне.
Тэарэма 13. Няхай Цу/^<8<0 (j = 1,п ;t0 < t < °о), дзе llj(t) уласныя значэнні матрыцы H(t) = —[A(t) + A'(t)]. Тады сістэма (50) асімптатычна ўстойлівая.
Прыклад 5. Разгледзім сістэму (50), дзе
A(t) =
1 + ае ' sin t	2bsin t
2 + bcost	l + ae~‘costJ
(52)
У сілу таго, што найбольшае ўласнае значэнне матрыцы H(t) = ^[A(t)+ A'(tj\ роўна (Lmax(t) = 1^е~' (cost sint) +
— \b2(cos tsin t)2 + a2e~2' (cos t + sin t)2]2
, to пры b <у/2 cic
тэма (50) з матрыцай (52) асімптатычна ўстойлівая.
Тэарэма 14. Сістэма (50) раўнамерна асімптатычна ўстойлівая тады і толькі тады, калі яна экспаненцыяльна ўстойлівая, гэта значыць калі існуюць такія дадатныя пастаянныя С і а, што для
любых t0 & R+, х° & Rn выконваецца няроўнасць
(53)
Няхай X(t) фундаментальная матрыца сістэмы (50), нармаваная ў пункце t = tQ.
Тэарэма 15. Сістэма (50)
1)	устойліваятады ітолькітады. калі \\X(tJ< С для t > t0, дзе С некаторая дадатная пастаянная;
358
2)	раўнамерна ўстойлівая ў тым і толькі тым выпадку, калі \\Х(1)Х‘(ТІ<С прылюбых t>T>t0
3)	асімптатычна ўстойлівая, тады і толькі тады, калі ^X(t)^ —> 0
пры /—><»;
4)	раўнамерна асімптатычна ўстойлівая тады і толькі тады, калі
знойдуцца дадатныя пастаянныя С і а, што
Wxftjx^x)^
<Сехр[afzTj] для t>x>t0.
3	тэарэмы 15 вынікае, што скалярнае ўраўненне х = a(t)x з непарыўнай на R^ функцыяй a(t) асімптатычна ўстойлівае тады і толькі тады, калі
і
\a(x)dx>°°
пры / —> оо; раўнамерна ўстойлівае, калі і толькі калі
^a(s) ds< М
для любых t >Х> t0, дзе М дадатная пастаянная.
2	. Устошівасць сістэм з амаль ііастаяннай матрыііай. Пад ураўненнем з амаль пастаяннай матрыцай будзем разумець лінейную сістэму
x = (A + B(t))x,	(54)
у якой A пастаянная матрыца, а непарыўная матрыца B(t) зада
вальняе ўмове
п
0
о'^пі=І
(55)
У гэтым выпадку мае месца наступнае сцвярджэнне.
Тэарэма 16 (Р.Белман). Няхай сістэма ў = Ау устойлівая і выконваецца ўмова (55). Тады сістэма (54) таксама ўстойлівая.
359
Л(і) =
Заўвага. Аналагічна высвятляецца, што з асімптатычнай устойлівасці сістэмы ў = Ау вынікае асімптатычная ўстойлівасць сістэм (54), (55).
Калі матрыца А залежыць ад Z, то тэарэма 16, наогул кажучы, няправільная. Гэта пацвярджае прыклад сістэмы x = (A(t)+B(t)]x, дзе
а	0	>	f 0	0'
< 0	sin	In t + cos In	t 	2а/ ^^^	^™	0/
1	1 1
a а падпарадкоўваецца ўмове —0 пры / —>°°. то, абазначыўшы праз а максімальны з лікаў Rekj( Ао) і выбраўшы 3 > 0 так, што V = a + 23 < 0 , можна ўказаць дадатныя велічыні ^ і с, для якіх
НІ^^^^Н^гН (t>N).
Значыць, \x(t)\~* 0, калі t ^ °°. гэта значыць сістэма (50) асімптатычна ўстойлівая.
4.	Устойлівасць лінейных сістэм з перыядычнымі каэфіцыентамі. Няхай зададзена сістэма (50) з непарыўнай перыядычнай матрыцай A(t) перыяду (і), гэта значыць A(t + (£))= A(t), t е R. Абазначым праз X(t) фундаментальную нармаваную пры t = 0 матрыцу рашэнняў ураўнення (50). Вядома (гл. § 3.7), што ўласныя значэнні р; матрыцы манадраміі Х((р) называюцца мультыплікатарамі Флоке сістэмы (50). гэта значыць
361
det^XfajpjE^O.
(57)
Тэарэма 18. Ураўненне (50) з непарыўнай перыядычнай матрыцай A(t) перыяду (0 асімптатычна ўстойлівае, калі ўсе яго муль
тыплікатары Флоке р; належаць ўнутранасці адзінкавага круга jpj < 1. Калі ж |pj < 7, прычым мультыплікатары р/; якія ляжаць
на адзінкавай акружнасці |pz| = 7, маюць простыя элементарныя дзельнікі, то ўраўненне (50) устойлівае. У іншых выпадках ураўненне (50) няўстойлівае.
Прыклад 6. Разгледзім ураўненне другога парадку
x(t) + p(t)x(t) = 0, p(t+ (й) = p(t).	(58)
Адзначым, што з дапамогай падстаноўкі z(t) = x(t)x
да гэтага ўраўнення прыводзіцца і больш агуль
нае ўраўненне z + a(t)z + b(t)z = 0.
Запішам ураўненне (58) у выглядзе сістэмы (50): х = У>
y = P
,<$(0) = 1,
ў(О) = О,\ц(О) = О, ў(0) = 1.
Ураўненне (57) у дадзеным выпадку мае выгляд р~ ap + det Х((й) = 0.	(60)
Згодна з формуламі Віета, АстраградскагаЛіувіля і (60) атрымаем det Х((£)) = 1, a = (p((O) + v((O), pl2 =^a±4cS^4^.
Велічыня а = ф((0) + ф((0) называецца канстантай Ляпунова і вы
362
значае ўстойлівасць ураўнення (58). Могуць мець месца тры выпадкі: а) |а| > 2; у гэтым выпадку абодва мультыплікатары р; і р2 сапраўдныя, прычым |р/|>/, а |р2| < 7; у сілу тэарэмы 18 ураўненне (58) няўстойлівае;
б)	|а| < 2; у гэтым выпадку мультыплікатары ёсць розныя камплексна спалучаныя лікі і |p;| = |pj = /; ураўненне (58) устойлівае;
в)	М = 2 двухкратны корань р; =р2; гэта крытычны выпадак, які патрабуе больш дакладнага даследавання.
Такім чынам, калі
|(р(со; +V|<2,	(61)
то ўраўненне (58) устойлівае. Судачыненне (61) дазваляе для кожнага канкрэтнага ўраўнення з дапамогай лікавага рашэння (гл. главу VIII) дзвюх задач Кашы знайсці ф^СО^ і Vfw? і тым самым вызначыць устойлівасць ураўнення (58).
5.	Устойлівасць прыводных па Ляпунову лінейных сістэм. Разгледзім сістэму (50). Непарыўна дыферанцавальную функцыянальную матрыцу L. вызначаную пры t^tn, назавём матрыцай Ляпунова, калі матрыцы L(t),L(t) абмежаваныя на [^;°°) і ^del L(t)\>m>0 для ўсіх t>t0.
3 азначэння матрыцы Ляпунова вынікае, што матрыца, адваротная да матрыцы Ляпунова, таксама з'яўляецца матрыцай Ляпунова.
Лінейнае пераўтварэнне
х= L( t)y
з матрыцай Ляпунова L называюць пераўтварэннем Ляпунова. Скажам, што лінейнае аднароднае ўраўненне (50), вызначанае на прамежку 7 = [^;°°), прыводная па Ляпунову (далей коратка прыводная), калі існуе пераўтварэнне Ляпунова, якое прыводзіць ураўненне(50)да лінейнага ўраўнення
Ў = By,	(62)
дзе В пастаянная матрыца.
363
Тэарэма 19 (тэарэма М.П.Яругіна) Лінейнае аднароднае ўраўненне (50) прыводнае тады і толькі тады, калі існуе такая фундаментальная матрыца % ураўнення (50), што
X(t)= L(t)eB‘,	(63)
дзе L матрыца Ляпунова, В пастаянная матрыца. ’
Азначэнне 3. Характарыстычным паказчыкам Ляпунова (паказчыкам Ляпунова) ненулявога рашэння х сістэмы (50) назавём велічыню
w(x) = lim — ln\x( t )\.
t*°° t
Лема 3. Пераўтварэнне Ляпунова х = Ly ураўнення (50) не мяняе паказчыкаў Ляпунова адпаведных рашэнняў.