КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

3 лемы 3 непасрэдна вынікае, што калі ўраўненне (50) прыводнае да ўраўнення (62), то паказчыкі Ляпунова рашэнняў ураўнення (50) супадаюць з паказчыкамі Ляпунова адпаведных рашэнняў ураўнення (62).
Абазначым "кк = аА. +/Pt (і = V7) уласныя значэнні матрыцы В
Лема 4. Паказчыкі Ляпунова рашэнняў прыводнага ўраўнення не перавышаюць ліку a = max ReXk .
Тэарэма 20. Прыводнае лінейнае ўраўненне (50) асімптатычна ўстойлівае тады і толькі тады, калі паказчыкі Ляпунова яго рашэнняў адмоўныя.
Прыклад 7. Разгледзім сістэму другога парадку
= (2 cos2 t + 2 2 sin 2t}x, (2 cos2 2t + sin 2t .
/	x (64)
x2 = \2 cos' 2t + sin 2t)X] + (2 sin't + 2 + 2 sin 2t)x2.
Яе фундаментальную матрыцу
’’ М.П.Яругіным устаноўлена таксама кананічная форма і атрыманы іншыя значныя вынікі для прыводных сістэм (гл. Еругнн Н.П. Прнводнмые снстемы. М.: Нздво AH СССР. 1946).
364
X(t) =
(1 ,
—e (sin t + cos t)
4
1 ,
— e (cos t sin t)
e" (sin t 3 cos t) e5' (cos t + 3 sin t)
можна запісаць так:
X(t)=L(t)eBl,
дзе
W =
— (sin t + cos t)
sin t 3 cos t
1
—(cos t sin t) \ 4
cos t + 3 sin t
, B =
(1
J
гэта значыць сістэма (64) з дапамогай пераўтварэння прыводная да лінейнай сістэмы
Ў]=У1’
Ў2 = 5У2
0'
5;
x = L(t)y
(65)
Паказчыкі Ляпунова рашэнняў сістэмы (65), а значыць, і рашэнняў нестацыянарнай сістэмы (64) супадаюць з лікамі 1 і 5. Таму з тэа
рэмы 20 вынікае, што сістэма (64) не з'яўляецца асімптатычна ўстойлівай.
Вынік, аналагічны тэарэме 20, можна сфармуляваць і для вызначэння ўстойлівасці прыводных лінейных ураўненняў (50) (гл. заўвагу 2.1).
Варыянты заданняў для самастойнай працы
I.	1.3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць dx
на ўстойлівасць рашэнне ўраўнення ~ 1 +1 — х , якое задаdt
вальняе пачатковай умове х(0) = 0.
365
Зу 2х3, ~2хЗу3.
dx	dy
2.	Вызначыць характар пункта спакою сістэмы — = 3х + у, — = = 2х + у.
3.	Метадам функцый Ляпунова даследаваць на ўстойлівасць нулявое dx
рашэнне сістэмы — = dt	аі
4.	Даследаваць устойлівасць нулявога рашэння ўраўнення х + х + х + 2х = 0.
5.	Начарціць на фазавай плоскасці траекторыі сістэмы х = у~ 4х2, ў = 4у8 і даследаваць асаблівыя пункты.
II.	1.3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць dx
на ўстойлівасць рашэнне ўраўнення — = f + х, якое задавальняе
пачатковай умове х(0) = 1.
dx
2.	Пры якіх значэннях а пунктспакою (0,0) сістэмы — = Зх + dy
+ ay, ^ = 2х + у устойлівы ?
3.	Метадам функцый Ляпунова даследаваць на ўстойлівасць трывіdx 4 dy 4 яльнае рашэнне сістэмы — = ху >	= х У
4.	Даследаваць на ўстойлівасць па першаму набліжэнню нулявое
V
рашэнйе сістэмы х — х + 2уsin у2, ў = х Зу + х(е • 1).
5.	Для ўраўнення хх = 0 начарціць траекторыі на фазавай плоскасці. Па чарцяжы зрабіць вывады аб паводзінах рашэнняў пры t —> +<».
III.	1.3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць
366
dx
на ўстойлівасць рашэнне ўраўнення — = 2t(х +1), х(0) = 0. at
2.	Ці будзе ўстойлівым пункт спакою (0,0,0) сістэмы
3.	Ці ўстойлівае нулявое рашэнне сістэмы xt ~ all(t)xl +а12(*)х2’ Х2 ~а21(і)Х1 +а22(і)Х2> кал' ВЯДОМа, ШТО а11(і) + а22(і)—*Ь>0 пры t —» +~ ?
4.	Пры якіх значэннях а будзе ўстойлівым нулявое рашэнне ўраўнення хп + 2'х + 2х + х + Зх = 0 ?
5.	Даследаваць паводзіны фазавых крывых сістэмы ўраўненняў dx dy
л=х~у'^Г2(уху
IV.	1. 3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць dx ,
на ўстойлівасць рашэнне ўраўнення — = x + t, х(1) = 1.
dt dx 5
2.	Вызначыць характар пункта спакою сістэмы — = 2х + — у,
dy
3.	Даследаваць на ўстойлівасць трывіяльнае рашэнне сістэмы меdx	2 dy	2
тадам функцый Ляпунова: — = х + ?ХУ > ^ = ~?У + ^х У
4.	Даследаваць устойлівасць нулявога рашэння ўраўнення
х,[ + 2'х+4х + Зх + 2х = 0.
dp	dy
5.	Пры якіх умовах сістэма — = f (р), — = 1, дзе f (р) непаdt	dt
рыўная функцыя, мае лімітавы цыкл ? Пры якіх умовах гэты цыкл устойлівы ? няўстойлівы ?
367
V. 1. 3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць dx
устойлівасць рашэння ўраўнення — = 2 + t, х(0) = 1.
2.	Даследаваць асаблівыя пункты сістэмы х = 2х у, ў = х.
3.	Даследаваць устойлівасць нулявога рашэння сістэмы, пабудаваўшы функцыю Ляпунова: х = х3у,ў = х + у .
4.	Даследаваць на ўстойлівасць па першаму набліжэнню нулявое рашэнне х = 0,у = 0 сістэмы x = 2x+8sin2 у, ў = х Зу + 4х3.
5.	Начарціць на фазавай плоскасці траекторыі сістэмы х = 1х2 у2, ў = 2х і даследаваць асаблівыя пункты.
VI. 1.3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць dx устойлівасць рашэння сістэмы ўраўненняў ~=х—13у, dy ] у=х2у, х(0) = у(0) = 0. dt 4
2t + х
2.	Даследаваць асаблівыя пункты ўраўнення х = .
3t + 4х
3.	Даследаваць устойлівасць нулявога рашэння сістэмы, пабудаваўшы функцыю Ляпунова: х = ух + ху, ў = хух2— у3.
4.	Даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне ўраўнення хц + 2х + 5х + 6х = 0.
5.	Начарціць на фазавай плоскасці траекторыі сістэмы dr	d^
— = r(r l)(r2), — = 1 i даследаваць, ці мае гэтая сістэма dt	dt
лімітавыя цыклы.
368
VII. 1. 3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць dx	dy
устойлівасць рашэння сістэмы ~ = ~х9у, — = ху, х(0) = у(0) = 0.
t4x
2.	Даследаваць асаблівыя пункты ўраўнення х =.
2х3t
3.	Даследаваць, ці ўстойлівае рашэнне х = t2, у = t сістэмы ўраўненняў х = у2 2ty2yx, ў = 2x + 2t2 +е2‘~2у.
4.	Даследаваць устойлівасць нулявога рашэння ўраўнення хп + 13'х + 16х +55х+ 76х = 0.
5.	Начарціць на фазавай плоскасці траекторыі сістэмы
х = 1 х2 у2, ў = 2х і даследаваць асаблівыя пункты.
VIII.	1.3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць dx ' dy устойлівасць рашэння сістэмы — = 2х, — = Зу, х(0) = у(0) = 0.
dx
2.	Вызначыць характар пункта спакою сістэмы — = х + ^У>
dy
^ = Х + У'
3.	3 дапамогай тэарэмы Ляпунова па першаму набліжэнню даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне сістэмы
х = ех+2у — cos Зх, ў = у/4 + 8х 2еу.
4.	Даследаваць, пры якіх значэннях параметраў a, b нулявое рашэнне ўраўнення х11 + ах + 4х + 2х + Ьх = 0 асімптатычна ўстойлівае.
5.	Даследаваць паводзіны фазавых крывых сістэмы ўраўненняў х = х + 2у, ў = 0.
369
IX.	1. 3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне сістэмы ўраўненняў
2xt
2.	Знайсці і даследаваць асаблівыя пункты ўраўнення х = .
+ 6
3.	Даследаваць, пры якіх значэннях параметраў a, b асімптатычна ўстойлівае нулявое рашэнне сістэмы х = у + sin х, ў = ах + Ьу.
4.	Даследаваць устойлівасць нулявога рашэння ўраўнення
х1' + 5x,v + 15х + 48х + 44х + 74х = 0.
5.	Начарціць на фазавай плоскасці траекторыі сістэмы
dr	1 \	і ■
— = r(lr ), — = J і даследаваць, ці мае гэтая сістэма лімітаdt	dt
выя цыклы.
X.
1.3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову даследаваць dx , на ўстойлівасць рашэнне сістэмы ўраўненняў — = Зх + у, dt
— = 2х + у, х(0) = у(0) = 0. at
2.	Знайсці і даследаваць асаблівыя пункты ўраўнення
2t + х
t2x5'
3.	Знайсці ўсе пункты спакою сістэмы х = (х1)(у1),ў = ху2 і даследаваць іх на ўстойлівасць.
4.	Даследаваць, пры якіх значэннях параметраў a і b нулявое рашэнне ўраўнення х^ + 'х + ах + х + Ьх = 0 асімптатычна ўстойлівае.
5.	Для ўраўнення хх + х2 =0 начарціць траекторыі на фазавай плоскасці. Па чарцяжы зрабіць вывады аб паводзінах рашэнняў пры t —> Н».
370
XI. 1. Даследаваць на ўстойлівасць рашэнне x = ~,t>l ураўнення
2.
3.
4.
5.
dx dt
2 t
2
dx
Вызначыць характар пункта спакою сістэмы ^~^х~у’
dy
1гх+у
Даследаваць устойлівасць нулявога рашэння сістэмы, пабудаваўшы функцыю Ляпунова: х = ху х3 + у3, ў = х2 у3.
Даследаваць на ўстойлівасць па першаму набліжэнню нулявое рашэнне сістэмы
х = ~х + ~sin 2у х у, ў = у 2х + х у .
Начарціць на плоскасці фазавыя траекторыі сістэмы х = 2 + у
х2 ,ў = 2х( х — у) \ даследаваць асаблівыя пункты.
ХП. 1. Даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне сістэмы
— = 0 — dt ’ dt
карыстаючыся азначэннем устойлівасці па
Ляпунову.
2.	Даследаваць устойлівасць нулявога рашэння сістэмы х=у3х~ — х3, ў = 6х — 2у, пабудаваўшы функцыю Ляпунова і выкарыстаўшы тэарэмы Ляпунова або Чэтаева.
dx
3.	Вызначыць характар пункта спакою сістэмы — = 2х у,
dy ?
Л=3х~у
371
4.	Пры якіх значэннях а будзе ўстойлівым нулявое рашэнне ўраўнення х11 + ах + 2х + х + Зх = 0 ?
5.	На фазавай плоскасці начарціць траекторыі для ўраўнення х + 2х3 2х = 0. Па чарцяжы вызначыць паводзіны рашэння пры , t —> +°о.
XIII.	1. Даказаць, што для ўстойлівасці рашэнняў ураўнення dx
— = a(t)x, дзе a(t) непарыўная пры t>0 функцыя, неаб
t
ходна і дастаткова, каб Нт \а(т)dl < +<»
‘^О
х2t
2.	Даследаваць асаблівыя пункты ўраўнення х =.
х
dx	dy
3.	Даказаць, што калі ў сістэме — = у, — = ~f(х) функцыя f (х) dt	dt
такая, што f (0)0,х f (х)>0, х ^ 0 ,то становішча раўнавагі сістэмы ўстойлівае.
4.	Пры якіх значэннях параметраў a і b нулявое рашэнне ўраўнення х11 + 2'х + ах + Ьх + х = 0 асімптатычна ўстойлівае?
5.	Начарціць на фазавай плоскасці траекторыі сістэмы х — 1 —х2—у2, ў = 2ху і даследаваць яе асаблівыя пункты.
XIV.	1.3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову вызначыць, dx a
ці ўстойлівае рашэнне ўраўнення — = — х пры х(1) = 0. dt t
2.	Даследаваць асаблівыя пункты сістэмы
х = 2х 5у, ў = 2х + 2у.
3.	Даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне ўраўнення dx
— = axm+g(x), дзе т натуральны лік, а ^ 0, a g(0) = 0 і dt
372
раскладанне g(х) у рад Тэйлара ў наваколлі пункта х = 0 пачынаецца з членаў ступені к>т + 1.
4.	Даследаваць устойлівасць нулявога рашэння ўраўнення
х + 2х + 2х + Зх = 0.
5.	Даследаваць паводзіны фазавых траекторый сістэмы х = 2х, Ў = х + у.
XV.	1.3 дапамогай азначэння ўстойлівасці па Ляпунову вызначыць, dx 7
ці ўстойлівае рашэнне ўраўнення — = sin х пры х(0) = 0.
at
t2x
2.	Знайсці і даследаваць асаблівыя пункты ўраўнення х = —.
3t 4х
3.	Даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне сістэмы х = —х ху, ў = у3 х3, пабудаваўшы функцыю Ляпунова.
4.	Даследаваць на ўстойлівасць па першаму набліжэнню нулявое рашэнне сістэмы х = 7x + 2sin уу4, ў = ех Зу 1 + ~х2.
5.	Начарціць на фазавай плоскасці траекторыі сістэмы
х = х2у, ў = 3х + 4у.
13 Зак. 970
373
ДАДАТАКI
Доказы тэарэм, прыведзеных у главах I — V
Тэарэма 1.2. Заменім задачу Кашы x = f(t,x),	(1)