КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

тіп{г,г)
Калі ў якасці £j узяць £; <’ дзе е “ аДв°ль
(Ьа)е '	7
ны дадатны лік, а адпаведны гэтаму £; лік <5 абазначыць праз 5, то, у сілу няроўнасці (53), маем Іф^ЛІІ^Ф^.М/)^ <Е пры |ц~wj<8. Тэарэма даказана.
Тэарэма 4.8. Спачатку ўстановім адно дапаможнае сцвярджэнне (што часта называюць лемай Адамара), у фармулёўцы якога выкарыстоўваецца паняцце выпуклага мноства. Таму нагадаем, што
410
непустое мноства U d Rn называецца выпуклым, калі для любых пунктаў х' і х2 з U адрэзак sx1 + (1 s)x2, 0 < 5 < 7, які іх злучае, цалкам належыць U .
Лема Адамара. Няхай функцыя f(t,x) вызначаная і непарыўная пры (t,x) & G = I х D. Калі абсяг D выпуклы, а функцыя '	df (t,x)
f(t,x) мае непарыўныя частковыя вытворныя / (t,x)~—,
то існуюць такія непарыўныя функцыі h: (t,x,y), што
п
f(t,x)f(t,y) = ^Jhl(t,x,y)(xiyi) = H(t,x,y)(xy)
(х^Уі каардынаты вектараў х і у адпаведна, Н (h),...,hn)}.
Доказ лемы. Улічваючы выпукласць мноства D, вызначым сямейства вектараў F(s) = f(t,sy + (l — s)x),a3e 0<5<7.Усілу таго, што
^~ = ^(хі~Уі)/хі (t,sy + (l~s)x), відавочна, функцыя
1
0 задавальняе ўсім неабходным патрабаванням.
Пяройдзем цяпер непасрэдна да доказу тэарэмы. Адзначым, што ўмова Ліпшыца выконваецца на любым замкнутым абмежаваным мностве, што змяшчаецца ў G пры існаванні і непарыўнасці
частковых вытворных —— (j = 1,п) (гл., § 4.1).
aXj
Тады, як вынікае з тэарэмы 4.6, функцыя ^(t,[L) непарыў
411
ная пры a = /(/. cpftg + Дц/ ц + Дц).
Рознасць атрыманых роўнасцяў запішацца так:
^к'.ц+лоф6сц;]=f(t, ф(% ц+дц/ ц+дц) 
/Й^Оф).
Згодна з даказанай лемай, існуюць такія непарыўныя матрычная функцыя Н(і,[1,Л gj і вектарная h(t,[l.,& ц)
f^ф(/ф + Дц/ Ц + Дц) f(t, фбГ,|1Л ц) =
г	.	(56)
= Я^ц.ДцДф^.ц + ДіОф(7,іО] + йО,ц.,ДіОД|і. Цяпер роўнасць (55) з дапамогай (56) запішацца d
—(Дф) = Н0,ц, Д(0+ /?тт7+л^ЦШ
Дф Атрыманае судачыненне паказвае, што пры Дц / 0 функцыя
задавальняе нармальнай сістэме лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў
y = H(t,\L,^)y + h(t,\l,\\l).
412
Дапусцім, што у = ^^.ц.Лц) рашэнне гэтай сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў, якое задавальняе пачатковай умове
у^.ц.Дц^О.
Згодна з тэарэмай 4.6 функцыя у^.Ц.Др.^ будзе непарыўнай пры a < t < b, ц0 a < ц < Цо + a, |дц| < 5. 3за таго, што
Дф = фГ^ц + Д^Л^ = хо~^о = 0
АЦ	АЦ	АЦ
у сілу тэарэмы адзінасці пры Дц ^ 0 маем
Дф
— = vftMi4
Пераходзячы ў гэтай роўнасці да ліміту пры Дц —> 0 , атрымліваем
Эф	Дф
—(7,11) = Ііт — = Нт у(і,Ц.,Лр.) = у(і,іІ,О). о|1 ДцчО Дц Дц»0
Такім чынам, вытворная
Эф
існуе і непарыўная пры
a,х'’.О)Е„. дх	дх
дх о
Згодна з тэорыяй § 4.6 —K(t,x ,pj ёсць нармаваная пры t = 0 дх
фундаментальная матрыца ўраўнення ў варыяцыях
dF /
А + Ц—[(,х(і
0
Такім чынам, —^((й.х^.О^е^. А тады ~~^(х°,0) = е^ Еп. ох	ах
.	27U	I—	ЭХ
Пры ўмове А,. #	к, к e.Z, і = v1 матрыца —т^х ,0) не мае 7	0)дх
ўласных лікаў, роўных нулю, таму яе дэтэрмінант не роўны нулю.
Ураўненне (58) мае адзінае рашэнне х°(ц), непарыўна дыферэнца
вальнае ў наваколлі пункта ц = 0 і такое, што х°(0) = х° (гл. тэарэму аб няяўнай функцыі [27], глава II, § 1, п. 6, с. 48). Згодна з тэарэмай 4.8 рашэнне х(/,хй(ц),|1) будзе непарыўна дыферэнцавальным па ц у наваколлі пункта |1 = 0, Ш перыядычным па / у сілу
(58) і будзе адзіным у сілу адзінасці рашэння х°([1) ураўнення (58) Тэарэма даказана.
Тэарэма 4.11. Няхай рашэнне x = ty(t) вызначаецца пры a < I < Р. Згодна з умовай тэарэмы, траекторыя рашэння сама сябе перасякае, гэта значыць існуюць такія лікі tj е(а;$), t2 е(а;$) (t/>t2),шхо
414
^(t])=^(t2)
Згодна з уласцівасцю 4.8.2° траекторыі, якія маюць агульны пункт, павінны супадаць, гэта значыць
ф<О = ф<Г + у>,	(59)
дзе y = tIt2>0.
Функцыя х = ty(t + у) з’яўляецца рашэннем аўтаномнай сіс
тэмы
x = f( х),	(60)
вызначаным пры ау 0 — перыяд гэтага рашэння. Разгледзім цяпер мноства Р перыядаў рашэння х = ф^^. Мноства Р або змяшчае як патрэбна малыя дадатныя лікі, або ў Р знойдзецца найменшы дадатны лік Т. У першым выпадку будзе існаваць збежная да нуля паслядоўнасць дадатных перыядаў Т„.
t
Няхай t адвольны сапраўдны лік. Дробныя часткі а_ = —
лікаў — (квадратнымі дужкамі абазначана цэлая частка ліку)
14а*
415
утвараюць абмежаваную паслядоўнасць, і ў сілу таго, што Тп —> 0,
маем
Лікі
t
Пт 51 

'п
’ = Ііт(апхп) = о.
Хп, што з’яўляюцца цэлымі кратнымі перыядаў
Хп, самі
з’яўляюцца перыядамі рашэння ^(і) . Таму (р(^ = (р t 

^п
Пераходзячы ў гэтай роўнасці да ліміту пры п —> «>, атрымаем
фб^ = lim ty t
t
^п
= ф lim t —
Іл»о4
^п
= ^(0).
Такім чынам, х = (p(t) ёсць становішча раўнавагі.
Разгледзім цяпер выпадак, калі мноства Р змяшчае найменшы дадатны лік Т. Маем q(t + Т) = q(t). Пакажам, што
^>(tI)^^(t2) пры 0<\t]t2\(m) ,Y(j) ,X(i)}Y(k),	(63)
дзе т<к, j <к, і < к, F^k^ — вядомая функцыя сваіх аргументаў.
Такім чынам, пры к = 2 правая частка роўнасці (63) з’яўляецца вядомай вектарнай функцыяй і, наогул, калі ц>(2) ,...,^k~lj вядомыя, то вядомай будзе і гэтая правая частка.
Каб упэўніцца ў тым, што ўласнымі лікамі аператара левай часткі роўнасці (63) з’яўляюцца лікі ql'kl+...+qnXn'kk, дакажам
наступную лему.
Лема 4.1. Аператар Lq/k^ =
Эф^ ду
Ру Qtytк>, лзе Р і Q 
квадратныя матрыцы з камплекснымі элементамі адпаведна парадку т і п , мае ўласныя лікі
^'................qn) = Яі^і++Ят^тХі (і = Л«Л (64) дзе qj+...+qm = к, X],...,Хт —уласныя лікі матрыцы Р;
Yl''’Xn —уласныя лікі матрыцы Q; q, —цэлыя неадмоўныя.
Доказ. Лічачы ^(к>(у) ненулявым вектарным паліномам ступені к, a В і Т неасаблівымі матрыцамі з камплекснымі элементамі парадку т і п адпаведна, дапусцім у = Вх, ^<к> (у)~ Т^к)(х). Пры гэтым будзем мець
L(p(kJ(y)=T^r^B/PyQI\f^(x).	(65)
ox
Ураўненне Lq( к^ (у) = Ay* kjy [\ = diag(^‘.q"),....Xl^'.ч"^ для вызначэння ўласных лікаў аператара L у сілу формулы (65) для
418
вызначэння ўласных лікаў аператара L у сілу формулы (65) запішацца ў выглядзе
ду }(х) BlpBx_TlQTy(k)fx) = Ац(к)(х) дх
А гэта значыць, што ўласныя лікі аператара L будуць супадаць з уласнымі лікамі аператара L , які задаецца роўнасцю