КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

L\fa)(x)^ В~'РВх T^QTy^fx). дх
Выберам цяпер В і Т так, каб В ^PB — Jj і Т 1QT=J2 былі ніжнетрохвугольнымі жарданавымі матрыцамі. Пабудуем матрыцу аператара L . Мяркуючы L^^^ = f^, атрымаем
fi(k)(x)=lL^&vXy+®vXv^^	’
V=1 °XV
дзе Ыу.б; адпаведна недыяганальныя элементы матрыц Jj.,J2. Яны роўныя або нулю, або адзінцы. Абазначыўшы
f!k>(*)= Yf'4’.....’"^Г4*. qi++qm=k
атрымаем
f^'^ = (qIxl+..+g„x„x,№"~‘l> +
+ ^(^^vJ^V^i	Wil
y=2
Такім чынам, пры лексікаграфічным пералічэнні каэфіцыентаў (гл. [21], с. 234) матрыца аператара L — ніжнетрохвугольная з лікамі (64) па галоўнай дыяганалі. Лема даказана.
Такім чынам, у сілу даказанай лемы, аператар левай часткі • (63) будзе мець уласныя лікі q/k]+...+qnXn —Х^ . Згодна з умовай (4.10.60) тэарэмы гэтыя ўласныя лікі не роўныя нулю. Таму ^к> вызначаюцца ўраўненнямі (63) адзіным чынам. Тэарэма даказана.
419
Лема 5.1. У § 3.3 было паказана, што любое рашэнне x^(t) сістэмы ўраўненняў
х = Ах,	(66)
дзе A — пастаянная сапраўдная матрыца, мае выгляд: т
 0 такое, што
ReXk =цк <а<0, к = Rm.	(68)
3 судачынення (67) вынікае, што т	т
|*i(sII?w|k’“"‘*l=IlsVde''' •	«
к=1	к=1
Памножым няроўнасць (69) на еаІ, атрымаем т
Ые^іХ^^е^^	(70)
к=І
У сілу няроўнасці (68) Ц^ + a < 0 і зза таго, што кожная каардыната вектара gk (t) уяўляе сабою паліном, маем т
ьЦг‘(ф*'""=9.	(7і)
т
3 роўнасці (71) вынікае, што пры t>0 функцыя ^\gk(t^e^*^1 к=1
абмежаваная. Калі
т
І^(ф^+а;'<л
к=1
420
тады, у сілу (70) |<р(t^e™ 0.
Лема 5.2. Няхай х ~^J (t) — рашэнне сістэмы (66), якое задавальняе пачатковай умове (pJ (0) = hJ , дзе hJ адзінкавы каардынатны вектар соіоп^] ,&2,...,&п). Згодна з тэарэмай адзінасці п
^(t.x0 ) = ^(О^,	(72)
j=i
дзе х° = со1оп(х/ ,...,х^). Сапраўды, у правай частцы (72) стаіць рашэнне сістэмы (66), якое задавальняе пры t — 0 той жа самай пачатковай умове, што і ^(t,x°).
Згодна з лемай 5.1 існуюць такія Rj >0, j 1,п і a > 0, што пры t>0
|<р7г)|<йхш
Дапусцім, R = max^R/, ....R^. Тады пры t>0 \^(t)\0 |<р(1,/)| < г^х°^е~ш .
Тэарэма 5Л. Дастатковасць. Няхай £ — адвольны дадатны лік, a x = \y(t) = ty(t,x°) — рашэнне сістэмы (66), якое задавальняе пачатковай умове \Д0) = х°. У сілу лемы 5.2 існуюць такія r>0, a > 0, што Vt > 0.
421
\v(t)\ = \q(t,x° )\0 маем
ІЖ^>| <''~е“ш <е, гэта значыць, становішча раўнавагі х = 0 устойлівае па Ляпунову. Відавочна, lim \y(t)\ = 0, таму што Пт е~ш = 0. Значыць, становішча раўнавагі х = 0 асімптатычна ўстойлівае.
Неабходнасць. Калі хоць адно ўласнае значэнне матрыцы A мае неадмоўну'ю сапраўдную частку, то становішча раўнавагі х = 0 не можа быць асімптатычна ўстойлівым.
Сапраўды, калі, напрыклад, Rek] =[1/ >0 і у * 0 уласны вектар матрыцы A, які адпавядае ўласнаму значэнню X/, тады х = Re(y е^) — рашэнне сістэмы (66). Няхай у = у' + іу2', тады х = Re знойдзецца момант tj такі, што t0 tQ + I(y)>ti >t0 маем \x(t,t0,x° )\<£ .
Тэарэма 5.5. Возьмем адвольную пачатковую ўмову х° е Rn і вызначым такі к, што (O/fZJ = С02(х °). У сілу ўмовы
тэарэмы d)j(u)—>°°, й —> оо, такі к абавязкова знойдзецца. Пры гэтым таксама, як і ў тэарэме 5.3, устанаўліваецца, што рашэнне xft.to.x^) не пакіне шар Dk пры t>tQ. Прымяняючы да шара Dk тэарэму 5.4, атрымаем сцвярджэнне тэарэмы 5.5.
Тэарэма 5.6. Згодна з умовай, у як патрэбна малым наваколлі | х | < X пачатку каардынат знойдзецца пункт х° такі, што V(t0,x° ) = V0 >0. На рашэнні x(t,t0,x°) функцыя v{t,x(t,t0,x° )j не ўбывае: v(t,x(t,t0,х°)\>Vq > 0. Гэта азначае, што праз мяжу
V=0 гэтае рашэнне не можа пакінуць абсяг Q. Рашэнне x(t,tQ,x° )
424
не можа заўсёды заставацца ў абсягу Q. Сапраўды, у гэтым выпадку пры V(t)>VQ, згодна з умовай тэарэмы, знойдзецца такі лік а>0, што V(t)>a пры t > t0. Тады б мела месца няроўнасць
t
V(t)V(t0)=\v(s)ds>a(tt0)^>°°, t+°° 'o
Але гэта немагчыма, паколькі V абмежаваная ў абсягу Q. Значыць, рашэнне x(t,tQ,xn) абавязкова пападзе на мяжу |х| = Н абсягу Q за канечны час. Тэарэма даказана.
Тэарэма 5.7. У сілу тэарэмы 5.2 рашэнне x(t) = 0 устойлівае, гэта значыць для зададзенага £.> 0 знойдзецца такі 6 > 0 , што з |^°|<8 вынікае |х(7,х^7| £, х° eD5. Няхай (1 с DE мноства СОлімітавых пунктаў для некаторага х° eD^. Пакажам, што £2 = {0}. Будзем меркаваць, што гэта не так. Тады існуе у *0, уей. Паколькі V дадатна вызначаная, маем V(y)>0. У сілу таго, што Q — замкнутае мноства, якое складаецца з цэлых траекторый, траекторыя x(t,y)eQ, значыць, v{x(t,yj} = V(у). Адсюль V = 0 уздоўж траекторый x(t,y), гэта значыць x(t,y) павінна належаць такому мноству, дзе V = 0. Але па ўмове мноства Ў = 0 не змяшчае цэлых траекторый. 3 атрыманай супярэчнасці вынікае сцвярджэнне тэарэмы.
Тэарэма 5.8. Няхай х = x(t) — рашэнне сістэмы х= Ax + F(t,x) (F(t,O) = O),	(74)
A — пастаянная n х n матрыца.
Абазначым праз В рашэнне ўраўнення А'В + ВА = Е, дзе А' транспанаваная да А матрыца, Е адзінкавая матрыца (гл. [25], глава VIII, § 3, с. 194). Увядзём функцыю Ляпунова V(x) = х'Вх і знойдзем яе вытворную V у сілу сістэмы (74). Маем
425
V = х'Вх + х'Вх = (х'А' + F'(t,xj)Bx + х'В (Ах + F(t,x)) =
= х'(А'В + ВА)х + F'Bx + x'BF <\ х | +2Л/Ц 5 || | х |	<
<\х\2 (~1 + 2м\в\\х\а )<^\х\2
для такіх малых | х |, што
™ым“4
Такім чынам, функцыя V(x) — х'Вх задавальняе тэарэме 5.4 аб асімптатычнай устойлівасці, і, значыць, трывіяльнае рашэнне сістэмы (74) асімптатычна ўстойлівае. Тэарэма 5.8 даказана.
Тэарэма 5.10. Для доказу будзем карыстацца кананічным відам (5.5.33), замяніўшы ў ім зменныя ^, Т| на зменныя х,у. Такім чынам, будзем даследаваць сістэму ўраўненняў
х = Р(х,у) = ax$у + F/(x,y), Ў = Q(x,y) = Рх + ay + F2(x,y).
Увядзём палярныя каардынаты, гэта значыць будзем меркаваць
х = р cos ф, у = р sin ф.	(76)
Дыферэнцуючы суадносіны (76) і падстаўляючы атрыманыя выразы ў сістэму (75), будзем мець
рcos ф рфsin ф = apcos cp$psin <р + R](pcos ф,psin ф), p sin ф + рф cos ф = ppcos ф + ap sin ф + R2 (p cos ф, p sin ф).
Вырашыўшы атрыманую сістэму ўраўненняў адносна р і ф, атрымаем
р = ар + р2Лр,ф/	(77
Ф = Р + Р^р.фЛ
дзе f (р,^), g(p,^>) — функцыі, абмежаваныя пры малых р і перыядычныя па ф з перыядам 2п. Будзем для пэўнасці лічыць, што a < 0. Разгледзім траекторыю сістэмы (77), якая пачынаецца ў пун426
кце бРсьФоЛ дзе О<Ро<£, а е дастаткова малы лік. 3 ураўненняў (77) вынікае, што гэтая траекторыя асімптатычна набліжаецца да восі р = 0, прычым ф імкнецца або да +<», або да—00 у залежнасці ад таго, дадатны лік Р або адмоўны. 3 гэтага вынікае, што адпаведная траекторыя ў плоскасці (х,у) намотваецца, як спіраль, на пачатак каардынат. Тэарэма даказана.
Тэарэма 5.13. Адзначым, што таму што матрыца H(t) сіметрычная, то функцыі p;(f) прымаюць толькі сапраўдныя значэнні. Разгледзім квадратычную форму v(t,x) = x'H(t)x. 3 лінейнай алгебры вядома (гл. напрыклад, [25], глава X, § 7, с. 269), што форма v(t,x) задавальняе няроўнасцям
Цт,„ (ОЫ? 
<12...4041424344454647484950>


   

	
2007-2025
	
Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу 
або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
 пішыце ў кантакты