Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
401
немагчыма ў сілу таго, што t = sup М. Атрыманая супярэчнасць даказвае тэарэму.
Тэарэма 4.2. Замест задачы Кашы
x = f(t,x), (40)
x(t0) = x° (41)
будзем разглядаць вектарнае інтэгральнае ўраўненне
x(t) = x° +\f(x,x(x))dx. (42)
Рашэнне ўраўнення (42) пабудуем метадам паслядоўных набліжэн
няў Пікара ( аб гэтым метадзе ў выпадку аднаго ўраўнення гл. у доказе тэарэмы 1.2).
У якасці нулявога набліжэння шуканага рашэння возьмем функцыю х° (t) = х°, а паслядоўныя набліжэнні будзем вызначаць так:
xk+,(t) = x° +\ f(x,xk (X j) dx, (к = 0,1,...). (43)
Па аналогіі з доказам тэарэмы 1.2 па індукцыі можна ўстанавіць, што ўсе функцыі xk(t) належаць мноству П, вызначаныя і непарыўныя на адрэзку [10 h;t0 + h], прычым
\xk+,(t)xk(t)\< (к = 0,1,...). (44)
Значыць, паслядоўнасць {х*(/)} збягаецца раўнамерна на адрэзку [t0h;t0+h] да некаторай непарыўнай функцыі x(t) і таму f(t,xk(tj)^ f(t,x(t)) пры к —> о° раўнамерна па ^[^Л,70 +h]. Такім чынам, у роўнасці (43) можна перайсці да ліміту пад знакам інтэграла і атрымаць судачыненне (42), якое па
402
казвае, што x(t) ёсць рашэнне задачы Кашы (40), (41). Тэарэма 4.2 даказана.
Сцвярджэнне 4.1. Неабходнасць існавання ліміту Um ^t)= t—^b—O
= 8, (b,8) G G непасрэдна вынікае з азначэння рашэння і яго працягу.
Дакажам дастатковасць. Няхай ф/і) — рашэнне (31), вызначанае на некаторым інтэрвале (а;Р) с / , 6б(а;Р) і задавальняе пачатковым дадзеным (6,5). Па тэарэме 4.2 гэтае рашэнне будзе існаваць. Вызначым функцыю Vf(t) на [а;р)с/ наступным чынам:
ф(1) пры te[a;b), (р/Опры ?е[5, р).
фГО = '
t
Дапусцім, J(f) = ф(а) +j /(т, ф(т)) Л. Згодна з азначэннем y(t) a
і з эквівалентнасцю задачы Кашы (40), (41) сістэме інтэгральных ураўненняў (42) (гл. § 4.2) J(t) = ty(t) = \y(t) пры te[a;b). Пры Ге[б;Р) маем:
ь t
J(t) = q(a) + $ f(x,ф(Т>) Л + j/(т,ф/(т)) Й = a b
t
= 8 + j/(т,Ф/М dx = ^,(t) = y(t) b
па азначэнні ф/^ і Vj(t). Таму, пры ?е[а;Р) функцыя y(t) з’яўляецца рашэннем інтэгральнага ўраўнення (42), а, значыць, рашэннем сістэмы (40), звужэнне якога на [а,ф) ёсць ф(1). Таму ф^7 з’яўляецца доўжаным управа.
403
Тэарэма 4.3. 1) Пакажам, што існуе х = ^(t) — нядоўжанае рашэнне сістэмы ўраўненняў (40), якое задавальняе пачатковай умове tyftQ ) = х°, (t° ,х°) любы пункт з G. Разгледзім сукупнасць усіх рашэнняў сістэмы ўраўненняў (40), якія задавальняюць умове х(1о) = х°Кожнаму рашэнню гэтай сукупнасці адпавядае свой інтэрвал вызначэння. Мноства ўсіх левых канцоў гэтых інтэрвалаў абазначым M] ,а мноства іх правых канцоў — М2.
Дакладную верхнюю мяжу мноства М2 абазначым праз т2, sup М2 = т2, а дакладную ніжнюю мяжу мноства M] абазначым праз mj, inf M] = ГП]. Калі М2 неабмежаванае зверху, то мяркувм, што т2 = +«, калі М/ неабмежаванае знізу, то Ш/ = <» . Пабудуем рашэнне x^(t), якое задавальняе ўмове ^>(t0) = х° і вызначаецца на ўсім інтэрвале пі/ < t < т2. Няхай Г адвольны пункт гэтага інтэрвалу. У сілу таго, што т2 і mj ёсць адпаведна дакладная верхняя мяжа і дакладная ніжняя мяжа, то існуе рашэнне x — \f(t), якое задавальняе ўмове vf^о)~ х° ' вызначаецца на некаторым інтэрвале (t^tf), які змяшчае пункт t* . Дапусцім, q(t*) = \f(t*) . Атрыманае значэнне функцыі ф у пункце t* не залежыць ад выпадкова выбранага рашэння \f(t). Сапраўды, калі x = x(t) — якоенебудзь іншае рашэнне, што задавальняе ўмове Х({о)~х° ’ вызначаецца на інтэрвале, які змяшчае пункт t*, to ^(t*) — ^(t*) па тэарэме адзінасці 4.1, таму што V(t0 ) = X(t0 ) . Такім чынам, функцыя x — ^(t) адназначна вызначаецца на ўсім інтэрвале (т),т2) і ў той жа час з’яўляецца рашэннем сістэмы (40) з пачатковымі значэннямі (tf^x0), таму што ў наваколлі любога пункта t* з інтэрвалу (tnt;m2) гэтая функцыя супадае з некаторым
404
рашэннем сістэмы. Пакажам цяпер, што x — ^(t) нядоўжанае рашэнне. Няхай х = y(t) (t/ < t < t2) — працяг рашэння х = ty(t), тады tj (t) вызначаецца пры t] <{ ^2’ а рашэнне x = Vf(t) пры I* < t < t2 . У сілу тэарэмы адзінасці 4.1 рашэнні ty(t) і \f(t) будуць супадаць на агульнай частцы інтэрвалаў (ti',t2) і (tj',t2). Пры t2>t2 функцыя
х = 5
'^(t), t]0 такое, што шар ^:|х 20\<г^ змяшчаецца ў абсягу D. Па тэарэмах існавання і адзінасці задача Кашы для ўраўнення (40) з умовай x($) = z° мае адзінае рашэнне ~y(t), вызначанае на інтэрвале (Р~й;Р + А). Паколькі ўраўненне (40) валодае ўласцівасцю існавання і адзінасці рашэнняў на мностве G = Rx D, то ф(/) = \|/(/) для /е(рй;Р), а адсюль вынікае, што функцыя
^(t), <е(а;Р),
VW fe(pA,p + A)
PfO = ’
з'яўляецца працягам рашэння ф^Л
дзе (c,d) скалярны здабытак вектараў c,d з Rn, маем
£ (k d2)=2k d \f(i> ф< ^)| ^ 2k d фііф^ ^)> адкуль d\^(t)\< ф(|ф(,t^dt і таму
і!|Фйі''',і (^=<р««л w
Дапусцім цяпер, што рашэнне ф(%) не з’яўляецца неабмежавана доўжаным. Тады яго абсяг вызначэння Д = (а;Р) не супадае з R і таму мае месца хоць бы адно з патрабаванняў (4.4.19). У сілу таго, што D=Rn, то другая ўмова з (4.4.19) выконвацца не можа. Пакажам, што не можа выконвацца і першая ўмова. Сапраўды, няхай Р < оэ (выпадак а>« разглядаецца аналагічна) і |ф^пў|—>°° для некаторай паслядоўнасці {/„} момантаў часу, якая імкнсцца да Р. Тады з (45) у сілу (4.4.20) маем |/„ /0| —> °о. а гэта супярэчыць умове Р < «з. Значыць, рашэнне ty(t) неабмежавана доўжанае. Тэарэма даказана.
Тэарэма 4.6. Мноства пунктаў (t,x,^.), якія задавальняюць
умовам
a Фбг ц0 Л н)+Ж <р(% іМ н)
408
Л ф(т,ц J, ц0) < Дт, ф(т, ц/ ц) Дт, ф(т, ц0 ), ц I +
+ ІЖ ф(% м, ц) /(т, ф(т, ц0 Ж 1
(49)
У сілу няроўнасці (47)
|/(г ф< т, g/ g) /(т, ф( т, g0 / g)| < £|ф( т, ц) ф(т, g0 j. (50) 3 азначэння раўнамернай непарыўнасці функцыі f (х,х,^) на абмежаваным замкнутым мностве F (гл. [15], глава II, § 19, п. 19.7, с. 444) вынікае: для любога £/ >0 знойдзецца такі <5 > 0, што якімі б ні былі пункты (Х,х,ц) і (Х,х,110) з F, што задавальняюць умове |ц Ц о | < a , выконваецца няроўнасць
^(x.x^Jffx.x^o^E,.
(Будзем лічыць, што a з няроўнасці (46) задавальняе ўказаным умовам.)
Тады, у прыватнасці,
|/(т,ФГт,ЦоЛц)/(тХгноЛЦо)|< £/ • (51)
У сілу (50) і (51) з няроўнасці (49) атрымаем
|Ж ф( т, g/ g) /(т, ф<т, ц0 Л ц0 Л < е / + £|ф( т, g> Ф(Ч go >| .(52) Падстаўляючы няроўнасць (52) у (48), атрымаем
|ф(гц>Ф(гц0;|
<
t
J(e7 +£|ф(Чц>ф(Чцо;|)л
‘о
^е/|''о|
+ L
^(X,ll) to (або t < to), пры якім пункт (1,ф(1ф)ф) (|цЦ0|<о) упершыню пападае на мяжу мноства F.
г
Выберам £; так, каб £; < —L(ba) ’ тады’ У пРЬІват'
насці пры t = t/ ,з няроўнасці (53) атрымаем
^(tj.liJ^tj.ilo^r пры |цЦ0|<о. (54)
Аднак, паколькі пункт (^.ф^/.ц/ц) ляжыць на мяжы мноства F, то тады хоць адна з няроўнасцяў у (46) павінна ператварацца ў роўнасць. У сілу (54) гэта магчыма толькі пры t] =Ь (або пры tj—a, калі t/
КНІГІ ОНЛАЙН
