КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

матрыцант сістэмы (5.7.50). У сілу раўнамернай асімптатычнай устойлівасці існуе такі лік ^ > 0, які не залежыць ні ад t0, ні ад x°eS', што \x(t,t0,x° )\ = \x(t,t0)x°\< — пры t > t0 + N.
2п
для t >t0 + N. Паколькі для п = 1,2,...
мае месца роўнасць
X(t0 + nN,t0) = x(t0 +nN,t0 + (n1)N)x
xX(t0+(nl)N,t0+(n2)N)x...xX(t0+N,t0),
TO \\^(^Ао)\\
для t > t0 + nN. Таму знойдзецца такая дадатная
пастаянная С, што \X(t,t0^to>O, адкуль \X(t,t0^0 . Разгледзеўшы складнік B(t)x у (5.7.54) як правую частку f(t)y (5.7.47) і прымяніўшы формулу Кашы,
атрымаем
428
x(t )=Y(t)x° +fY(ts)B(s)x(s )ds.
o
Адсюль
(79)
о
Згодна з лемай Гронуала (гл. доказ тэарэмы 4.1), з (79) маем
оо
\x(t)\< м\х°\ехр M^\\B(s)^ds = с\х°\, . о
(80)
дзе C = M exp M^B(s)^ ds .
. o J
Такім чынам, рашэнне x(t) = 0 устойлівае. Тэарэма даказана.
Тэарэма 5.17. Паколькі сістэма (5.7.50) раўнамерна ўстойлівая, то па тэарэме 5.15 яе фундаментальная матрыца X(t),
нармаваная ў пункце t0, задавальняе наступным умовам: \\X(t)\\ X > t0 >0. Акрамя таго, для адвольнага рашэння x(t) = x(t,t0,x°) сістэмы (5.7.56) выконваецца роўнасць
x(t) = X(t)х° + j X(t)Х~' (х)В(х)х(х)dx,
з якой атрымліваем /	і
\x(t)\ < м\х°\ + M^\B(s^ \x(s)\ ds < м\х°\ + M^\\B(s)\\ \x(s)\ds, to	0
гэта значыць няроўнасць (79), а з яе маем няроўнасць (80). Таму пры любым £ > 0 няроўнасць \x(t)\<£ (t >t0) можна забяспечыць
с	. I 0І
незалежна ад t0, калі выбраць велічыню |х | дастаткова малон, a
429
гэта і азначае раўнамерную ўстойлівасць сістэмы (5.7.56). Тэарэма даказана.
Тэарэма 5.18. 3 ураўнення (5.7.57), формулы Віета і тэарэмы АстраградскагаЛіувіля вынікае. што
п	п
£р;. = SpX(a) =
п	<о
[]р; = det Х((д) = exp ^SpA(t)dt .
Далей (гл. § 3.7) для любога мультыплікатара р; існуе рашэнне ^J(t)^0 ураўнення (5.7.50) такое, што tyJ (t + (д) = р ^ (t). TaTae рашэнне можна пабудаваць наступным чынам. Няхай (р^ уласны вектар матрыцы X(ta), які адпавядае р7, гэта значыць /(ш)фр = руфд . Тады шуканае рашэнне мае від
^(t) = X(t)^, ^j(t) = p(t)eki', \j^^lnpj (gi) p(t + a) = p(t).
Калі p7 кратнае ўласнае значэнне матрыцы /((0)3 жарданавай клеткай памеру т, то яму адпавядае т рашэнняў Флоке выгляду ^' (t) = pJl (t)eXjl,
^12 (0 = [tpJ‘ (t)+p12 (t)}^',
(82)
qJm(t) =
tm~' (m 1)!
pJl (t)+...+pJm (t) e^1'
рл (t+ Ы) = pJi (t), k =—lnp..
430
Раскладаючы пачатковае значэнне х° =х(0) па базісу, які складаецца з уласных і далучаных вектараў матрыцы Х((й), можна атрымаць прадстаўленне агульнага рашэння сістэмы (5.7.50) з перыядычнай непарыўнай матрыцай A(t) у выглядзе лінейнай
камбінацыі рашэнняў (81), (82). Лёгка бачыць таксама, што
ReX t = — Relno^ <0, калі р, <7, і Rek,>0, калі
7 co г J	7
Ы>л
Адсюль і з судачыненняў (81), (82) і вынікае справядлівасць тэарэмы 5.18.
Тэарэма 5.19. Няхай ураўненне (5.7.50) прыводнае. Тады існуе пераўтварэнне Ляпунова х = Ly, якое прыводзіць (5.7.50) да
стацыянарнага ўраўнення (5.7.62). У сілу таго, што Y(t) = eBl фундаментальная матрыца гэтага ўраўнення, то існуе фундаментальная матрыца X(t) ураўнення (5.7.50), якая мае выгляд (5.7.63).
Наадварот, няхай выконваецца судачыненне (5.7.63). 3 яго знаходзім L(t) = X(t)е~в'. Выканаем ва ўраўненні (5.7.50) замену
х = L(t)y = X(t)e~B,y.	(83)
Атрымаем
y = ^(eB,X~,(t)x}= Be Bl X‘(t)xe в' X~'(t)A(t)X(t )X~'(t)x + at
+ eB,X‘(t)A(t)x = By.
Такім чынам, атрымалі сістэму (5.7.62). Значыць, ураўненне (5.7.50) прыводнае. Тэарэма даказана.
Лема 5.3. 3 абмежаванасці матрыцы Ляпунова L вынікае, што
w(х) = Нт /п \х(t)\ < lim у |т/t)\\ + lim In \у(t^ = w(у), дзе ^L(t)|| = sup \L(t)y\. Аналагічна, з абмежаванасці матрыцы IT1 \у\=1
атрымаем уфу)<)ф43начыць, w(y) = w(x). Лемадаказана.
431
Лема 5.4. Пакажам, што паказчыкі Ляпунова рашэнняў ураўнення (5.7.62) не перавышаюць а. Сапраўды, усякае ненулявое рашэнне сістэмы (5.7.62) можна запісаць так (гл. § 3.3):
т
У(1)=^Рк(і)ей‘, к=1
дзе т< п, a Рк (t) палінаміяльныя вектарныя функцыі, прычым, прынамсі, адна з іх ненулявая. Тады
т	т
y(t) = Y Рк (t)e^,^t = е" £ рк ^V°“~aM*', к=1	k=J
т
IjW^^
к=1
Таму
т
a/ V
к=1
т
Лема 5.4. даказана.
w(y), а таму ўсе рашэнні стацыянарнага ўраўнення (5.7.62) таксама імкнуцца да нуля пры / —> °о. Значыць, ураўненне (5.7.62) асімптатычна ўстойлівае, што ў сілу тэарэмы 5.1 эквівалентна адмоўнасці сапраўдных частак усіх уласных значэнняў матрыцы В. Такім чынам, а < 0, а тады ў сілу лемы 5.4 маем, што паказчыкі Ляпунова рашэнняў ураўнення (5.7.50) адмоўныя.
Няхай цяпер х адвольнае ненулявое рашэнне ўраўнення (5.7.50), паказчык Ляпунова w(x) якога роўны X . Згодна з умовай X <0. Выберам г> 0 настолькі малым, каб X + £ < 0. 3 азначэння паказчыка Ляпунова вынікае існаванне настолькі вялікага Т, што \x(t)\Г
Адсюль маем, шго x(t) ^ 0 пры ? —> о°. Такім чынам, усе рашэнні ўраўнення (5.7.50) імкнуцца да нуля пры / —» <». Тэарэма даказана.
432
ЛІТАРАТУРА
1.	Эльсгольц Л.Э. Днфференцнальные уравнення н варнацнонное нсчнсленне. М.: Наука, 1969. — 424 с.
2.	Степанов В.В. Курс дмфференцнальных уравненнй. М.Л.: ГОНТЙ, 1939.384 с.
3.	Матвеев Н.М. Методы ннтегрнровання обыкновенных днфференцнальных уравненнй. М.: Высшая школа, 1967. 564 с.
4.	Зорнч В.А. Математнческнй аналнз. Ч. I. М.: Наука, 1981.	
544 с.
5.	Матвеев Н.М. Днфференцмальные уравненмя. Мн.: Вышэйшая школа, 1976. 368 с.
6.	Бермант А.Ф., Арамановнч Й.Г. Краткнй курс математнческого аналнза. М.: Наука, 1973. 720 с.
7.	Математнческнй энцнклопеднческнй словарь. М.: Сов. энцнклопедмя, 1988. 847 с.
8.	Пнскунов Н.С. Днфференцнальное н ннтегральное нсчнслення. Т. 1.M.: Наука, 1985,432 с.
9.	Петровскнй Й.Г. Лекцнн по теорнн обыкновенных днфференцнальных уравненнй/ Под ред. А.Д.Мышкнса, О.А.Олейннк М.: йздво МГУ, 1984.296 с.
10.	Краснов М.Л. Обыкновенные днфференцнальные уравнення. М.: Высшая школа, 1983. 128 с.
Н.Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математнка. Ч. III. Мн.: Вышэйшая школа, 1985. 208 с.
12.	Мплованов М.В., Тышкевмч Р.Й., Феденко А.С. Алгебра н аналнтнческая геометрня. Ч. 1. Мн.: Вышэйшая школа, 1984. 302 с.
13.	Маркушевнч А.й. Краткнй курс теорнн аналнтнческнх функцнй. М.: Наука, 1978,416 с.
14.	Сндоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунмн М.й. Лекцнн по теорнн функцнй комплексного переменного. М.: Наука, 1982. 488 с.
15.	Кудрявцев Л.Д. Курс математнческого аналнза. Т. 1. М.: Высшая школа, 1988. 712 с.
16.	Еругнн Н.П. Кннга для чтення по обіцему курсу днфференцнальных уравненнй. Мн.: Наука н техннка, 1979. 744 с.
17.	Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математнка. Ч. II. Мн.: Вышэйшая школа, 1985.221 с.
433
18.	Карташев А.П., Рождественскнй Б.Л. Обыкновенные днфференцнальные уравнення н основы варнацнонного нсчнслення. М.: Наука, 1979.288 с.
19.	Федорюк М.В. Обыкновенные днфференцнальные уравнення. М.: Наука, 1985.448 с.
20.	Кудрявцев Л.Д. Курс математнческого аналнза. Т. 2. М.: Высшая школа, 1988. 576 с.
21.	Математнческая энцнклопедня / Под ред. Й.М.Внноградова. Т. 3. М.: Сов. энцнклопедня, 1982. 1184 с.
22.	Кудрявцев Л.Д. Курс математнческого аналнза. Т. 3. М.: Высшая школа, 1989. 352 с.
23.	Тнхонов А.Н., Васнльева А.Б., Свешннков А.Г. Днфференцнальные уравнення. М.: Наука, 1985. 231 с.
24.	Русак В.М. і інш. Курс вышэйшай матэматыкі: Алгебра і геаметрыя. Аналіз функцый адной зменнай. Мн.: Вышэйшая школа, 1994. 431 с.
25.	Гантмахер Ф.Р. Теорня матрнц. 4е нзд. М.: Наука, 1988. 552 с.
26.	Понтрягнн Л.С. Обыкновенные днфференцнальные уравнення. М.: Наука, 1982,332 с.
27.	Бнбнков Ю.Н. Курс обыкновенных днфференцнальных уравненнй. М.: Высшая школа, 1991. 303 с.
28.	Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теорнн функцнй комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
29.	Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математнка. Ч. IV. Мн.: Вышэйшая школа, 1987. 240 с.
30.	йоснда К. Операцнонное нсчнсленне: Теорня гнперфункцнй/ Под ред. Я.В.Радыно Мн.: Уннверснтетское, 1989. 168 с.
31.	Зорнч В.А. Математнческнй аналнз. Ч. П. М.: Наука, 1984. 640 с.
32.	ТерКрнкоров А.М., Шабуннн М.й. Курс математнческого аналнза. М.: Наука, 1988. 816 с.
33.	Богданов Ю.С., Мазаннк С.А., Сыронд Ю.Б. Курс днфференцнальных уравненнй. Мн.: Універсітэцкае, 1996. 287 с.
34.	Головнна Л.й. Лннейная алгебра н некоторые её прнложення. М: Наука, 1985.392 с.
434
35.	Амелькнн В.В., Лукашевнч Н.А., Садовскнй А.П. Нелннейные колебання в снстемах второго порядка. Мн.: йздво БГУ, 1982. 208 с.
36.	Математнческая энцнклопедня / Под ред. Й.М.Внноградова Т. 1. М.: Сов. энцнклопедня, 1977. 1151 с.
37.	Математнческая энцнклопедня / Под ред. Й.М.Внноградова Т. 5. М.: Сов. энцнклопедня, 1985. 1246 с.
38.	Афанасьев В.Н., Колмоновскнй В.Б., Носов В.Р. Математнческая теорня конструнровання снстем управлення. М.: Высшая школа. 1989.448 с.
39.	Бутеннн Н.В., Неймарк Ю.Й., Фуфаев Н.А. Введенне в теорню нелннейных колебаннй. М.: Наука, 1987. 382 с.
40.	Амелькнн В.В., Садовскнй А.П. Математнческне моделн н днфференцнальные уравнення. Мн.: Вышэйшая школа, 1982. 272 с.
41.	Амелькнн В.В. Днфференцнальные уравнення в прнложеннях. М.: Наука, 1987. 158 с.
42.	Самойленко А.М., Крнвошея С.А., Перестюк Н.А. Днфференцнальные уравнення: прнмеры н задачн. М.: Высшая школа, 1989. 384 с.
43.	Хапаев М.М. Аснмптотнческне методы н устойчнвость в теорнн нелннейных колебаннй. М.: Высшая школа, 1988. 184 с.
44.	Lavrentjev М.А. Sur une equation differentielle du premier ordre. Mathematische Zeitschrift, Bd. 23, 1925. S. 197 209.
45.	Шабат Б.В. Введенне в комплексный аналнз. Ч. I. Функцнн одного переменного. 3е нзданне. М.: Наука, 1985. 336 с.