КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

384
к га парадку ўключна, дзе к> 2, то, прымяняючы да ўраўнення (21) тыя ж разважанні, што і вышэй, дакажам існаванне і непарыўЭ2ф Э2ф
насць вытворных у. Працягваючы гэтыя разважанні,
поўнасцю дакажам тэарэму.
Тэарэма 2.2. Зададзім сістэму п пачатковых умоў віду x(t0) = l.	x(to) = O..... х<”'>(10) = 0;
хМ = 0,	i(t„) = l..... x(l',>(ll)) = 0;
x(to) = O,	x(to) = O..... x(n,)(t0) = l,
дзе to G I, I = (a;b). Кожнаму іму радку гэтых пачатковых умоў
будзе адпавядаць адзінае рашэнне Xj(t), і = 1,п. Прычым рашэнні
x^t), і = 1,п, што задавальняюць умовам (22), будуць лінейна незалежнымі ў сілу таго, што вранскіян гэтых рашэнняў W^x]t...,xn^ у пункце t0 роўны 1 і, значыць, не роўны нулю.Такім чынам, для лінейнага аднароднага дыферэнцыяльнага ўраўнення nга парадку знойдзены п лінейна незалежных рашэнняў (для іх атрымання не абавязкова задаваць пачатковыя ўмовы (22), можна браць адвольную сістэму ўмоў, толькі б W(to)*O).
Пакажам цяпер, што любое рашэнне гэтага ўраўнення з’яўляецца лінейнай камбінацыяй знойдзеных рашэнняў, гэта значыць мае выгляд п
x(t) = Yc,Xi(t).	(23)
і=1
Няхай x(t), tGl адвольнае рашэнне ураўнення L(x) = 0. Дапусцім, што x(t0) = Хд,х(10) = х0,...,х^п~^(t0) = ХдП ^, дзе х0, x0,...,x(Qn~l> некаторыя лікі, t0 G^a.b). У сілу таго, што
385
W(t0) ^ 0 ,з роўнасцяў
x(to) = xO = Cixi(h) + С2х2(Ч)++Спхп(іо)>
x(lo)~ х0 = Clxl(to)+C2x2(to)+"+CnXn(to)’
*""'>(10) = ^0 = C^11 (l0)+C2x'2"‘\t0)+.^^^
пры дадзеных хп,х^,...,х^ !> знойдзем адзіны набор Cj ,С2,...,Сп, пры якім функцыя (23) задавальняе ўказаным пачатковым умовам. A гэта значыць, згодна з тэарэмай 2.1, што x(t) = x(t), t е (a;b). Такім чынам, роўнасць (23) вызначае агульнае рашэнне лінейнага аднароднага ўраўнення.
Тэарэма 2.3. 3 умовы тэарэмы вынікае, што L(x*) = f(t),a L(x° ) = 0. Тады, у сілу лінейнасці аператара, маем Цх’ +х° ) = = L(x*) + L(x° )f(t) + O = f (t), гэта значыць функцыя
x(t) = x*(t) + x°(t) = x'f(t) + CIxJ + С2х2+...+Спхп, (24) дзе X],х2,...,хп — фундаментальная сістэма рашэнняў адпаведнага аднароднага ўраўнення, ёсць рашэнне неаднароднага ўраўнення.
Пакажам, што любое рашэнне ўраўнення L(x) = f (t) можна атрымаць з формулы (24) адпаведным выбарам пастаянных C], С2,...,Сп. Няхай x(t) — адвольнае рашэнне разглядаемага ўраўнення, якое задавальняе пачатковым умовам
x(to) = xO’x(to) = xO>’xfn~,)(to) = х0П~О • (25) Падстаноўка ўмоў (25) у функцыю (24) прывядзе да сістэмы лінейных ураўненняў
C]x/(to)+Cnxn(to) = xox*(t0),
C]xi(t0)+Cnxn(t0) = x0x*(t0),
386
Дэтэрмінант гэтай сістэмы мае значэнне дэтэрмінанта Вронскага W( t) пры t = tQ, пры гэтым W(t0)^ 0, таму што па дапушчэнні сістэма Х],Х2,...,хп фундаментальная. Значыць, сістэма (26) мае адзінае рашэнне Сі,С2,. ,Сп, таму функцыя (24) пры знойдзеных CltC2,.,Cn і функцыя x(t) задавальняе разглядаемаму ўраўненню і адным і тым жа пачатковым умовам (25). Функцыя (24) будзе з’яўляцца агульным рашэннем, таму што адпаведным выбарам пастаянных з гэтай функцыі можна атрымаць любое рашэнне ўраўнення L(x) = f(t).
Тэарэма 2.4. Дапусцім, што некаторае рашэнне Xj(t) ураўнення
x + Q(t) х = 0
мае, прынамсі, два нулі t0,t] і to < t/. Будзем лічыць, што ў інтэрвале (to;tj) функцыя xt(t) не мае іншых нулёў. Гэтае дапушчэнне можа мець месца, таму што нулі ўсякага рашэння ўраўнення (2.30) ізаляваныя. (Калі рашэнне x(t) мае бясконцы лік нулёў на адрэзку [а, р], то ў пункце t , што будзе лімітавым для мноства нулёў x(t ) = 0, а значыць, па тэарэме 2.1 х = 0, што супярэчыць дапушчэнню.) Тады X](t), як непарыўная функцыя, захоўвае пастаянны знак у інтэрвале (/0,7/); заўсёды можна дапусціць, што ў гэтым інтэрвале Xj(t)>0 (у процілеглым выпадку можна ўзяць Xj(t) ). Маем X](tg)>0 (xj узрастае ўправа ад t0, пры гэтым X](to)*O ,ботады X] =0).
Калі Q(t)<0, то з ураўнення х + Q(t)х = 0 вынікае, што X](t)>0 ва ўсім інтэрвале [tott])Маем, што x^t) не ўбывае ў інтэрвале (^,7;), гэта значыць Xj(t)>Xj(tg) для tox](t0) + xl(t0)(tl t0) = x1(t0)(t] t0)>0, што супярэчыць умове X](t]) = O. Гэта і даказвае тэарэму.
Тэарэма 2.5. У сілу лінейнай незалежнасці рашэнняў X/(t) і x2(t), рашэнне x2(t) не будзе ператварацца ў нуль пры t = t0 і t = = tt, калі дапусціць, што ва ўсім інтэрвале (/д/^гэтае рашэнне не мае нулёў. Сапраўды, калі б x2(to)=O, то тады
W(to) = x1(tn)x2(to)X2(to)Xj(to) = O,
ціто супярэчыць уласцівасці дэтэрмінанта Вронскага. У сілу таго, што W(t)*0, ён захоўвае пастаянны знак. Дапусцім, для дакладнасці W(t)>0. У сілу таго, што
[x2(t)]2	l*:^)]2
d x,(t)}
TO 
dx\x2(t))
W(t)
Інтэгруючы апошнюю роўнасць, атры
маем

(27)
(x2(t) * 0, значыць, функцыя справа непарыўная).
Левая частка (27) роўная нулю, таму што X/(t0) = Xj(tj) = 0, a правая дадатная велічыня. Атрыманая супярэчнасць даказвае, што паміж двума паслядоўнымі нулямі x^t) існуе. прынамсі, адзін нуль
x2(t). Калі б іх было два, гэта значыць x2(tf)) = x2(t') = 0, to < {о < tj < 11, то’ памяняўшы ролі X] і х2, было б даказана існа
ванне нуля функцыі X)(t) паміж t^ і Z*, а гэта супярэчыць умове, што xt(t) не мае нулёў паміж t0 і tj. Тэарэма даказана.
Тэарэма 2.6. Няхай t0\tI —два паслядоўныя нулі функцыі
388
x(t), i дапусцім, што паміж імі няма ніводнага нуля функцыі y(t). He парушаючы агульнасці, можна дапусціць, што x(t)> 0, y(t)> 0 у інтэрвале [t0;t^. Тады x(t) будзе ўзрастаць управа ад t0 і ўбываць улева ад tj. Значыць, x(to)>O, xf/y ^ < 0. Памножым х + + Qi(t)x — 0 на У(О > а Ў + Q2O)У = 0 на Х(О і адымем ад першага другое. Будзем мець
х( t)y(Оў( Ох( 0 = IQ2 (t)~Qi(t)]x(t)y( t).
Інтэгруючы ў апошняй роўнасці абедзве часткі ад /0 да Zy, атрымаем
k Оу( t) ў( Ох( ^^ = J fe Qi )xydt
У сілу прыведзеных дапушчэнняў інтэграл у правай частцы не адмоўны. У левай частцы x(t/)y(tj)x(to)y(to) з улікам, што y(t)>O,x(to)>O,x(t]) а ў сілу ўласцівасці 3.1.1°: x(t)0 к=1 п
X/t & (a;b). Значыць, ^акхк (t) = 0 не пры ўсіх а^, роўных нук=1
лю, таму х1 ,...,хп —лінейна залежныя на (a;Z>). I, згодна з першай часткай тэарэмы, у гэтым выпадку \X(t\ = 0, t е (a;b).
Тэарэма 3.3. Няхай х = colon^X],....х^ — некаторае рашэнне ўраўнення L(р) х = 0, вызначанае на інтэрвале l — ^t^tz'), пакажам, што на гэтым інтэрвале яго можна запісаць у выглядзе х = х1+...+хт. Вядома, што кожная функцыя xs, s = l,n на інтэрвале I задавальняе ўраўненню D(p)xs = 0 (гл. § 3.2) і таму ў сілу § 2.5 можа быць запісана на гэтым інтэрвале ў выглядзе т
xs = ^g'(t)eK‘‘ ,s = 1,п, і=1
390
дзе gj (t) — паліном ступені кі 1, пры гэтым к, — кратнасць кораня
Такім чынам, кожнае рашэнне х ураўнення L(p)x = 0 на інтэрвале / запісваецца ў выглядзе: х = g1 (t) е^‘‘ +...+gm(t) е^тІ, дзе g‘ (t) — вектар, кампаненты якога — паліномы ступені кі 1. Дастаткова паказаць цяпер, што кожны складнік g‘ (t) e^ у апошняй роўнасці з’яўляецца рашэннем разглядаемага ўраўнення. Пасля падстаноўкі ва ўраўненне будзем мець:
0 = L(p)(g'(Ое*4' +...+gm(t)eK"t) = е^ Lfp + k^g'f t)+...+
+ eK’’tL(p + Xm)gm(t).
У сілу таго, што лікі X],...,Хт папарна розныя, а значыць, функцыі е^'‘ ,...,e^mt лінейна незалежныя, з гэтай роўнасці атрымаем
е^‘‘ L(p + kt )gl (t) = 0, і = 1,т, або, інакш,
Цр)^(і)еКі' =0, і = Тт.
Адсюль вынікае, што х' = g‘ (t^** ёсць рашэнне ўраўнення (3.2.14). Тэарэма 3.3 даказана.
Тэарэма 3.4. Пакажам спачатку, што функцыі х' ,...,хп з'яўляюцца рашэннямі сістэмы (3.3.20). Увядзём паслядоўнасць вектарных функцый г1	г2
^г ^^7~~ітУ +7~^гУ^^г'	г = 1к
(г1)!	(Г2)!
Тады аказваецца, што вектарныя функцыі
xr = (£)r (t)eM, г = 1,к
з'яўляюцца рашэннем сістэмы (3.3.20), прычым хг (0) — hr. Такім чынам, кожнаму жарданаву ланцужку з к вектароў адпавядае сістэ
391
ма з & рашэнняў. Шляхам правядзення элементарных вылічэнняў лёгка праверыць, што маюць месца тоеснасці
6>г (1) = ^' (t), г = 1,к,
А(йУі) = 'к(йг (t) + tor~I (t), r = l,k, дзе (д° (t) = 0.
3 дапамогай гэтых тоеснасцяў непасрэдна правяраецца, што функцыі xr = (ar(t)e^', г = 1,к з'яўляюцца рашэннямі разглядаемай сістэмы. Сапраўды, маем
xr =&(t)eXl +^(t)eK‘ =[(^^^	=
= A^flje^ = Axr (t).
Цяпер, y сілу таго, што функцыі х1 ,...,хп з’яўляюцца рашэннямі сістэмы (3.3.20) і згодна з уласцівасцю 2.2.3°, формула (3.3.28) заўсёды дае рашэнне сістэмы (3.3.20).
Пакажам, што кожнае рашэнне сістэмы (3.3.20) пры азначаным падборы канстант С/,...,Сп запісваецца ў выглядзе х = С/х/+... + Спхп. Няхай ^(t) адвольнае рашэнне сістэмы (3.3.20). Рашэнне ф^^ можна лічыць зададзеным на ўсёй прамой м < / < оо, і таму вектар ^(0) = х° вызначаны.
Раскладзём гэты вектар па базісе h/,...,hn : х° =CIh'+...+Cnhn.
Калі цяпер падставіць знойдзеныя канстанты С],...,Сп у судачыненне (3.3.28), то атрымаем рашэнне x(t), што задавальняе пачатковым умовам
х(0) = С1х'(0)+...+Спхп(0) = C,h1 +...+Cnhn = х°.
Такім чынам, рашэнні ^(t) і x(t) маюць агульныя пачатковыя значэнні і таму супадаюць. Тэарэма 3.4 даказана.
Тэарэма 3.5. Пакажам спачатку, што функцыя еЛ' з’яўляец
392
ца рашэннем сістэмы (3.3.20). Пераносячы на матрычныя функцыі азначэнні і ўласцівасці вектарных функцый скалярнага аргумента (гл. [15], глава I, п. 15.2, с. 340), знаходзім