Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
Вучэбны дапаможнік павінен абавязкова змяшчаць матэрыял, блізкі да якіхнебудзь напрамкаў сучасных даследаванняў і да прыкладанняў. Таму ў IV главе разам з класічнымі пытаннямі агульнай тэорыі сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў, такімі як
8
існаванне і адзінасць рашэнняў, дыферэнцавальнасць рашэнняў па пачатковых дадзеных і параметрах і непарыўная залежнасць ад іх, разглядаюцца пытанні тэорыі аўтаномных сістэм, іх уласцівасці, метад нармальных формаў.
У большасці выпадкаў задача знаходжання рашэнняў дыферэнцыяльных ураўненняў не прыводзіцца да вылічэння інтэгралаў ад вядомых функцый. Гэтыя абставіны прымушаюць вывучаць уласцівасці рашэнняў непасрэдна па дыферэнцыяльнаму ўраўненню. 3 геаметрычнага пункту гледжання рашэнне ўраўнення ўяўляе сабой некаторую лінію інтэгральную крывую. Можна вывучаць агульныя ўласцівасці такіх інтэгральных крывых, іх асаблівыя пункты, агульнае размяшчэнне крывых сямейства і г.д. 3 гэтага пункту гледжання вывучэнне дыферэнцыяльных ураўненняў праводзіцца ў так званай якаснай тэорыі, элементы якой змешчаны ў V главе «Устойлівасць дынамічных сістэм». У гэтай главе вывучаюцца ўстойлівасць па першаму набліжэнню, асновы першага і другога метадаў Ляпунова, праведзена даследаванне фазавага партрэта дынамічнай сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў другога парадку, метадамі якаснай тэорыі даследуюцца сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў, што з’яўляюцца матэматычнымі мадэлямі, напрыканцы главы разгледжана ўстойлівасць лінейных нестацыянарных сістэм.
У дадатку I прыведзены доказы ўсіх асноўных тэарэм першага тома кнігі. Яшчэ раз падкрэслім, што такая структура даззоліць даступна і зручна карыстацца вучэбным дапаможнікам шырокім колам чытачоў, у залежнасці ад іх спецыяльнасці і мэты карыстання. Кніга можа быць выкарыстана і студэнтамі універсітэтаў, і тэхнічных ВНУ ўсіх форм навучання для арганізацыі самастойнай працы, выкладчыкамі пры падрыхтоўцы лекцыйных курсаў, практычных і лабараторных заняткаў. Інжынерам і навуковатэхнічным працаўнікам дапаможа атрымаць неабходную інфармацыю па практычнаму прымяненню дыферэнцыяльных і інтэгральных ураўненняў.
Некаторыя асноўныя абазначэнні, што пастаянна выкарыстоўваюцца ў вучэбным дапаможніку:
1а Зак. 970
9
R мноства сапраўдных лікаў;
N мноства натуральных лікаў;
Z мноства цэлых лікаў;
R+ мноства дадатных сапраўдных лікаў;
Rn п мерная сапраўдная прастора;
Сп п мерная камплексная прастора;
х = colon(x!,...,X") вектарфункцыя лмернай прасторы Rn ■,
A(t) =
a^t), j = Rn
матрыца, якая складаецца з п радкоў і
п слупкоў;
det А або | Я | дэтэрмінант матрыцы A ;
Sp A след матрыцы A ;
A* матрыца, спалучаная з матрыцай А;
A' матрыца, транспанаваная да A ;
| х | модуль ліку х;
[х] цэлая частка ліку х;
^х\А(х)] або {х: А(х)} мноства элементаў х, якія адпавядаюць умове А(х)
Е — адзінкавая матрыца;
(а;Ь) —інтэрвал;
[a;b]адрэзак;
к =0,п — к набывае цэлыя значэнні ад 0 да п;
х & X х ёсць элемент мноства X;
х $ X элемент х не належыць мноству X;
V х для кожнага х;
3 х існуе х;
10
X a Y мноства X ёсць падмноства мноства Y;
A U В аб'яднанне мностваў A і В;
А{}В перасячэнне мностваў A і В ■,
Re z сапраўдная частка камплекснага ліку z;
Imz — уяўная частка камплекснага ліку z;
dx
x(t) = x'(t) = — вытворная па зменнай t (сімвал ' прымяняецца
толькі для абазначэння вытворнай скалярнай функцыі);
dtn
= знак тоеснай роўнасці;
= знак набліжанай роўнасці;
def
= роўна паводле азначэння;
М^ мінор элемента ау;
А^ алгебраічны дадатак элемента atJ ;
Q матрыцант;
A(t) = diag(an(t),a22(t),...,ann(t)) дыяганальная матрыца;
|| Л^t J норма матрыцы A(t)‘,
\х(t)\ норма вектара x(t) ,
х'у ((х,у)) скалярны здабытак вектароў хіу;
(л х л) матрыца з п слупкоў і п радкоў;
f (X) мноства значэнняў функцыі f на X \
sup f (М) дакладная верхняя мяжа функцыі f(M) на мностве D;
D
inf f (^) дакладная ніжняя мяжа функцыі f(M) на мностве D;
D
max f (M) найбольшае значэнне функцыі f(M) на мностве D;
min f (M) найменшае значэнне функцыі f(M) на мностве D;
lim f (x) ліміт функцыі /('х^калі x імкнеццада a ; x—ta
f (x + 0) ліміт справа функцыі f y пункце x ;
f (x — 0) ліміт злева функцыі f y пункце x;
exp(f (x)^ экспанентавы выраз e^tx);
Oxyz прамавугольная дэкартава сістэма каардынат у прасторы;
Ox, Oy, Oz каардынатныя восі;
Oxy, Oyz, Oxz каардынатныя плоскасці;
о(а) бясконца малая велічыня больш высокага парадку малечыні, чым a;
оо
X ап ~ Рад 3 элементаў ап;
п=1
п
Pj здабытак п элементаў р}.
J=i
У выпадку іншых абазначэнняў гл. спасылкі ў адпаведных главах або параграфах.
Адзначым, што пры выкладанні стандартных пытанняў тэорый дыферэнцыяльных або інтэгральных ураўненняў былі выкарыстаны падручнікі і дапаможнікі розных аўтараў. Усе яны ўказаны ў спісе літаратуры. Задачы і прыклады, як правіла, узяты з вядомых зборнікаў задач па адпаведных раздзелах, яны падбіраліся так, каб дапоўніць тэарэтычную частку асноўнага тэксту і паказаць цесную сувязь з практыкай. Некаторыя практыкаванні, змешчаныя ў вучэбным дапаможніку, з’яўляюцца трывіяльнымі, а некаторыя з іх могуць служыць тэматыкай курсавых работ па дысцыпліне «Дыферэнцыяльныя ўраўненні» для спецыяльнасці «Матэматыка».
Аўтары выказваюць глубокую падзяку прафесарам В.І.Громаку і В.І.Міроненка, членкарэспандэнту Беларускай акадэ
12
міі адукацыі Ю.А.Быкадораву за цэнныя заўвагі, якія садзейнічалі паляпшэнню зместа кнігі. Асабліва ўдзячны аўтары калектыву кафедры дыферэнцыяльных ураўненняў Белдзяржуніверсітэта за вельмі карыснае абмеркаванне рукапісу кнігі.
У заключэнні хочацца выказаць упэўненасць, што дадзеная кніга будзе садзейнічаць павышэнню матэматычнай культуры чытачоў з рознымі запытамі да аб’ёму матэматычных ведаў па дыферэнцыяльных і інтэгральных ураўненнях. Спадзяёмся, што прапанаваная схема пастраення вучэбнага дапаможніка будзе цікавай і для выкладчыкаў, ужо знаёмых з прадметам.
ГЛАВАI
УРАЎНЕННІПЕРШАГА ПАРАДКУ
§ 1. Агульныя ўраўненні першага парадку
Дыферэнцыяльным ураўненнем называецца роўнасць, якая звязвае незалежныя зменныя, іх функцыю і вытворныя гэтай функцыі.
Найвышэйшы парадак вытворнай, што ўваходзіць ва ўраўненне, называецца парадкам гэтага ўраўнення. Дыферэнцыяльныя ўраўненні, у якіх невядомая функцыя залежыць толькі ад адной незалежнай зменнай, называюць звычайнымі дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі.
Будзем разглядаць звычайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку, гэта значыць судачыненні, якія звязваюць шуканую функцыю, незалежную зменную і першую вытворную ад шуканай функцыі. Самае агульнае дыферэнцыяльнае ўраўненне першага парадку мае выгляд:
F(t,x,x) = 0, (Г)
дзе F зададзеная функцыя зменных t, х,х;х = —. Напрыклад, at
х* 2x + t2 = 0 дыферэнцыяльнае ўраўненне першага парадку.
Адзначым, што функцыя F можа задавацца не для ўсіх значэнняў яе аргументаў; таму будзем гаварыць пра абсяг задання гэтай функцыі В.
Калі разглядаемае ўраўненне вызначае х як няяўную функцыю двух астатніх аргументаў, то яго можна запісаць у выглядзе, вырашаным адносна х:
x = f(t,x), (1)
дзе / зададзеная функцыя зменных t,x.
Рашэннем дыферэнцыяльнага ўраўнення (Г) называецца такая функцыя х = ф(1) незалежнай зменнай t, вызначаная на некаторым інтэрвале I = (t1;t2) (выпадак ti = <», t2 = +» не выклю
14
чаецца), што пры падстаноўцы х = ф(7) у судачыненне (Г) атрымліваецца тоеснасць на ўсім інтэрвале I. Інтэрвал I называюць інтэрвалам вызначэння рашэння ty(t).
Напрыклад, функцыя х = е~' з’яўляецца рашэннем дыферэнцыяльнага ўраўнення першага парадку х+х=0 на інтэрвале foo, +оо). Пераканацца ў гэтым можна непасрэднай падстаноўкай у
дадзенае ўраўненне х і х = е .
Адзначым, што, папершае, падстаноўка х = <р(У) у (Г) можа быць выканана толькі тады, калі функцыя (p(7J на ўсім інтэрвале I мае першую вытворную, падругое, пры адвольным значэнні tel пункт з каардынатамі (г, ф^//ф^/^) павінен належаць мноству В, дзе вызначана функцыя F.
Для апісання геаметрычнага сэнсу рашэння х = ф(^) ураўнення (1) разгледзім каардынатную плоскасць Р зменных t і х, прычым t, як незалежную зменную, адкладваем па восі абсцыс, а х, як залежную зменную, па восі ардынат. Функцыя / можа задавацца
не для ўсіх значэнняў сваіх аргументаў Z і х, гэта значыць не ва ўсіх пунктах плоскасці Р, а толькі ў пунктах некаторага мноства D плоскасці Р. Адносна D будзем меркаваць усюды далей, што гэтае мноства адкрытае. Будзем дапускаць таксама, што функцыя f і яе
Э/
частковая вытворная — — непаох
рыўныя функцыі зменных t, х на
D. Рашэнне х = ф(/) ураўнення
(1) будзе геаметрычна ўяўляць у t плоскасці Р крывую з
ураўненнем х = ф(/) (мал. 1). Гэ
Мал. 1 тая крывая ў кожным пункце мае датычную і поўнасцю змяшчаецца ў абсягу D. Яна называецца інтэгральнай крывой дыферэнцыяльнага ўраўнення (1). Іншымі словамі, інтэгральная крывая графік рашэння х = ф(/).
15
Задачай Кашы называюць задачу знаходжання рашэння х = x(t) ураўнення (1), якое задавальняе ўмове
x(t0) = x0, (toxo)eD.
(2)
Mae месца
Тэарэма 1. Калі функцыя f(t,x) непарыўная і мае непаЭ/
рыўную вытворную — у абсягу D, то рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення (1) пры пачатковай умове (2) існуе, і яно адзінае, гэта значыць, праз пункт (/0,х0) праходзіць адзіная інтэгральная крывая дадзенага ўраўнення.
Абсяг D будзем называць абсягам адзінасці для ўраўнення (1).
Заўвага 1. Адзінасць тут разумеецца ў наступным сэнсе:
функцыя ^(t), вызначаная на інтэрвале / = (//;Z2),
супадае з
функцыяй \f(t), вызначанай на інтэрвале I, = (st;s2), там, дзе яны абедзве вызначаюцца, але інтэрвалы іх вызначэння / і /; не абавязкова аднолькавыя.
Заўвага 2. Больш агульную фармулёўку тэарэмы існавання і адзінасці рашэння ўраўнення (1) пры ўмовах (2) гл. у § 12.
Няхай D некаторы абсяг адзінасці для ўраўнення (1).
Агульным рашэннем дыферэнцыяльнага ўраўнення (1) у абсягу D называецца функцыя
x = (p(t,C), якая залежыць ад адной адвольнай пастаяннай С і задавальняе наступным умовам:
1) яна задавальняе ўраўненню (1) пры любых дапушчальных значэннях пастаяннай С;
2) якія б ні былі пачатковыя ўмовы (2), можна падабраць такое значэнне Cq пастаяннай С, што рашэнне х = (p(t,C0) будзе задавальняць пачатковай умове (2).
КНІГІ ОНЛАЙН
