Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
Хп t 60
—— = хое 30 ; 1g 100 = ~lg2; t = — ~200 (дзён).
100 30 lg2
Такім чынам, прыблізна праз 200 дзён застанецца 1% ад першапачатковай колькасці радыёактыўнага рэчыва.
§ 3. Прасцейшае дыферэнцыяльнае ўраўненне першага парадку
Самым простым дыферэнцыяльным ураўненнем першага па
24
радку з’яўляецца ўраўненне выгляду
x = f(t), (8)
дзе f (t) зададзеная функцыя, непарыўная на некаторым інтэрвале І — (а;Ь). У дадзеным выпадку задача знаходжання рашэння x — x(t) ёсць класічная задача матэматычнага аналізу аб адшукванні функцыі па яе вытворнай. Як вядома, гэта задача рашаецца пры дапамозе паняцця першавобразнай
x = jf( t)dt.
Паколькі ўсе першавобразныя адрозніваюцца адна ад другой на пастаянную, то любое рашэнне можна запісаць у выглядзе / t
x = C + \f(x)dx = x(t0)+jf(x)dx, toel, (9)
<0 ^в
дзе С ёсць значэнне x(t) пры t = t0. Рашэнне (9) вызначана на ўсім інтэрвале.
Выраз (9) дае ўсе першавобразныя функцыі для f(t), таму формула (9) змяшчае ўсе рашэнні ўраўнення (8). У гэтым выпадку кажуць, што (9) ёсць агульнае рашэнне ўраўнення (8).
Прыклад 1. Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення dx , — = 4t3 (10)
dt
і выдзеліць рашэнне, якое задавальняе пачатковай умове х = 1 пры t = 0, гэта значыць выдзеліць інтэгральную крывую, што праходзіць праз пункт (0,1).
Рашэнне. Правая частка ўраўнення (10) непарыўная пры ўсіх t. Агульнае рашэнне мае выгляд
x = t4+C. (11)
Усе інтэгральныя крывыя атрымліваюцца з любой з іх, напрыклад, з х = t4 (мал. 5), зрухам, паралельным восі Ох . Падстаўляючы ў (11) х = 1, t = 0, атрымаем С = 1. Шуканае рашэнне запішацца ў вы
глядзе
25
x = t4+l. (12)
Іншых рашэнняў, задавальняючых зададзенай пачатковай умове, няма. Праз пункт (0, 7) праходзіць адна інтэгральная крывая (12).
Рашэнне (12) мае мінімум пры t = 0. Гэтую ўласцівасць лёг
ка заўважыць па выглядзе самога дыферэнцыяльнага ўраўнення (10), таму што ў dx
ім вытворная— ператвараецца ў нуль at
пры t = 0 і змяняе знак з «» на «+» пры пераходзе t праз t = 0.
Такім чынам , вось х з’яўляецца лініяй мінімумаў інтэгральных крывых. У сілу таго, што правая частка ўраўнення (10) ператвараецца ў нуль пры t = 0, датычная да інтэгральнай крывой у пунктах
перасячэння гэтай крывой з воссю х павінна быць паралельнай восі t.
Дапусцім, што правая частка ўраўнення (8) мае пункт разрыву t — с унутры або на мяжы інтэрвала (а,Ь) пры ўмове, што ва ўсіх
астатніх пунктах (а,Ь ) яна непарыўная. Тады да ўраўнення (8) далу
чаецца перавернутае ўраўненне dt 1
dx f( t) ’
(13)
правая частка якога непарыўная пры t — с. Відавочна, што t с ёсць рашэнне ўраўнення (13).
dx 1
Прыклад 2. Разгледзім ураўненне — = у, пРавая частка якога пры t = 0 ператвараецца ў бясконцасць.
Пры t^O рашэннямі будуць x = ln t +С. Разглядаючы
dt
перавернутае ўраўненне — = t, лёгка бачыць, што вось х будзе dx
інтэгральнай крывой, таму што абедзве часткі гэтага ўраўнення
26
ператвараюцца ў нуль пры t = 0. Гэта частковае рашэнне. Яно з’яўляецца асімптотай рашэнняў х = In | t | + С (мал. 6).
там, дзе f (х)*0, перапісваецца як dx
= dt, адкуль
Мал. 6
Інтэгральнымі крывымі ўраўнення (14) будуць крывыя, што ўваходзяць
у агульны інтэграл (15), і прамыя х = a ,
дзе a — корань ураўнення f (х) = 0.
§ 4. Ураўненні ў поўных дыферэнцыялах
Разгледзім ураўненне
дзе функцыі P(t,x) і Q(t,x) вызначаныя і непарыўныя ў абсягу D плоскасці Р зменных t,x, прычым назоўнік Q(t,x) не ператвараецца ў нуль ні ў адным пункце.
Калі выраз Q(t,x)dxР(t, х)dt ёсць поўны дыферэнцыял некаторай функцыі на ўсім абсягу D, то ўраўненне (16) называюць ураўненнем у поўных дыферэнцыялах.
Заўвага 1. Напомнім, што поўным дыферэнцыялам некаторай функцыі u = u(t,x) называецца выраз du du
du = ~dt + —dx.
dt dx
21
А для таго, каб дыферэнцыяльны выраз Q(t, х)dx P(t,x)dt з’яўляўся поўным дыферэнцыялам некаторай функцыі u(t,x), неабходна і дастаткова, каб ва ўсіх пунктах абсягу D была выканана ўмова
Э0 дР
^+— = о. dt дх
(Доказ гэтага сцвярджэння гл. у [29], § 12.2, с. 58). Тоеснае выкананне апошняй роўнасці з’яўляецца неабходнай і дастатковай прыметай ураўнення ў поўных дыферэнцыялах.
Сімвалічна ўраўненне (16) будзем запісваць у выглядзе ўраўнення
Q(t,x)dxP(t,x)dt = 0, (17)
левая частка якога з’яўляецца поўным дыферэнцыялам. Апошняе азначае, што існуе функцыя u(t,x), вызначаная на D, якая задавальняе ўмовам du(t,x) ( du(t,x)
—4= Q(t,x), —— = P(t,x). (18)
ax at
Функцыя u(t,x) можа быць знойдзена наступным чынам. Інтэгруючы першую з роўнасцяў (18) па х пры фіксаваным t і заўважаючы, што адвольная пастаянная ў гэтым выпадку можа залежаць ад t,
маем
u(t,x) = ^Q(t,x)dx + q(t). (19)
Затым з роўнасці
47 JC6 {’x)dx + ^(t)^P( t.x) знаходзім функцыю (pf t), пасля падстаноўкі якой у (19) атрымліваем функцыю u(t,x).
Заўважым, што функцыю u(t,x) можна адшукваць, інтэгруючы другую з роўнасцяў (18) па t пры фіксаваным х, адвольная пастаянная пры гэтым будзе залежаць ад х.
28
Няхай x = \y(t)~ рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення (16), вызначанае на інтэрвале I = (tj;t2\ Пакажам, што мае месца тоеснасць
u(t,\f(t)) = const.
Сапраўды, для ўсіх пунктаў інтэрвала маем
’ Qd.^a» або
Q(t,y(t))\y(t)P(t,4(t)) = O.
Левая частка апошняй роўнасці, у сілу (18), ёсць поўная вытворная па t функцыі u(t,\f(t)), так што
^u(t,y(t)) = 0 at
на ўсім інтэрвале 7. Адсюль вынікае (гл. [15], глава I, § 11,п. 2, с. 279), што функцыя u(t,y(t)) ёсць канстанта на ўсім гэтым інтэрвале.
Адваротна, кожная функцыя x = \\f(t), зададзеная на некаторым інтэрвале 7 і азначаемая як няяўная функцыя з ураўнення
u(t,x) = C (20)
(з адвольнай пастаяннай С), з’яўляецца рашэннем дыферэнцыяльнага ўраўнення (16).
Сапраўды, няхай x — \f(t) рашэнне ўраўнення (20), разглядаемае на некаторым інтэрвале 7, так што
u(t,\y(t)) = С.
Дыферэнцуючы гэтую тоеснасць па /, у сілу (18) атрымаем Q(t^(t))^(t)P(t,W(t)) = O, адкуль вынікае, што x\f(t) рашэнне ўраўнення (16).
Апошняму выніку дадзім геаметрычнае тлумачэнне: кожная інтэгральная крывая дыферэнцыяльнага ўраўнення (16) размяшчаецца цалкам на некаторай лініі ўзроўню функцыі u(t,x), гэта значыць вызначаецца ўраўненнем (20).
29
Адваротна, кожная звязная частка лініі ўзроўню, гэта значыць графік рашэння ўраўнення (20), разглядаемага на некаторым інтэрвале I = ^t];t2}, уяўляе сабой інтэгральную крывую.
Прыклад 1. Праінтэграваць дыферэнцыяльнае ўраўненне (2/ 3x)dt + (2х 3t)dx = 0.
Рашэнне. Для дадзенага ўраўнення P(t,x) = 2t Зх, дР dQ
Q(t,x) = 2х 3t, 77= —3, т— = 3 . Дадзенае ўраўненне з’яўляах at
ецца ўраўненнем у поўных дыферэнцыялах, таму дй дй
— = 2t Зх, ~ 2х3t. (21)
at ax
Інтэгруючы першае з гэтых двух ураўненняў (х пры гэтым лічыцца пастаянным), знаходзім
u(t,x) = t2 ~3tx + ($(x), (22)
дзе (р(х)функцыя, якую неабходна знайсці.
Дыферэнцуючы (22) па хі параўноўваючы з (21), атрымаем
3t + ў(х) = 2х 3t, аакуль ў(х) = 2х, — = 2х, (о(х) = х +С/. dx
Падставіўшы выраз для g>(x) у роўнасць (22), знойдзем u(t,x) = t2 3tx + x2 + Ct.
Агульны інтэграл дадзенага ўраўнення запішацца ў выглядзе t2 3tx + х2 + С, — С2 або t2 — 3tx + х2 = С.
Прыклад 2. Разгледзім ураўненне х = f (t)g(х), азначанае як ураўненне з падзяляльнымі зменнымі. Будзем лічыць, што функцыя f (t) вызначаная і непарыўная на інтэрвале t, < t < t2, а функцыя g(x) вызначаная, непарыўная і не ператвараецца ў нуль на інтэрвале х, < х < х2 .
Разглядаемае ўраўненне ураўненне ў поўных дыферэнцыялах. Менавіта яно можа быць запісана сімвалічна ў выглядзе
30
dx g(x)
f(t)dt = O.
Адпаведная функцыя u(t,x) задаецца формулай
х0 ‘0
Тут х0 6 (х7;х2),а х змяняецца на тым жа інтэрвале; t0 е (/7;/2), a t змяняецца на тым жа інтэрвале.
У сілу сказанага вышэй усе рашэнні разглядаемага ўраўнення атрымліваюцца як няяўныя функцыі з судачынення й4лтхт+с
Заўвага 2. Калі лінія ўзроўню функцыі u(t,x) можа складацца з некалькіх асобных кавалкаў, то ў гэтым выпадку цэлая лінія ўзроўню не з’яўляецца адной інтэгральнай крывой, a распадаецца на некалькі інтэгральных крывых. Іншымі словамі, адна канстанта С можа ў сілу няяўнага ўраўнення (20) вызначаць некалькі і нават бясконцае мноства рашэнняў.
Прыклад 3. Рашым ураўненне
x = x2cost (23)
з падзяляльнымі зменнымі. Мноствам D для яго з’яўляецца ўся плоскасць Р. Пры х > 0 і пры х <0 ураўненне можна рашыць спосабам, разгледжаным у прыкладзе 2. Для кожнай з паўплоскасцяў маем
Г^ Г j
— 7 = cos tdt
J х J або
— = sint C. x
Такім чынам, атрымліваем
31
С sin t
(24)
Акрамя рашэнняў, апісаных формулай (24), маем відавочнае
рашэнне
х = 0. (25)
Пакажам, што формулы (24) і (25) ахопліваюць сукупнасць усіх рашэнняў ураўнення (23). Няхай (t0,x0) адвольнае пачатковае значэнне. Калі х0 = 0, то ўказаныя пачатковыя значэнні рашэнне (24)
мае пры С = sint0 +—, пры х0 = 0 маем рашэнне (25). хо
Рашэнне (25) вызначана на інтэрвале (<»,'+<»). Пры |С| > 7 формула (24) вызначае таксама адно рашэнне, зададзенае на інтэрвале (оо;+°о). Пры фіксаваным С, |С| < 7, формула (24) задае не адно рашэнне, а бясконцае мноства рашэнняў. Кожнае асобнае рашэнне ў гэтым выпадку вызначаецца на інтэрвале 7 = (tj,'t2), дзе t,,t2 два суседніх нулі функцыі sin t С (мал. 7).
Заўвага 3. Некаторыя дыферэнцыяльныя ўраўненні шляхам замены зменных могуць быць прыведзены да ўраўненняў з падзяляльнымі зменнымі. Напрыклад, ураўненне выгляду dx
— = f(at + bx + с), (26)
dt
дзе f(z) — непарыўная функцыя свайго аргумента, а,Ь,с пастаянныя лікі, падстаноўкай z=a t+bx+c ператвараецца ў дыферэнцыяльнае ўраўненне з падзяляльнымі зменнымі
dz dx
— = a+b—= a+bf(z), dt dt
dz
адкуль—— = dt, калі a + b f (z) ^ 0 . Пасля інтэгравання a + b f(z)
32
атрымаем
r dz
> a + bf(z)
= t + C.
(Адзначым, што карані ўраўнення a+b f(z) = O могуць быць рашэннямі (26), якія не ўваходзяць у атрыманы агульны інтэграл.) Замяняючы ў апошнім судачыненні z на a t +Ь х + с, знойдзем агульны
інтэграл ураўнення (26).
Напрыклад, ураўненне dx
— = 2 t+x падстаноўкай z = 2 t + х
Мал. 7 прыводзіцца да ўраўнення з падзя
dz d х 1
ляльнымі зменнымі — 2 = z. Ураўненне —— =+ 1 прыво
dt d t tx
дзіцца да ўраўнення з падзяляльнымі зменнымі
dz 1
dt z'
z = tх.
§ 5. Аднародныя дыферэнцыяльныя ўраўненні і ўраўненні, якія прыводзяцца да іх
КНІГІ ОНЛАЙН
