Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
^(еА‘) = Ііт—\еА(,+^еА,]= Ііт\^(еА Е)еА‘ .
Адсюль і з азначэння экспаненты (3.3.29) атрымаем
—eAt AeAt dt
At
a гэта значыць, што e ёсць рашэнне разглядаеман сістэмы.
Далей пры t = 0 маем еА 0 = Е. У сілу таго, што \Е\ ^ 0, атрымаем, \еА' \ ^ 0 для ўсіх t е I, а гэта значыць, што eAt фундаментальная матрыца (гл. тэарэму 3.1).
Тэарэма 3.7. Разгледзім спачатку частковы выпадак сістэмы х = Ax + Pm(t)е^ , калі А = Jk жарданава клетка віду (3.3.24). У разгорнутым выглядзе гэту сістэму запішам так:
Ўі^Уі+Уг + РтО)^
Ў2=^У2+Уз+ Рт^е*.
Ўкі = ^Укі +Ук+ Р^'в)^,
Ўк = ^Ук +Рт(і)е* ■
Інтэгруючы гэтую сістэму знізу ўверх, карыстаючыся формуламі (2.4.18), калі ц ^ X і (2.4.19) пры Ц = X, адпаведна атрымаем, што частковае рашэнне будзе мець выгляд у* = Q‘m(t)е^‘, і = 1,к пры Ц#Х і у‘к ^(i^.y^tQ^fi)^'.........y^tQ^.ft)^. Запісваючы апошнія судачыненні ў вектарнай форме, атры.маем формулы у* = Qm+k (і)е^.
393
У агульным выпадку разглядаемую сістэму з дапамогай пераўтварэння х = Ту (матрыца Т прыводзіць матрыцу А да жарданавай нармальнай формы) прыводзім да выгляду
= •■. y + P^De^.
« Р„(І)=Т~'Р„,(:).
Апошняя сістэма распадаецца на s падсістэм
dt
і = l,s, прычым калі ц супадае з некаторым X, кратнасці k, то гэтаму Х( адпавядаюць клеткі Жардана памернасці не больш за к. Інтэгруючы кожную з атрыманых сістэм, будзем мець, згодна са сказаным вышэй, формулы частковых іх рашэнняў віду ў* = Q‘m4rk(t)ew, дзе Qm+k(Q — паліномы ступені не больш за m + k, прычым к = 0, калі Ц ^ X і ^ супадае з кратнасцю X, калі Ц = X. Пераўтвораная сістэма будзе мець частковае рашэнне у* = colonfу*],...,у*) = = Qm+k ('^, Дзе Qm+k (t) = colon(Q^ (t), Q^+k (t),..., Qsm+k (t)), a зыходнае частковае рашэнне x* = Ty* = TQ^ (t)ew =
= Qm+k (1 )e^' ’ што * патрэбна было паказаць.
Тэарэма множання (Э. Барэль) 3.8. j f (l)g(t T)dx з’яў0
ляецца арыгіналам y сілу таго, што ўласцівасці 1), 2) азначэння арыгінала відавочныя, а для доказу 3) адзначым, што калі ўзяць лік Sq , роўны найбольшаму з паказнікаў росту f (t) і g(t), то тады
t t
\ f (^)g(^^)^ < M ^eS(,zeSo(t x)dv = Mtes°‘.
0
0
394
t oo t
Разгледзім цяпер f (x)g(tX)dx =^e pt dt^ f (x)g(tX)dx . 0 '00
Двайны інтэграл, які стаіць справа пры Re р> Sq, абсалютна збягаецца, таму ў ім можна замяніць парадак інтэгравання, і, замяняючы t на tj = tX, атрымаем
/ оо оо
j f(Vgft X)dx = \f(x)dx\e~ptg(t x)dt =
0 Ox
oo oo
= J f(x)e~^dx\ g^e^dt, = F(p) G(p). 0 0
Тэарэма 3.9 (ФлокеЛяпунова). Спачатку вызначым функцыю In А (лагарыфм) квадратнай матрыцы А. Няхай k/,X2,...,^s (s j Х~‘ (х )f(x)dx = х°, о або
co
(Х(а>) Е)х°= ^со Д X1 (x)f(x)dx. (30)
о
Па ўмове тэарэмы 3.12 усе мультыплікатары аднароднай сістэмы не роўныя адзінцы, гэта значыць, што характарыстычнае ўраўненне Іад^Н не мае кораня ц = /. Значыць, ва ўмове (30) \Х((й) — Е\^ 0 і гэтая сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў адназначна вырашаецца адносна х .Такім чынам, адзінае рашэнне зададзенай неаднароднай сістэмы з перыядам (0 вызначаецца формулай (28) і пачатковым значэннем х° , знойдзеным з (30). Тэарэма даказана.
Тэарэма 4.1. Спачатку дакажам так званую лему Гронуала, якая фармулюецца так: няхай u(t),v(t) неадмоўныя непарыўныя пры t >tn функцыі, звязаныя няроўнасцю
u(t) t0 мае месца ацэнка
398
u(t)< cexp
to
Доказ лемы. Памножым (31) на v(t) і дапусцім t
\^(t)= ^v(s)u(s)ds. Тады \]/(t)(t) = \\f(t) у некаторым наваколлі \t — t\(t),\f(t),
\^(t)x'\(t)\i(t)\(t)= =y(t) на ўсім інтэрвале (a;b). Доказ правядзём ад процілеглага. Дапусцім, што існуе такі t]e(a;b), для якога
^(tlJ^Vftl) ■ Для пэўнасці будзем лічыць tj > tg. Пакажам, што мноства М пунктаў t (t) і y(t) маем <^(і)Um ф^tm)= Нт y(tm) = \f(t). Пункт t будзе належаць т—*о° т—^оо
М, таму што пры tm t , што ^(t2)^(^2)^эта
КНІГІ ОНЛАЙН
