КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

322
адзін дадатны корань або пару камплексных каранёў з дадатнай сапраўднай часткай. У гэтым выпадку рашэнні дадзенай сістэмы няўстойлівыя.
Пры a = —2,5 адзін з каранёў роўны нулю, а другі роўны 0,5. У гэтым выпадку рашэнні ўстойлівыя.
Рашэнні будуць устойлівымі і пры а = 2, таму што карані характарыстычнага ўраўнення уяўныя.
Прыклад 2. Пры якіх значэннях параметра а рашэнні сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў
dx	dy	dz
— = z, — = 3x, — = ax + 2yz
dt	dt	dt
асімптатычна ўстойлівыя ?
Рашэнне. Характарыстычнае ўраўненне мае выгляд
X	0	1	
3	X	0	= 0 або X3 + X2 ак + 6 = 0. Па крытэрыю
a	2	1\	
РаусаГурвіца ўмовамі асімптатычнай устойлівасці будуць а7 > 0, at а2 — а3 > 0, а3 > 0 (гл. (9)). Для нашага палінома а6>0, адкуль а<6. Гэта значыць, што пры а<—6 рашэнні дадзенай сістэмы асімптатычна ўстойлівыя.
Прыклад 3. Даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне ўраўнення уп + 5у"' + ІЗу" + 19у' + Юу = 0.
Рашэнне. Характарыстычнае ўраўненне мае выгляд
X4+5к3+ 13X2+ 19^ + 10 = 0. Тут а/= 5,а2 = 13,а3 = 19, а4 = 10. Выпішам галоўныя міноры, карыстаючыся ўмовамі Льена
раШыпара 1):
5	1	0
\3 = 19
13 5 =424>0, Ь,=5> 0.
0
10 19
Нулявое рашэнне дадзенага ўраўнення асімптатычна ўстойлівае.
н»
323
Прыклад 4. Даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне у = 0 ураўнення у11 + у'" + 4у" + у' + у = 0, карыстаючыся кры
тэрыем Міхайлава.
Рашэнне. Складзём характарыстычны паліном f (X ^ = V + V + 4)^ +Х +1.
Далей f(i(d) = (d4 id)3 4ш2 + і(О +1 = u((£)) + iv((d), дзе й(т) = ^4 4а2 +l,v(a>) = ы3 + co = сл(1 со>< 7 + со/
Пабудуем крывую 
й = й((£>), v = vf СО/
v
0 < (0 < 4оо (мал. 10) Ііт — = 0. ш>+«> U
(0	0		1	^2 + ^3
U	1	0	2	0
V	0	+	0	1
Вугал павароту радыусвектара
Мал. 10
л

($ = 4~ = (п2т) —. Адсюль п 2т = 4 ,\
пры п = 4, т — 0, гэта значыць, што ўсе карані характарыстычнага
ўраўнення ляжаць у левай паўплоскасці. Адкуль рашэнне у = 0 асімптатычна ўстойлівае.
§	3. Другі метад Ляпунова
Універсальным метадам даследавання ўстойлівасці розных класаў сістэм з дапамогай адпаведным чынам падабранай функцыі, так званай функцыі Ляпунова, з’яўляецца метад функцый Ляпунова. Пры гэтым не патрабуецца веданне рашэнняў сістэмы. Гэты метад яшчэ называюць другім метадам Ляпунова.
Прывядзём наступныя азначэнні.
324
Азначэнне 1. Функцыяй Ляпунова называюць сапраўдную непарыўна дыферэнцавальную функцыю V(t,x), V:IxDH ^ R1, якая задавальняе ўмове V(t,O) = O .
Азначэнне 2. Вытворнай V функцыі V(t,x) у сілу сістэмы (1) называюць велічыню
Калі x = x(t) ёсць рашэнне сістэмы (1), to V уяўляе сабой поўную вытворную па часу складанай функцыі v(t,x(t)). Адзна
чым, што для вылічэння V фактычнага ведання рашэння x(t) не
патрабуецца.
Абазначым праз О),(н) (й>0, і = 1,2,3,4) скалярныя непарыўныя неспадальныя функцыі такія, што 03,(0) = 0 і 03,(й)>0 пры й>0 (мал. 11). Mae месца
Тэарэма 2 (першая тэарэма Ляпунова). Няхай існуе функцыя Ляпунова V(t,x) такая, што
(і);(|х|)<К(Г,х), (11)
Тады нулявое
Ляпунову. Функцыі
Ў<0.	(12)
рашэнне сістэмы (1) будзе ўстойлівым па V(t,x), што задавальняюць умове (11),
называюць дадатна вызначанымі. Вытворная V, што задавальняе ўм.ове (12), называецца знакаадмоўнай.
А.М. Ляпуноў карыстаўся іншым, эквівалентным (11), азначэннем такіх функцый [48].
Тэарэма 3 (тэарэма К.П. Персіцкага). Калі ў дадатак да ўмоў тэарэмы 2 выконваецца няроўнасць V(t,x)°о.	(16)
Тады рашэнне x(t) = O сістэмы (1) асімптатычна ўстойлівае ў цэлым.
Адзначым, што пры парушэнні ўмовы (16) асімптатычнай устойлівасці ў цэлым можа і не быць (гл. [49], глава I, § 3. с. 22 23).
Сфармулюем цяпер адну тэарэму аб няўстойлівасці. Возьмем непарыўна дыферэнцавальную функцыю V(t,x) і абазначым праз Q абсяг віду Q = {|х| < Н, V(t,x)> о}. Дапусцім, што абсяг Q валодае наступнымі ўласцівасцямі:
a) Q складаецца з некалькіх звязных адкрытых кампанент;
326
6)yg ёсць пункты х з адвольна малой нормай |х| (мал. 12).
Тэарэма 6 (тэарэма Чэтаева). Няхай існуе функцыя V(t,x) такая, што абсяг Q = ^x\< Н, V(t,x) > б}задавальняе ўмовам а) і б). Тады, калі ў абсягу ^функцыя V(t,x) абмежаваная, а яе вытворная ў сілу сістэмы (1) дадатна вызначаная (гэта значыць
Мал. 12
Й7,х>>со4(|х|), xeQ), то нулявое рашэнне сістэмы (1) няўстойлівае.
Прыведзеныя вышэй тэарэмы поўнасцю рашаюць большасць задач устойлівасці. Аднак іх прымяненне ў шэрагу выпадкаў ускладняецца цяжкасцю пабудовы функцый Ляпунова, што задавальняюць умовам гэтых тэарэм. Прывядзём цяпер тэарэму, якая выкарыстоўвае больш простыя функцыі Ляпунова. Разгледзім аўтаномную сістэму
Мал. 13
x(t) = f(x), f(0) = 0, x^Rn ,(\1} x(t0) = x°.
Рашэнне сістэмы (17) абазначым праз x(t,xn). Пункт у & Rn будзем называць (Олімітавым для пункта х°, калі існуе паслядоўнасць {1Л}, tn—> °° такая, што у = lim x(tn,x°) . Пакажам, л—>оо
што мноства Q усіх лімітавых пунктаў
327
дадзенага пункта х° ёсць замкнутае мноства, якое складаецца з цэлых траекторый (мал. 13). Замкнутасць мноства Q праверым наступным чынам.
Калі у* = limyn,yn gQ, то уп = Нт x(t х°) і таму л>°о	Z;—>оо	*
у* = lim limx(tn ,х°)= lim x(tn ,х°). Далей, калі yeQ, то п—*о°к—>оо к	пк~^°° к
абавязкова x(t,y)e£l пры ўсіх t>tQ. Сапраўды, для любога t > t0 маем
х(Уу) = х[ У ^т х({п>х° )\ = ^т х(ў + УХ° ) ■ \ Л—>оо	/ л—»ОО
Таму х(t,y)& Q.
Мноства, што складаецца з цэлых траекторый, называюць інварыянтным мноствам. Калі У(х)>0 некаторая функцыя Ляпунова, прычым V <0, то ўсе CO лімітавыя пункты для дадзенага пункта х° ляжаць на адной паверхні ўзроўню функцыі V(x), гэта значыць для ylty2^yi мае месца роўнасць У(У]) = У(у2)Сапраўды, няхай у],у2е£1. Згодна з азначэннем існуюць дзве паслядоўнасці {с„}, /„—>+°°, * {^п}’ Т„—>+«>, такія, што x(tn,x°)^ yj, х(Хп,х°)^у2 пры «)+«. Выберам цяпер {/'} з {/„} і {т'} з {т„} такія, што /' < т' X/ п> 1. Тады ў сілу няроўнасці У(х)<0 будзем мець:
у(х(Уп,х0))>у(х(х'п,х°)У
Адсюль пры п —> +<» атрымліваем, што V(yl)>V(y2). Аналагічна, выбіраючы паслядоўнасці {/"} з {/„} і {т"} з {т„} пры ўмове t" > т", знаходзім У(у]) (£>!(|х|),
Ў <0, прычым мноства {х: V = 0} не змяшчае цэлых траекторый сістэмы (17), акрамя пункта х = 0. Тады нулявое рашэнне ўраўнення (17) асімптатычна ўстойлівае.
Заўважым, што прыведзеная тэарэма 7 выконваецца і для перыядычных сістэм (1).
Практыкаванне 1. Паказаць, што тэарэма 7 мае месца, калі патрабаванне існавання функцыі <0/(Ы) і няроўнасці
V(х) > (S3і^\х\) замяніць умовамі V(x)>0 для ўсіх V(0) — 0, пры гэтым астатнія ўмовы тэарэмы не мяняюцца.
Адзначым, што калі ўраўненне У) nPbI bc<0 з’яўляецца знакавызначанай, яе вытворная мае выгляд —— = асх + bdy .
dt
Калі a <0, d <0, be <0, to выконваюцца ўмовы тэарэмы Ляпунова аб устойлівасці (гл. тэарэму 2). Таму пры такіх значэннях параметраў a,b,c,d нулявое рашэнне дадзенай сістэмы ўраўненняў устойлівае.
Прыклад 2. Даследаваць на ўстойлівасць нулявое рашэнне сістэмы х = у^ + х5, ў = х3 + у3 .
Рашэнне. Функцыя Y = х4 у4 задавальняе ўмовам тэарэ
330
Wav 8 8
* ~dt~ = 4(x ~У ) ~ дадатна вызначаная функцыя ў абсягу |х| > |у|. У сілу гэтай тэарэмы нулявое рашэнне дадзенай сістэмы няўстойлівае.
Прыклад 3. Даследаваць на ўстойлівасць ураўненне ваганняў матэрыяльнага пункта пад уздзеяннем нелінейнай аднаўляльнай сілы f(x)y асяроддзі, супраціўленне якой нелінейна залежыць ад скорасці х.
x + (p(x) + f (х) = 0, q(0) = f (0) = 0. (18)
Рашэнне. Запішам ураўненне (18) у выглядзе сістэмы х = у, ў = f (x)ty(y). Функцыю V(x,y) будзем адшукваць у выглядзе V(x,y)=A(x) + B(y). Вылічым вытворную гэтай функцыі па часу,
складзеную ў сілу атрыманай сістэмы. Будзем мець dV dA dB,	х
dA dB	У	f (x)