КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

Атрымліваем схему размяшчэння траекторый тыпу той, што адлюстравана на мал. 3.8.1, 3.8.2.
Гэтая схема для разглядаемай сістэмы ў дастаткова малым наваколлі пачатку каардынат пападае пад уздзеянне аналітычнага пераўтварэння, блізкага да афіннага. Пры гэтым каардынатныя восі пяройдуць у крывыя X] =($]((),у2), х2 — У2+ ty2(0,y2) і X/=yj + + Уі(У]>0)’ х2 = ^>2(у/,0), лзе У/,у2 разглядаюцца як параметры, што мяняюцца ў некаторым наваколлі нулявога пункта. Першая з гэтых траекторый пачаткам каардынат разбіваецца на дзве паўтраекторыі, а ўсе астатнія ў пачатку каардынат маюць агульную датычную з другой траекторыяй, якая ў сваю чаргу складаецца з паўтраекторый толькі пры a = 0. Такое размяшчэнне траекторый таксама называецца вузлом.
2 . Судачыненні (67) у залежнасці ад тыпу ліку — будуць парознаму вызначаць рэзанансныя каэфіцыенты q/,q2. Так, калі
295
— будзе ірацыянальным лікам, тады (67) не мае рашэнняў, гэта
значыць нармальная форма лінейная
Ў1=^1У1> Ў2=^2У2	(7°)
^2	Р2	Р2
Калі ж — = — —, дзе —нескарачальны дроб, то пры і — 1 з (67) ^і	Рі	Р/
атрымліваем q t 1 — q2 — = 0, адкуль = —. Значыць, пры
Р1	ЧіI Р2
і — 1 маем qj — 1 = 1р2, Я2~^Р1< l^N. Такім чынам, пры рацыя
нальным — нармальная форма мае выгляд
У/^^/У/+У/ХЬ/(урУ2')'’
'='	;	(71)
Ў2 =^2У2+У2НаІ (У12 У^ /■
1=1
3 формул (70) і (71), калі рад у правай частцы збежны, можна заключыць, што размяшчэнне траекторый мае тып сядла. Але ў гэтым выпадку не заўсёды можна апісаць паводзіны траекторый сістэмы (54), таму што пераўтварэнне да нармальнай формы можа быць разбежным у любы.м наваколлі пачатку каардынат. Але, калі гэтае наваколле дастаткова малое, можна іншымі метадамі сцвярджаць (гл. главу V), што сядлу ў лінейнай сістэме адпавядае сядло ў нелінейнай сістэме.
3° . Разгледзім выпадак, калі ^=0 + ^, Х2=аф, а/0, р>0.
Прыводзячы матрыцу А да жарданавай формы J (гл. § 3.3., п. 2°), атрымаем сістэму
хІ = (а + ф)хІ + ХІ(хІ,х2), х2=(аі$)х2 + X2(xhx2),
296
дзезменныя xt і х2 камплекснаспалучаныя, х2 =Xj. Таму і X2Xh гэта значыць, калі
х,= j x^’W.
41+42=2
TO
r V y^i 42)
л 2 —	/ < л 1 x2 ’
41+42=2
або X2 атрымліваецца з X] заменай каэфіцыентаў раскладання на спалучаныя, х2 на Xj, х1 на х2.
Нармальная форма сістэмы (72), згодна з (67), будзе лінейнай
Ўі=(а + і^)Уі, Ў2 =(a ф)у2 .	(73)
Разгледзім стандартнае нармалізуючае пераўтварэнне Хі=Уі+^і(Уі>У2)’
*2 =У2+У2(У1’У2)
Практыкаванне 1. Паказаць, што пераўтварэнне (74) будзе збежным (гл. [27], глава VIII, § 4, с. 264).
Пакажам, што h2 =h], У дадзеных умовах судачыненне (59) прыме выгляд
Эф,	Эф
fa + І^)У1 + 3— (a$)У2 ^J^j = Х2(У1+Ч>1У2 + Ч>2)’№ ОУі	°У2
j = l,2
У сілу таго, што Х2 = X/, члены другога парадку ў фу будуць камплексна спалучанымі, ф^ = Ф/ ^ Няхай да членаў парадку, меншага за к, ^2 = ^,. Тады гэтая ўласцівасць мае месца і для членаў парадку к. Сапраўды, з (75) маем
(a + і^)у] + уfa ф)у2 (a + і&^ =
дуі	dy2
10а Зак. 970
297
= {^і(Уі+^>і.У2+^2)}(к)	(76)
Падставім рысу над усімі членамі гэтай роўнасці. Атрымаем, што ф/*^ задавальняе таму ж ураўненню, што і ф^\ зза таго, што правая частка (76) залежыць ад (р^, ф^, для якіх s то’ пераходзячы да сапраўдных i ўяўных частак, з (74) атрымаем ul =u2+wl(u2,v2),v] =v2+w2(u2,v2), дзе wt,w2 сапраўдныя збежныя рады. Як вядома (гл. § 3.8), у плоскасці Ou2v2 мае месца фокус. Такім чынам, і для зыходнай сістэмы мае месца фокус.
4°. Няхай цяпер Ху=/р, 12=/р, Р > 0. У сілу таго, што рэзанансныя судачыненні (65) маюць выгляд
(Чі~ Ч2 ~ МР = 0, (qtq2 + 1)ф = 0, нармальная форма сістэмы (72) запішацца так Ўі=ФУі+УіРі(УіУ2)~
z і	(77)
У2=1РУ2+У2Р2(У1У2)’
оо
дзе pj=Xpjl>(У1У2Л j=^1=1
Пакажам, што ф, = ф,, Р2 = Р/.
У зададзеных умовах судачыненне (59) прыме выгляд Эф.	Эф,
+у,р,)^(^у2 +у1Р1)^І = 78) = Х/Уі+Ч>і>У2+Ч>2)У2Р)> J = 7,2.
У сілу таго, што Х2 = Xj, маем ф^ = ф/^. Няхай да членаў парадку, меншага за k,^2 = ^It Р2 = Pt. Тады гэтая ўласцівасць мае месца і для членаў парадку к. Сапраўды, ф^ і Pjk> выражаюцца
298
праз (р^, Pj , у якіх s0, прыме выгляд r = 0,(? = ^ + Q(r2).
Гэта значыць, што ў плоскасці г,ф траекторыямі з’яўляюцца акруж2п
насці r С, рухі па іх перыядычныя з перыядам ——	j". Мяр
Р + Q\ /
куючы, ШТО Xj = U2 +iVj, Х2 = UI ivf, yt = U2 +iv2, у2 = U2 ~iv2, 3 (74) атрымаем, пераходзячы да сапраўдных і ўяўных частак,
UI — u2 + w1(u2’V2)’V1 =V2 + w2(U2,V2),
дзе W],w2 сапраўдныя збежныя рады. Такім чынам, для зыходнай сістэмы мае месца цэнтр. У тым выпадку, калі Q = 0, перыяды ўсіх
2п
рашэнняў будуць аднолькавымі, роўнымі —, а цэнтр называюць ізахронным.
Заўвага 1. Агульны падыход да рашэння праблемы ізахроннасці, заснаваны на прывядзенні сістэмы спецыяльнага віду да нармальнай формы, гл., напрыклад, у [35] главу II, § 13, с. 86.
Юа*
299
Разгледзім алгебраічны выпадак. Замест фармальнага пераўтварэння (74) разгледзім палінаміяльнае пераўтварэнне
Х]=У1+<Р(™+,)(У1>У2)’
*2=У2+У(2*+,)(У1>У2)’
2N+1 дзеф^+/>= X Ч^УІ'УЎ.
Чі+Чі=2
Практыкаванне 3. Паказаць, што пераўтварэнне (79) будзе збежным.
Прымяняючы (79), атрымаем сістэму, якая, як вынікае з (78), супадае з нармальнай формай да членаў, парадку не вышэй за 2N+1. Гэтую сістэму можна запісаць у выглядзе
Ўі = ^Уі + РУ/(УіУ2)' +iyiQ(N) + К'
Ў2 = ~^У2 + РУ2 (У1У2 )Л ^jQ' Л > + Y2
дзе Y2 = Yi* > >х раскладанні пачынаюцца з членаў парадку, не ніжэй за 2^+2, Q{ ^ > атрымліваюцца адкідваннем членаў раскладання па
радку вышэй за N адносна здабытку yty2 . У палярных каардынатах г = рг'^1 У R(r,^),(^ — р + ^'^^'^ + Ф^Ф^Дзе Л,Ф збежныя рады па ступенях г з 2лперыядычнымі па ф каэфіцыентамі
парадку не ніжэй за 2N+2 і 2N+1 адпаведна. Пры дастаткова малых
г маем
М^\р\г2^'
, а гэта значыць, што пры такіх г мае месца
dr	dr
няроўнасць — < 0 пры р <0 і — > 0 пры р> 0. А. гэта, згодна з
§	3.8, адпавядае фокусу устойліваму пры р <0 '\ няўстойліваму пры р> 0.
Такім чынам, для вызначэння наяўнасці фокуса дастаткова з дапамогай (74) прывесці разглядаемую сістэму да нармальнай
300
формы (77) да першага члена раскладання, каэфіцыент якога не будзе з’яўляцца чыста ўяўным лікам.
Прыклад 2. Разгледзім сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў
хІ = X] +х2,
х2 = 2X] х2 XjX2 х^.
У каардынатах Z],z2, якія адпавядаюць сапраўднай жарданавай матрыцы каэфіцыентаў лінейнага набліжэння, гэтая сістэма мае выгляд
z/ =Z2^(Zj ~Z2)2(Zj +z2),
1
^2 — Z1 ~ 2^ZI ~ Z2^ (Zl+Z2/
Пераходзячы да камплексна спалучаных зменных па формулах yl = z, +iz2, у2 =Zj iz2, атрымаем сістэму , другое ўраўненне якой з'яўляецца камплексна спалучаным у адносінах да першага. Таму, можна абмежавацца першым ураўненнем. Яно мае выгляд
Ўі =ІУ1~^[W + У1У2) + ^Уі + У1У2 )]•
У гэтым ураўненні з дапамогай палінаміяльнага пераўтварэння у, =Uj+q3(ul,u2), у2 = u2 +^3 (U),u2), дзе ф5 аднародны паліном трэцяга парадку, можна знішчыць усе члены трэцяга парадку, акрамя рэзананснага, які пры гэтым не зменіцца. Такім чы
7
нам, р = —— . Mae месца ўстойлівы фокус.
Варыянты заданняў для самастойнай працы
I.	1. Праверыць, ці з’яўляюцца першымі інтэграламі сістэмы Х/=Х2,Х2=Х/ функцыі \\f j = X! COS t х2 sin t, \\f2=XjX2, \\f3 = X/ sin t + x2 cos t, \ц4 = x2 — x2.
301
2.	Праінтэграваць сістэму, пабудаваўшы інтэгруемыя камбінацыі: х2 •	хі
X ,=г, X ,=7.
(х2 — Хі) (x2 — Xj) dr	, dip
3.	Даследаваць, ці мае сістэма — = г(1 г) , — = 1 лімітавыя dt	dt
цыклы.
дх
4.	Знайсці вытворную па параметры — ад рашэння ўраўнення ц=/
хх = (х + 1)2 цх2,х(0) = ~, х(0) = 1.
dx dy dz
5.	Рашыць сістэму ўраўненняў==.
x(yz) y(zx)	z(xy)
II.	1. Рашыць сістэму ўраўненняў х = —, ў = Зх + —у.
дх
2.	Знайсці вытворную па пачатковых дадзеных ——	ад рашэн
ду0 v"=^
У<і=*
няўзадачы х = xy + t2,2ў = у2,х(1)х0,у(1) = у0.
3.	Праверыць, ці з’яўляюцца функцыі \yl=(xl+x2)t ~t
\Ц2 = (xt + 2x2)t4 ~ — t5~t6 першымі інтэграламі сістэмы
2	2	15
хі=хі+~х2 + ^ х2=~хіх2+і
4.	Знайсці перыядычныя рашэнні ўраўнення х + Зх = 2[1 cos t.
5.	Пабудаваць фазавыя крывыя сістэмы ўраўненняў Х]=х>, х2 = 2х2.
302
dx 2	■ dy
III.	1. Знайсці першы інтэграл сістэмы ~ — ~у +sinx, — = at	at
= ycos x.
2.	Праверыць, ці стварае пара функцый Vf) х + у +1, у 2 = х~ + + у2 + Г сістэму незалежных інтэгралаў для сістэмы дыферэнdx	ty dy	xt
цыяльных ураўненняў — =, — =.
dt	ух dt ух
3.	Начарціць на фазавай плоскасці траекторыі сістэмы dr	ld^
— = rsin—, —1. dt	r dt
dx
4.	Знайсці вытворную па параметры — ад рашэння ўраўнення ц=0
dX ?	;
— = x^+\atx , х(0) = 1 + ц.
2
5.	Знайсці тры члены раскладання рашэння ўраўнення х = — 5\lt, х(1) = 2 па ступенях малога параметра |1.
dx	У dy	х
IV.	1. Рашыць сістэму ўраўненняў — = —, — = —. dt	t dt	t
xy tx
2.	Праверыць, ці стварае пара функцый
сістэму незалежных інтэгралаў для сістэмы дыферэнцыяльных dx	t + у dy	t + х
ураўненняў — =, ~ =.
dt	х + у dt	х + у
303
3.	Знайсці — для рашэння задачы х = ——,х(1) = 1, до ь=і	і х
х(1) = Ь.
dr	dtp
4.	Пры якіх умовах сістэма — = f (г), — = 1, дзе функцыя f (г) at	at
непарыўная, мае лімітавы цыкл ?
5.	3 дапамогай метаду малога параметра прыблізна знайсці перыядычнае рашэнне ўраўнення х + х = [і(х х2 ).
V.
dx 2
1.	Рашыць сістэму ўраўненняў — = х~у, dt
dy У
— = —Ху dt t
dr	dtp
2.	Даследаваць, ці мае лімітавы цыкл сістэма— = г(1г)‘, — = 1. dt	dt
3.	Знайсці тры члены раскладання рашэння па ступенях малога параметра ўраўнення tx = [It2 + 1п х, х(1) = 1.