Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
дх 2 3
4. Знайсці —— ад рашэння ўраўнення х = х + х + tx ,
°хо х о
х(2) = х0.
dx 2 2 dy
5. Для сістэмы ~ = х у — = 2ху, х( 1) =1, у(1) = 0 знайat at
сці pyx, які задавальняе зададзеным пачатковым умовам, і даследаваць, ці будзе гэты рух доўжаным на ўсе °о < / < +°°.
dx 2 2
VI. 1. Рашыць сістэму ўраўненняў ~Г — у + (1ху )х, dt
^ = х + (1х2у2)у. at
304
2. Паказаць, што функцыя V = “ — х]> вызначаная ў абсягу
G = {(t,X],x2):t *О,°° < Х],х2 < +»}, з’яўляецца інтэгралам dxt Xj dx2 х2
сістэмы ўраўненняў —= —, ~—= х,Н , калі агульнае dt t dt t
рашэнне сістэмы мае выгляд Xj = C]t, х2 = CtV + C2t.
дх
3. Знайсці вытворную — па параметры ад рашэння ўраўнення ц=0
X = x + n(t + х2), х(0) = 1.
4. Знайсці прыблізна перыядычныя рашэнні з перыядам, роўным перыяду правай часткі ўраўнення х + 5х = cos 2t + рх'.
dx ■, , dy
5. Для сістэмы — = —х +у , — =2ху;х = 0, ўёяя^ пры t = 0 dt dt
знайсці рашэнне задачы Кашы і даследаваць, ці з’яўляецца яно доўжаным на ўсю вось °о < ^ < +«.
dx dy
VII. 1. Рашыць сістэму ўраўненняў — = уz, ^ = х + у +1, dt dt
dz
— = X + z + t. dt
2. Праверыць, ці з’яўляюцца функцыі X^f / — x + y — t, xy2=x+y + t dx y + t dy xt першымі інтэграламі сістэмы — =, — =.
dt x + y dt x + y
2
3. Знайсці тры члены раскладання рашэння ўраўнення х = — 5)1/, х(1) = 2 па ступенях малога параметра |1 .
4. Вызначыць прыблізна перыядычнае рашэнне ўраўнення х + Зх = = cos t + [іх2 ,[і малы параметр.
305
5. Карыстаючыся метадам Пікара, знайсці рашэнне задачы Кашы для сістэмы х = х\у 12, ў х2 + 2t е2', х(0) — 1, у(0) = 0.
VIII. 1. Праінтэграваць сістэму, пабудаваўшы інтэгравальную камбінацыю X] = sin X/Cos х2, х2 = cos хІ sin х2.
2. Праверыць, ці мае лімітавы цыкл сістэма ўраўненняў х = ух + х3, ў — х — у + у3. Схематычна начарціць паводзіны фазавых крывых.
3. Праверыць, ці з’яўляецца функцыя \ўх1х2е~' першым інтэгра
. хі ■
лам сістэмы х; =—, х2=х2Х/.
Х2
4. Метадам Пікара знайсці рашэнне задачы Кашы і = л + у + + cos t sin t 1, ў = х2 + cos t, x(0) = 0, y(0) = 0.
5. 3 дапамогай метаду малога параметра знайсці прыблізна перыядычныя рашэнні ўраўнення х + х = Ц/х х5 ).
IX. I. Рашыць сістэму ўраўненняў X/ =е Х: ,х2=е х'. dx
2. Пабудаваць фазавыя крывыя сістэмы ўраўненняў — = ау, dt
3. Знайсці вытворную па параметры
дх
Эц
ад рашэння ўраў
нення — = — + ^іс ', х(1 ) = 1. dt t
4. Знайсці прыблізна перыядычныя рашэнні з перыядам, роўным перыяду правай часткі ўраўнення х + х* = 1 + [isin t.
306
5. Метадам Пікара знайсці рашэнне задачы Кашы х = х2 хх + е', х(0) = 1, х(0) = 1.
X. 1. Рашыць сістэму ўраўненняў х = 2tx“, ў =.
2. Метадам Пікара знайсці рашэнне задачы Кашы х = х2+х2sin t1, х(0) = 0, х(0) = 1.
3. Праверыць, ці з’яўляюцца функцыі ф7 = х2 + х2, у2 = хІе~2,+ + е~' ,у3 = х2е3' Зе3' першымі інтэграламі сістэмы х; = 2xt + + е', х2 = Зх2 +1.
4. Даказаць, што існуе адзінае рашэнне сістэмы xtx = x2, 2ty .
у = ~і праінтэграваць яе.
' ~У
5. Знайсці тры члены раскладання рашэння ўраўнення х = ех~' + + Цх, х(О) = ^. па ступенях малога параметра ц .
XI. 1. Рашыць сістэму ўраўненняў х = х + у, 2хў = у2 — х2 +1.
2. Пабудаваць фазавыя крывыя сістэмы ўраўненняў х = х2, ў = ау.
3. Знайсці прыблізна перыядычныя рашэнні ўраўнення х + х = = [1(хх3).
4. Прывесці да нармальнай наступную сістэму ўраўненняў d2х , dy
~7Т = У’ t3 у2х = 0.
dr dt
5. Знайсці вытворную па параметры — ад рашэння сістэмы ц=0
хх + у,ў = 2х + |1у2; х(0) = 1 + ц,у(0) = 2.
307
XII. 1. Праверыць, ці з’яўляюцца першымі інтэграламі сістэмы
t t
X] = —, х2 =—
х2 хі
t2 функцыі \f/=XlX2, У2=ІПХ2+~
ZXjX 2
Праінтэграваць сістэму.
2. Знайсці метадам Пікара другое набліжэнне да рашэння, што задавальняе дадзеным пачатковым умовам: х + хх х2 +1 = 0, \t\ < 1, \х\ < 1, \х\ < 1; х = 1, х = 2 пры t = 0.
3. Прывесці сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў да нармальнай формы: ху = 0, t3y2х = 0.
4. Знайсці тры члены раскладання рашэння па ступенях малога параметра ц: х = —^х~, х(1) = 1 + 3\х
5. Знайсці прыблізна перыядычныя рашэнні ўраўнення х + sin х = = Ц sin 2t.
XIII. 1. Праінтэграваць сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў
2. Ацаніць, на колькі можа змяніцца пры 0 0 пры у>0, F(y)<0 пры у<0, не можа мець лімітавых цыклаў на фазавай плоскасці.
2. Праверыць, ці з’яўляюцца першымі інтэграламі сістэмы
2 % 2 2 • XjX2
^=1^2, Х2=уХ/І2 функцыі V/ \f2Xle .
3. Праінтэграваць сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў у + ех у2е,+х
х =, ў = —.
у+е у+е
309
4. Прывесці дыферэнцыяльнае ўраўненне —г + к~х = О да адпаdt
веднай сістэмы ў нармальнай форме.
5. Знайсці прыблізна 2дперыядычнае рашэнне ўраўнення х+СГх =
= Xsin t + цуг5, ц малы параметр.
ГЛАВА V
УСТОЙЛІВАСЦЬ ДЫНАМІЧНЫХ СІСТЭМ
§ 1. Асноўныя азначэнні тэорыі ўстойлівасці
Сістэмы звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў апісваюць работу вельмі многіх машын, прыбораў і да т.п. Такія сістэмы маюць заўсёды бясконцае мноства рашэнняў. Каб задаць адно з гэтых рашэнняў, патрэбна ўказаць яго пачатковыя значэнні, якія на практыцы звычайна з’яўляюцца вынікамі вымярэнняў і таму непазбежна атрыманы з некаторай хібнасцю.
Калі дастаткова малыя змяненні пачатковых дадзеных могуць моцна змяніць рашэнне, то рашэнне, якое вызначаецца такімі недакладнымі пачатковымі дадзенымі, звычайна нават прыблізна не можа апісваць работу таго ці іншага прыбора. Такім чынам, узнікае важная для прыкладанняў задача аб знаходжанні ўмоў, пры якіх дастаткова малое змяненне пачатковых значэнняў выклікае як патрэбна малое змяненне рашэння.
3 тэарэмы 4.7 аб непарыўнай залежнасці рашэння ад пачатковых значэнняў вядома, што калі задаць вызначаны канечны прамежак часу, то пры дастаткова малым змяненні пачатковых значэнняў рашэнне зменіцца мала на ўсім зададзеным прамежку часу. Калі ж час задаецца нявызначана вялікім адрэзкам, то пастаўленым пытаннем займаецца тэорыя ўстойлівасці.
Фундаментальныя рэзультаты тэорыі ўстойлівасці належаць вядомаму рускаму матэматыку А.М.Ляпунову.
Будзем разглядаць сістэму ўраўненняў
x(t) = f{t,x(t)), (1)
дзе х = colon (Х],...,хп) & Rn шуканая функцыя незалежнай зменнай / .
Няхай для (1) зададзены пачатковыя ўмовы
x(t0) = x°, (2)
дзе х° = colon (х^,...,х^).
311
Увядзём наступныя абазначэнні. Праз DH абазначым шар
радыуса Н з цэнтрам у пачатку каардынат у эўклідавай прасторы
Rn
з
нормай |х|
1
. Праз I абазначым інтэрвал сапраўд
най восі віду I = {а 0.
Пры гэтых умовах выконваюцца тэарэмы існавання, адзінасці і непарыўнай залежнасці на канечным інтэрвале рашэння х(t,t0,x°) задачы (1), (2) ад пачатковых умоў t0 е I і х° e DH (гл. главу IV).
У тэорыі ўстойлівасці Ляпунова даследуецца на ўстойлівасць якоенебудзь адно рашэнне.Няхай y(t) = tyft.to.ty0) рашэнне задачы (1), (2) ((p(t0) = (р°), доўжанае ўправа да бясконцасці, гэта значыць ^(t) існуе на мностве [^;°°)> прычым ty(t)&DH пры
t0 0 такі, што ўсе рашэнні x(t) = x(t,t0,х°) задачы(І), (2) бясконца доўжаныя ўправа, як толькі |х° ф°| ^б^Е,^^, і для гэтых рашэнняў мае месца няроўнасць
\x(t,t0,x° )^(t,t0^° \<г, t00(£<Н) знойдзецца §(£,to)>O такі, што няроўнасць \x(t,tn,x° )\< £
выконваецца пры ўсіх t >t0, як толькі |х°| < 5( £,t0 ) (мал. 2).
Азначэнне 3. Нулявое рашэнне x(t ) = 0 называецца няўстойлівым па Ляпунову, калі для некаторага £>0 (£<Н) і любога 5>0 знойдуцца рашэнне x(t,t0,x°) і момант часу t] > t0 такія, што \x(t],t0,x<> )\ > £ , хоць |х°| < 5 (мал. 3).
Узмацненнем паняцця ўстойлівасці з’яўляецца ўстойлівасць, раўнамерная па пачатковаму моманту часу.
313
Азначэнне 4. Рашэнне x(t) = O называецца раўнамерна ўстойлівым па t0 {t0 G /), калі для любога £ (0 < £ < Н) знойдзецца такі §(£)> 0, незалежны ад t0, што \x(t,t0,x°^t0 (t0 g/), як ТОЛЬКІ Ix^kSfe/
Прыклад 1. Вызначыць устойлівасць нулявога рашэння ўраўнення
КНІГІ ОНЛАЙН
