Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
Задача даследавання лімітавых тораў аналітычнымі сродкамі ўскладняецца. У прыватнасці, у п мернай прасторы прынцып кольца выкарыстоўваецца эфектыўна толькі ў асобных выпадках.
Больш падрабязна аб лімітавых цыклах гл.[9], глава VII, §§ 5355, с.218; [26], глава V, § 28, с. 224; [18], глава IV, §3, с. 139; [33], глава III, § 21, с. 210 і інш.
Прыклад 1. Ці будзе мець лімітавы цыкл сістэма ўраўненняў
Рашэнне. Няхай colon [x(t),y(t)) рашэнне дадзенай сістэмы ўраўненняў. Тады
d / 7 \ dx dy s
T{x(t) + y‘(t)) = 2x — + 2y— = 2x(yx + x3) + at at at
+ 2y(x y + y3) = 2(x2 +y2) + 2(x4+ y4).
Калі фазавы пункт (x(t),y(t)^ знаходзіцца на акружнасці радыуса г. гэта значыць х = r cos ^, у = r sin ф , то
~[х2(t) + у2(t)) = 2r2 + 2r4 (cos4 q> + sin4 q) =
= 2r2^l r2(cos4 ф + sin4 фj).
7 4 4
У сілу таго, што — < cos ty + sin ф < 7, пры r < 1 маем
~(x2(t) + y2(t)] = 2r2(lr2(cos4 ф + sin4 ф>) < 2r2(1r2)< 0,
a пры r>y2
атрымаем
^(x2(t) + y2(t))>0. dt
Адкуль, y сілу
прынцыпу кольца, вынікае, што ў кольцы 1 < х2 + у' <2 ёсць лімітавы цыкл, таму што праз акружнасці х2 + у2 1 і х2 + у2 = 2 рашэнні зыходнай сістэмы выходзяць з гэтага кольца.
280
Прыклад 2. Даследаваць фазавыя крывыя сістэмы ўраўненdx 7 2 2 ^У 2 \
няў — = ху + х(х +у ), — = ху+у(х + у ). at at
Рашэнне. Пяройдзем да палярнай сістэмы каардынат х = р cos tp, у = р sin (р. Будзем мець
dp dtp ,
—cos ф psin tp—= pros (p psin (p + p cos 7 і ўбывае пры 0 <р< 1. Таму зыходная сістэма, акрамя становішча раўнавагі 0(0,0), мае няўстойлівы лімітавы цыкл акружнасць адзінкавага радыуса з цэнтрам у пачатку каардынат.
§ 9. Першыя інтэгралы
Разгледзім сістэму ўраўненняў ў нармальнай форме Xi=fi(t'XixJ (49)
дзе / : G ^ Л, Ga R^‘, і = Тп.
Будзем меркаваць спачатку, што ў абсягу G выкананы ўмовы тэарэм існавання і адзінасці рашэння. Значыць, калі пункт з
281
каардынатамі t0,x° належыць абсягу G, то ў наваколлі гэтага пункта існуе адно і толькі адно рашэнне сістэмы (49), якое задавальняе пачатковай умове х, = xf пры t = t0, і~ 1,п. Дапусцім, што гэтае рашэнне мае выгляд
хі = (^^l.t^x^ ,х°2,...,х^ ), і = 1,п. (50) У формулах (50) указана залежнасць рашэння ад пачатковых дадзеных (t0 ,Xj ,х2 ,...,хп), якія, як параметры, могуць прымаць розныя значэнні. Прычым, калі выкананы ўмовы тэарэмы 9, то правыя часткі (50) дапускаюць непарыўныя вытворныя па t0,x^ ,х2 ,...,х^.
Разгледзім у абсягу G разам з пачатковым пунктам (t0,x^ ,х2 .....х^) і некаторы пункт (/,х7<...,хл), які ляжыць на інтэгральнай крывой, якая праходзіць праз дадзены пачатковы пункт. Значэнні t0,x°] ,х°2,...,х°п, з аднаго боку, і значэнні t,xl,...,xn, з другога боку , звязаны судачыненнямі (50). Калі цяпер прыняць пункт (t,Xj,...,хп) за пачатковы, то, у сілу ўласцівасці адзінасці, інтэгральная крывая, вызначаная гэтымі пачатковымі значэннямі, пройдзе праз пункт (t0,x^,х2 ,...,х^), прычым, відавочна, будуць мець месца судачыненні
х? =Wi(to’t>Xi,x2,...,xn), і = 1,п. (51) Апошнія формулы паказваюць, што сістэма ўраўненняў (50) можа быць адназначна вырашана адносна пачатковых значэнняў X/ ,х2 ,...,х^ у некаторым наваколлі пункта (сх7,...,х„)з абсягу G, прычым правыя часткі (51) дапускаюць непарыўныя частковыя вытворныя па t,X],x2,...,xn.
Мяняючы пачатковыя значэнні х^,х2 ,...,х^ на адвольныя пастаянныя С1,С2,...,Сп і надаючы параметру t0 вызначанае лікавае значэнне ў (51), атрымаем сукупнасць роўнасцяў
yi(t,xl,x2,...,xn) = Ci, і = 1,п. (52)
282
Кожную з роўнасцяў (52) называюць першым інтэгралам сістэмы.
У сілу таго, што прыведзенае азначэнне першага інтэграла прымяняецца да ўсёй сістэмы суадносін (52), дадзім іншае строгае азначэнне, якое характарызуе кожны першы інтэграл паасобку. Далей толькі мяркуем, што пры любых пачатковых умовах (/0,x°)gG сістэма (49) мае рашэнне (не абавязкова адзінае) X/ = xI(t),...,xn = xn(t) ,такое, што х,^) = х°,...,хп(іп) = х°п .
Дыферэнцавальная функцыя \j(t,xl,...,xn), якая адрозніваецца ад пастаяннай на любым непустым падабсягу абсягу G, называецца першым інтэгралам сістэмы (49), калі яна захоўвае пастаяннае значэнне ўздоўж рашэнняў гэтай сістэмы. Іншымі словамі, для любога рашэння x,(t),...,xn(t) сістэмы (49)
\l(t,x](t),...,xn(t))=C.
Адзначым, што тут тэрміналогія тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў некалькі супярэчлівая. Так, тэрмін «інтэграл» выкарыстоўваюць для абазначэння розных паняццяў. Інтэгралам называюць рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення. Інтэгралам называюць і агульны інтэграл, а таксама першы інтэграл, хоць у гэтых выпадках гаворка ідзе ўжо не аб адным рашэнні, а аб бясконцых сукупнасцях асобных рашэнняў. Нарэшце, інтэгралам называюць само судачыненне V = С.
Прыклад 1. Паказаць, што сістэма функцый
хІ = ^l(t,Cl,C2) = Cje~‘ + С2е3' ,х2 ^2(t,Cl,C2) = 2С]е~' 2С2е3' з’яўляецца агульным рашэннем сістэмы ўраўненняў
dx, dx2
л=х'^1Г=х^4х'
Рашэнне. Абсяг G тут вызначаецца так: °° < t < °°, — оо < Xj,x2 < оо. Падстаўляючы зададзеныя функцыі xt і х2 у сістэму, атрымліваем з кожнага ўраўнення тоеснасць па /, якая выконваецца пры любых значэннях пастаянных СІ,С2. Пакажам цяпер,
283
што ў абсягу G функцыі X] = tyjft.Cj ,С2), x2=ty2(t,CItC2) Ра’ шаюць любую задачу Кашы. Адзначым, што для дадзенай сістэмы ўраўненняў умовы тэарэм існавання і адзінасці рашэння задачы Кашы выконваюцца ва ўсім абсягу G . Таму ў якасці пачатковых умоў можна ўзяць любую тройку лікаў 10,х^,х2 . Для вызначэння CltC2 атрымаем сістэму х^ = С/С"'0 + С2е3г°, х2 = 2С/е~'0 2С2е3'0. Дэтэрмінант гэтай сістэмы \ = —4е~'0 ФО, гэта значыць, што яна адназначна вырашаецца адносна Ct,C2 пры любых t0,x^,х2 . А гэта раўназначна таму, што вырашальнай з’яўляецца любая задача Кашы. Таму сістэма функцый x/t х2 агульнае рашэнне (гл. § 3.1).
Прыклад 2. Паказаць, што функцыя у(Х],х2) = х3 +х2 з’яўляецца першым інтэгралам сістэмы Xj = х2, х2 = Xj.
Рашэнне. Вырашыўшы дадзеную лінейную аўтаномную сістэму з дапамогай метада выключэння (гл. § 3.2, п. 1°), знаходзім агульнае рашэнне
Xj(t) = С, cos t + C2 sin t, x2(t)C, sin t + C2 cos t.
Вызначым значэнне y(X],x2) уздоўж рашэнняў сістэмы:
Vf Xt,X2 ) = X3 +x2 = (Cj cos t + C2 sin t)‘ +
+ (Cj sin t + C2 cos t)2 = C, + C2 = C.
Таму \f(xltx2) — xj + x2 з’яўляецца першым інтэгралам разглядаемай сістэмы.
;* Mae месца
Тэарэма 12. Функцыя ^^^/.....^„^з’яўляецца першым інтэгралам сістэмы (49) тады і толькі тады, калі выконваецца тоеснасць
Э\|/ ду ді дх]
Эф
(53)
ДЛЯ ўсіх (t,X]
284
Уласцівасць першага інтэграла, апісаную роўнасцю (53), можна сфармуляваць так: вытворная першага інтэграла ператвараецца ў нуль у сілу дадзенай сістэмы дыферэнцыяльных
ураўненняў.
V?
Прыклад 3. Праверыць, ці з’яўляюцца функцыі \fl=t2 У2ху;
2 dx
— xty першымі інтэграламі сістэмы ўраўненняў ~^=~У’
~ = —, у абсягу G = [t, х, y:(t, х, у) е R3, х ^ oj.
Рашэнне. Кожная з дадзеных функцый V/ і У^ непарыўна dy, , dy, дыферэнцавальная. Падлічым вытворныя ^і — у сілу дадзе
най сістэмы ўраўненняў
d\il, dy dx У2 t
— = 2t + 2x^ + 2y— = 2t + 2x+ 2y(y) = 0,
dt dt dt x
d^2 dt
dx ? dy 2 У2
— y2ty^= yy22ty^0.
dt dt x
Такім чынам, функцыя \\lj =t2 +2xy ёсць першы інтэграл зыходнай сістэмы ўраўненняў, а функцыя \|/2 = x — ty2 першым інтэгралам гэтай сістэмы не з’яўляецца.
Першыя інтэгралы \\f,,\\f2,..,^1 т, т<п сістэмы (49) незалежныя на некаторым абсягу G cz Rn+ , калі на G ранг матрыцы Якабі роўны т, гэта значыць (гл. [32], глава XVI, § 82, п. 7, с. 776)
rank dxj дхп = т.
^т Эу«
дхп J
285
Калі \|/ першы інтэграл сістэмы (49) і h дыферэнцавальная функцыя без участкаў пастаянства, то кампазіцыя
$>(t,xI,...,xn) = h{y(t,xI,...,xnj) таксама захоўвае пастаяннае значэнне ўздоўж рашэнняў сістэмы і таму з’яўляецца першым інтэгралам сістэмы. Аналагічна можна пабудаваць першьія інтэгралы H(\\f],\\f>,...,ут), выкарыстоўваючы сукупнасць першых інтэгралаў V/.V?*.^»!
Сукупнасць незалежных першых інтэгралаў \\f/,\\і2,..,\іп сістэмы (49) называецца базісам першых інтэгралаў, калі любы nepmu інтэграл Ф можна падаць у выглядзе Ф =//(i^/,...^,,).
Лёгка ўпэўніцца ў тым, што для існавання ў (49) базіса nepmux інтэгралаў \\f = (\\l, ,\\f 2 ,...,\\f п), непарыўна дыферэнцавальных у наваколлі пункта (t0,x°) & G, неабходна і дастаткова, каб любая задача Кашы х(х) = х° для сістэмы (49) пры (Т,х°), дастаткова блізкіх да (t0,x°), мела ў наваколлі пункта Т адзінае рашэнне, непарыўна дыферэнцавальнае па пачатковых дадзеных. (Больш падрабязна гл. [27], глава V, § 6, п. 2, с. 164; [33], глава III, § 16, с. 177.)
Практыкаванне 1. Даказаць крытэрый існавання базісу nepmux інтэгралаў.
Наяўнасць т(т<п) незалежных першых інтэгралаў сістэмы (49) дазваляе панізіць яе вымернасць на т адзінак. Аднак нельга ўказаць агульнага спосабу знаходжання першых інтэгралаў. Але патрэбна адзначыць, што ў некаторых выпадках удаецца знайсці першы інтэграл шляхам пераўтварэнняў зададзенай сістэмы, у выніку якіх атрымліваецца лёгка інтэгравальнае дыферэнцыяльнае ўраўненне. Усякае такое ўраўненне называюць інтэгравальнай камбінацыяй. Кожная інтэгравальная камбінацыя параджае першы інтэграл. Аднак сярод іх могуць апынуцца і залежныя. Таму кожны раз пры атрыманні новага першага інтэграла патрэбна праверыць, ці будзе ён незалежным з раней знойдзеным.
286
Прыклад 4. Праверыць, што функцыі \f j—tx, \^ 2 = ty + х2 dx х dy 2x2 ty з’яўляюцца першымі інтэграламі сістэмы — = у, —р
у абсягу G = {t, х, у:(і, х, у) & R3, t * о]і ўстанавіць незалежнасць
dVi
гэтых інтэгралаў.
Рашэнне. Праверым выкананне тоеснасці (53): dx
, =t~ + x = x + x = O, dt dt
dy dx 2x~ 2x2
= t — + y + 2x— =y + y~= 0.
dt dt t t
Згодна з тэарэмай 12 функцыі l/; i y2 будуць першымі інтэграламі дадзенай сістэмы.
Каб вызначыць незалежнасць гэтых інтэгралаў, складзём
КНІГІ ОНЛАЙН
