КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

Зусім аналагічна, як і пры доказе тэарэмы 1.2, паказваецца, што задача Кашы (12), (13) эквівалентна сістэме інтэгральных ураўненняў
і
x(t) = х° + ^ f(l,x(T))dx, (14)
гэта значыць, што кожнае рашэнне задачы (12), (13) задавальняе ўраўненню (14), а кожнае непарыўнае на некаторым інтэрвале Д рашэнне ўраўнення (14) з'яўляецца рашэннем задачы (12), (13). Кажуць, што функцыя f (t,x) задавальняе ўмове Ліпшыца па вектарнай зменнай х на мностве G прасторы зменных (t,x), калі існуе такі лік L , што для любых двух пунктаў (t,x) і (t,x) з мноства G выконваецца няроўнасць
|/(tx)/(tx)|< і|хх|. (15) Лік L называецца канстантай Ліпшыца.
Тэарэма 1. Калі функцыя f(t,x) непарыўная на некаторым адкрытым мностве G прасторы зменных (/,х), задавальняе ўмове Ліпшыца па х на любым замкнутым абмежаваным мностве, што змяшчаецца ў G, і існуе рашэнне задачы Кашы (12), (13), то яно адзінае.
Заўважым, што патрабаванне выканання ўмовы Ліпшыца ў любым замкнутым абмежаваным мностве, якое змяшчаецца ў мностве G, можна замяніць больш моцнымі ўмовамі дыферэнцавальнасці функцыі f(t,x) па х на мностве G і абмежаванасці
247
частковых вытворных —— (i,j = l,n) на любон замкнутан абме
жаванай частцы G . Гэтыя ўмовы, у прыватнасці, выконваюцца, калі
Ы —
частковыя вытворныя —— (i,j = l,n) непарыўныя на мностве G. oXj
Сапраўды, калі —— непарыўныя на мностве G, то па тэарэме аб °xj
канечным прыросце (гл. [4], глава V, § 3, с. 224) маем
fi(t.xl,x2,...,xjfi(t,xl,x2,...,xj=^—j (X] Хі)+...+

(хпхп), дзе знак
паказвае, што аргументы Xj
\J — l,n) павінны быць заменены праз Xj=Xj+&(Xj—Xj), 0 < А< 1. У сілу непарыўнасці частковыя вытворныя з’яўляюцца абмежаванымі. Узяўшы за пастаянную L найбольшае значэнне абсалютных велічынь усіх вытворных — у абсягу G , можна з дхі
роўнасці, указанай вышэй, атрымаць умову Ліпшыца (15). Такім чынам, умова Ліпшыца выконваецца пры існаванні і непарыўнасці ў r	fy —
G частковых вытворных ^— (i,j = l,n).
§ 3.	Лакальныя тэарэмы існавання
Разгледзім сістэму (12) з пачатковымі ўмовамі (13). Няхай адрэзак [t0 a;t0 + a] змяшчаецца ў мностве I, а замкнуты шар
248
|х е Rn :\х — х°|< г| належыць абсягу D. У сілу таго, што функцыя f (t,x) непарыўная, яна будзе абмежаванай на мностве
П = |(/,х). |//0| < а, |хх°|<г}, гэта значыць |/(1,х)|< М = const, калі (t,x) ^П.
Няхай для гэтай функцыі выконваецца ўмова Ліпшыца (15) па зменнай х на мностве П, гэта значыць пры любых (й) і (/,х) з П.
Тэарэма 2. Калі функцыя f(t,x) непарыўная на адкрытым мностве G = IX D і задавальняе ўмове Ліпшыца па х на замкнутым мностве П, то задача Кашы (12), (13) мае рашэнне x(t) = x(t,t0,x° ), прычым у абсягу азначэння А гэтага рашэння змяшчаецца адрэзак [/0 h;tn + л], дзе h = min |а,— ’ ■
Метад паслядоўных набліжэнняў Пікара, якім карыстаюцца пры доказе тэарэмы існавання (гл. дадатак, тэарэма 1.2), з’яўляецца добрым набліжаным метадам рашэння задачы Кашы. Паслядоўныя набліжэнні знаходзяцца адначасова для ўсіх шуканых функцый. За набліжэнне нулявога парадку да рашэння сістэмы (12) возьмем х^ з умоў (13), далей набліжэнні першага парадку будуць
x<'>W=x<»'+j/,(t,x<»>,...,x<»’)rfr.
(16)
Відавочна, што пабудаваныя функцыі з’яўляюцца непарыўнымі і не выходзяць з мноства П . Далей вызначым другія набліжэнні
249
^(O^’^f,^!..................J‘>)dx, ............................ (17) x(n2>(t) = x(n0) + \fn(x,x(I/>,...,x(n,))dx
Наогул тя набліжэнні вызначаюцца праз набліжэнні (т1)га парадку такімі формуламі t
x^d) = х"» + \ fl(x,x(lm,),....x(nm,))dx.
........................................... (IS)
x'^d) = x1^ + j f^.x'r'1x'„" /dr.
Відавочна, што тя набліжэнні, як нявызначаныя інтэгралы ад непарыўных функцый, таксама з’яўляюцца непарыўнымі. Можна даказаць (гл. дадатак, тэарэма 4.2), што ўсе паслядоўныя набліжэнні (18) належаць мноству П пры \tt^(t) т—>°°	т—ь<х>
даюць шуканую сістэму рашэнняў дыферэнцыяльнай сістэмы (12) пры пачатковых умовах (13).
Адзначым, што ў якасці нулявога набліжэння не абавязкова патрэбна браць пачатковыя значэнні шуканых функцый. Можна ўзяць любыя непарыўна дыферэнцавальныя функцыі, якія не выходзяць з мноства G пры \tt0\(l) = l + ](2—)dt = l2t—.
1	х4	t4 1 t8
x<22>(t) = 2 + \x3(l2x2—)dx = 2t5—
4	4 5	32
Прыклад 2. Разгледзім сістэму X] = x2 x2xl. Гэтая cicтэма мае адзінае рашэнне, якое задавальняе любым зададзеным пачатковым умовам, прычым гэтае рашэнне будзе вызначана пры ўсіх / . Знойдзем метадам паслядоўных набліжэнняў Пікара рашэнне, якое задавальняе пачатковым умовам х^О) — !, х2(0) = 0. Адпаведная сістэма інтэгральных ураўненняў будзе мець выгляд t	t
X/ = 1 \ x2dx, х2 = ^ x,dx. о	о
Будуем паслядоўныя набліжэнні:
^(t)^!,	x^>(t) = 0;
x^ft^ljodx^l; о
x(2,)(t) = \ldx = t; o
251
x(2)(t) = l\xdx = 1—; x22)(t) = ^ldx = t;
o	2	o
1	t2	1	x2	t3
x^3)(t) = ljxdx = l—; x(23)(t) = \(l—)dx = t—;
0	2	0	Z
t2 t4	t3
^^T'+Tr	^^ = (~^
t2 t4	t3 t5
X1 (t)=1^+T>;	^^T^
Паслядоўнасці x^ft),x^ft),x(2>(t),...;x2ll>(t),x2,'l(t),x22)(t),... збягаюцца пры ўсіх t. Лімітавыя функцыі X/(t) = cos t, x2(t) — = sin t утвараюць шуканае рашэнне.
Адзначым, што прыведзеная тэарэма 2 носіць лакальны характар: існаванне рашэння гарантуецца толькі на малым інтэрвале |1 1J < й.
Заўвага. Пры выкананні ўмовы тэарэмы 2 з § 1 вынікае, што ва ўказаным наваколлі пункта t0 існуе адзінае рашэнне задачы Кашы (12), (13). Тым не менш, для лакальнага адназначнага рашэння задачы Кашы не абавязкова, каб функцыя / была ліпшыцавай.
Тэарэма Осгуда. Няхай функцыя f, непарыўная ў абсягу G, задавальняе няроўнасці
\f (t,x)~ f (і,х)\<ф(\хх\) ^(t ,x\(f ,х} е G,
дзе функцыя Ф непарыўная, Ф<й)> 0 пры й> 0 і

Тады для любога пункта (t0,x°^e G задачу Кашы (12), (13) можна
вырашыць адназначна на некаторым адрэзку ро h;t0
Калі патрэбна ўстанавіць толькі існаванне рашэння задачы
252
Кашы, то абмежаванні на функцыю / можна істотна аслабіць.
Тэарэма Пеано. Няхай функцыя / непарыўная ў абсягу G і пункт [t0,x°) & G. Тады задача Кашы (12), (13) мае рашэнне, вызначанае, прынамсі, на некаторым адрэзку [t0 h;t0 + h].
Доказ тэарэм Осгуда і Пеано гл., напрыклад, у [47], глава VI, § 15, с. 113; § 16, с. 121.
Для нармальнай сістэмы лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў
х = A(t)x + f (t),
у якой матрыца A(t) \ вектарфункцыя f (t) непарыўныя на некаторым адрэзку [a;b], паслядоўныя набліжэнні
x°(t) = x0, xk+1(t) = x° +\[A(x)xk(T) + f(x)]dx (к = 0,1,..:) 'о
раўнамерна збягаюцца на ўсім адрэзку [a;b].
Сапраўды, з непарыўнасці матрыцы A(t) і вектарфункцыі f (t) вынікае, што існуюць такія дадатныя лікі A \ В, што
\\л(іЛ<А. \x'(t)x‘(t)\0
запаўняе адрэзак t = 0,1 <х< 1, што ляжыць на граніцы Г. Можа яшчэ сустрэцца магчымасць, калі lim y(t) = °°. Так, для ўраўнення
х = х2 рашэнне задачы Кашы x(t0) = x0 пры х0 ^Омае выгляд хо
x(t) =. Калі ь>0,то гэтае рашэнне ператвараецца ў
lxo(‘to)
1 бясконцасць пры t=t0+—.
На падставе ўсяго сказанага вышэй лагічна сфармуляваць наступнае
Сцвярджэнне 1. Для таго, каб рашэнне x = ^(t), вызначанае на інтэрвале A = (a;b)c I сістэмы (12), было доўжаным управа, неабходна і дастаткова, каб існаваў ліміт litn ф^) = 5 і пры гэтым (b,$)eG. t^>b0
Заўважым, што з прыведзенага вышэй азначэння працягу рашэння вынікае, што рашэнне ф, вызначанае на Д = (a:b) с I, будзе доўжаным управа, за пункт b, калі існуе рашэнне ф , вызначанае на ^і = (а;Ь^с. I, Ь, > b, звужэнне якога на (а;Ь) супадае з ф.