КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

зададзеным на ёй параметрам t будзем называць траекторыяй.
3 дапамогай лінейнага неасаблівага пераўтварэння х = Ту прывядзём сістэму (55) да віду
Ў = dy,	(56)
дзе J жарданава форма матрыцы А.
У залежнасці ад выгляду ўласных лікаў будуць мець месца розныя выпадкі:
1° .Х/Д, сапраўдныя, розныя і ХД2 > 0 .У сілу таго, што ў гэтым выпадку J = diag(kl,‘k2), параметрычныя ўраўненні траекторыі будуць мець выгляд
Уі = С^1', у2 = С2е^2‘ ,teR,	(56’)
Cj,C2 адвольныя пастаянныя. Каардынатныя паўвосі з’яўляюцца траекторыямі, што адпавядаюць С/ = 0 або С2 = 0. Пры С, ^ 0 і
С2 & 0 маем
He парушаючы агульнасці, будзем лічыць
Ы<Ы	<57)
Калі к] <0,)^ <0 ,то, згодна з (57), ^7 > Х2. Пры С2 > 0 і С2 > 0 маем (гл. (56'))
у, —>0, у2 ^ 0, калі t 4 +<»
У/ —> 400, у2 —> 400, калі / —> оо.
Такім чынам, пры t 4 4°° траекторыя «ўваходзіць» у пачатак
208
каардынат і ў ліміце датыкаецца восі У/, оо — —» У, а пры t —» °° Уі
аддаляецца ад пачатку каардынат, застаючыся ў першым квадранце сістэмы каардынат У],У2Схематычнае размяшчэнне траекторый пададзена на мал. 1 (стрэлкі паказваюць напрамак руху пункта па траекторыі пры ўзрастанні параметру t). Такое размяшчэнне траекторый паблізу х = 0 называецца ўстойлівым вузлом.’)
Кал і ж X; > 0,Х 2 > ^ > тады X; < X,. Пры С/ > 0 і С2 > 0
У	]*0,	У2^0 , калі (>«,
У	/ ^ +°°, У2 —> +°°, калі / —> +«>.
Размяшчэнне траекторый застаецца такім жа, як і ў папярэднім выпадку, але мяняецца напрамак руху пункта пры ўзрастанні параметру t (мал. 2). Такое размяшчэнне траекторый паблізу х — 0 называецца няўстойлівым вузлом.
Мал. 1
Мал. 2
Прыклад 1. Даследаваць паводзіны фазавых траекторый сіс
dx	dy
тэмы ўраўненняў — = Зх + 2у, — = х4у. dt	dt
*’ Дакладнае азначэнне паняцця ўстойлівасці дадзена ў § 5.1.
209
Рашэнне. Карані характарыстычнага ўраўнення
3Х
1
2
41
= 0,1? +7Х +10 = 0,^ =2Д2 =5
сапраўдныя і адмоўныя. Становішча раўнавагі устойлівы вузел.
Прамыя, якія змяшчаюць фазавыя крывыя сістэмы, шукаем у выглядзе у = кх. Падставіўшы у = кх ва ўраўненне
dy х4у
dx Зх + 2у’ атрымліваем ураўненне для вызначэння к
14к	,	1
к = ——, 2к2 +к1 = О,к,= 1, к2 = 
	3 + 2к	1	2 2
х
Значыць, у = —х, У —	~ шуканыя прамыя. Астатнія
фазавыя крывыя часткі
парабал, якія датыкаюцца ў пачатку
Гэта
вынікае з таго, што ўласны вектар
каардынат прамой
сапраўдныя
colon (2,1) матрыцы каэфіцыентаў дадзенай сістэмы, які адпавядае ўласнаму ліку к = 2, пара
лельны прамой У ~~^ (мал. 3).
2°.’кІ,’к2
ХД2 <0. Атрыманыя ў выпадку вузла формулы маюць месца і пры гэтых умовах. Дастаткова разгледзець выпадак
Мал. 3 будзем мець:
210
У дадзеным выпадку размяшчэнне траекторый называецца сядлом (мал. 4), восі у/, у2. называюць сепаратрысамі сядла.
Прыклад 2. Даследаваць паводзіны траекторый сістэмы dx dy л=2у' л=2х+3у
Рашэнне. Карані характарыстычнага ўраўнення
X 2
2 3Х
= 0,
Xу — ~1, \2 — 4
Мал. 4 сапраўдныя і маюць розныя знакі, гэта значыць, што становішча раўнавагі сядло. Будзем адшукваць сепаратрысы сядла ў выглядзе у = кх, дзе к вызначаецца з
2 + Зк	,	1
ураўнення £ = ——— або 2к Зк2 = 0. Адсюль «/=—,
X
к2 = 2. Маем у = — , у = 2х шуканыя прамыя, прычым кожная з
х
іх складаецца з трох фазавых крывых. На прамой У дадзеная сістэма прымае выгляд х = х, ў = у. Гэта значыць, што ўздоўж
прамой У = ПУНКТ (Х(О>У(О) рухаецца па закону x(t)=xoe ,
У(Ч = Уое = ~е ' адбываецца ў напрамку да пачатку каардынат пры ўзрастанні t.
На прамой у = 2х сістэма ўраўненняў мае выгляд х = 4х, ў = 4у.
Рух адбываецца па закону x(t) = х0е4', y(t)Уое^' = 2хое4’ У напрамку ад пачатку каардынат (мал. 5).
211
3°. Х; і Х2 камплексна спалучаныя. Няхай X; = a+zP,
Х2=аф, Р>0. У пераўтварэнні х Ту матрыца ^(у7? )Y7 ■ Y’ лінейна незалежныя ўласныя вектары, якія адпавядаюць Х; і Х2. У сілу таго, што A сапраўдная матрыца, у1 і у2 можна выбраць камплексна спалучанымі. Тады і У/ = ў2. Каб не разглядаць камп
Мал. 5	лексных рашэнняў, будзем мерка
ваць у/ = Zj + iz2, у2 = = Zj — iz2, а траекторыі разглядаць у плос
касці Oz/Z2. Зменная z
= colon(z],z2
звязана з х судачыненнем
x = Ty = TSz = Pz,
(58)
дзе S =
. , Р = (у1 + у2,і(уІ — у2))Значыць, Р сапраўд
ная неасаблівая матрыца. Пераўтварэнне (58) прывядзе сістэму (55) да віду
z, = az, Bz,,
• a *	<59>
z2 = pzj +az2, дзе матрыца каэфіцыентаў утварае сапраўдную жарданаву форму матрыцы A. Сапраўды,
^і=^(Ўі+Ў2) = У [<« + І^)У] +(аi^)y2] = az, pz2.
Аналагічна атрымліваецца і другая з роўнасцяў (59).
Увядзём палярныя каардынаты Zj=rcos^>, z2=rsinty, r >0, або y] = re"?, у2 = ге~'^ . Будзем мець ў/ = ге1^ + іге'фф = = fa + і^)ге'^. Падзяляючы сапраўдныя і ўяўныя часткі, атрымаем
212
Значыць,
r = ar, ф = [3.
(60)
Мал. 6
r(t)^roeM ,^(t) = ^t + ^0.
,	Пры a^O, r0 ^О траекторыі
^ X ўтвараюць спіралі. Такое размяш^нЧ» чэнне траекторый называецца ўстой
J	лівым фокусам, калі а<0, і
няўстойлівым фокусам, калі а>0 (мал. 6, мал. 7 адпаведна).
Мал.7 Пры а = 0 , го*О усе траекторыі 
акружнасці. У гэтым выпадку атрымліваем цэнтр. У выпадку цэнтра ўсе рашэнні сістэмы (55) перыядычныя з перыядам т~.
Для таго, каб зразумець размяшчэнне траекторый у плоскасці ОХ]Х2 сістэмы (55), неабходна мець на ўвазе, што пераўтварэнне, якое было выкарыстана пры пераходзе ад (55) да (56) або (59), з’яўляецца афінным пераўтварэннем плоскасці, якое пакідае нерухомым пачатак каардынат. Яно складаецца ў павароце на некаторы вугал вакол пачатку каардынат і ў сцісканні (расцягванні) адносна дзвюх узаемна перпендыкулярных восяў. Пры гэтым прамыя пераходзяць у прамыя, акружнасці ператвараюцца ў эліпсы.
dx	dy
Прыклад 3. Начарціць траекторыі сістэмы ~ = у,~ = ~х.
dt	dt
Рашэнне. Для дадзенай сістэмы характарыстычнае
ўраўненне запішацца
X
1
1
X
= 0, X2 +1 = 0. Пункт спакою (б,0)
цэнтр, таму што карані характарыстычнага ўраўнення чыста ўяўныя. Рашэнне разглядаемай сістэмы мае выгляд (гл. § 3)
х = С/ cos t + C2 sin t,
y = C] sin t + C2 cos t,
213
таму траекторыі з’яўляюцца акружнасцямі х2 + у2 = С2 + С2. Схема размяшчэння траекторый прыведзена на мал. 8.
Практыкаванне 1. Даследаваць размяшчэнне траекторый сістэмы (55) у тым выпадку, калі kj = к2. Паказаць, што пры Х7 = Х2 ^О будзе мець месца або выраджаны вузел (мал. 9), альбо дыкрытычны вузел (мал. 10), калі сістэма мае вы
dx dy
гляд — = ax, — = ay, a = const. Асобна даследаваць выпадак
\, = Х2=0.
Мал.Ю
Прыклад 4. Вызначыць характар пункта спакою і начарціць фазавыя траекторыі сістэмы х = х, ў = у.
Рашэнне. Характарыстычнае ўраўненне дадзенай сістэмы мае выгляд
214
17	0
0	17
= 0.
Яго каранямі будуць 7.] = Т.2 = 1. У сілу таго, што Т.]=72>0, пункт спакою (0,0) з’яўляецца няўстойлівым вузлом. Траекторыямі сістэмы з’яўляюцца паўпрамыя, якія задаюцца ўраўненнем у = Сх, х * 0. (Рашэннем сістэмы з’яўляюцца функцыі
х = Qe1, у = С2е'.) Рух па гэтых прамых ажыццяўляецца ад пункту спакою (0,0), які ў гэтым выпадку называюць дыкрытычным
Прыклад 5. Вызначыць тып становішча раўнавагі (характар паводзін фазавых крывых) сістэмы
ўраўненняў
dx	dy
л=3ху’л=4ху
Рашэнне. Сістэма мае адзінае становішча раўнавагі х=у=0. Складзём і рашым характарыстычнае ўраўненне
37.
4
1
17.
= 0, Т.227 + 1 = 0, 7,=72=1.
Маем кратны корань. Значыць, становішча раўнавагі выраджаны вузел, прычым няўстойлівы, зза таго, што 7І2>0. Знаходзім для 7] = 72 = 1 уласны вектар colon (1,2).
На плоскасці Оху будуем прамую у = 2х, накіраваную ўздоўж указанага вектара. Гэтая прамая змяшчае тры фазавыя крывыя, становішча раўнавагі і дзве паўпрамыя, на якія прамая падзяляецца пунктам 0(0,0). Астатнія фазавыя крывыя датыкаюцца пры падыходзе да пункта О(0,0) прамой у = 2х. Паводзіны фазавых
215
крывых схематычна адлюстраваны на мал. 12.
Прыклад 6. Даследаваць ўраўненне пругкіх ваганняў
d2x	dx „,
—у + 2а—+ B2x = 0 dr	dt
з улікам трэння і супраціўлення асяроддзя (пры a > 0).
Рашэнне. Заменім дадзенае ўраўненне эквівалентнай сістэdx dy	,
май — = у, — = 2ау^~х, характарыстычнае ўраўненне якой
Мал. 12.
мае карані
\І2 = a±Ja2$2.
Разгледзім выпадкі:
1)	а = 0. Тады кІ2=+і^. Пункт спакою з’яўляецца цэнтрам. Гэта значыць, што пры адсутнасці супраціўлення асяроддзя ўсе рухі з’яўляюцца перыядычнымі;
2) а>0, a2 Р2 < 0. Карані Х; і \2 камплексна спалучаныя. Пункт спакою ўстойлівы фокус, ваганні затухаюць;
3) a < 0 (выпадак адмоўнага трэння), a2 02 < 0. Пункт спакою няўстойлівы фокус;
4) a > 0, a* Р* > 0 (супраціўленне асяроддзя вялікае a > Р). Карані Ху і Х2 сапраўдныя і адмоўныя. Пункт спакою устойлівы вузел;
5) a<0,а2~р2 >0. Карані Xj і Х2 сапраўдныя і дадатныя. Пункт спакою няўстойлівы вузел.
Заўвага 1. У тым выпадку, калі X/ = 0,к2 *0, траекторыі
размяшчаюцца, як паралельныя прамыя.
216
Прыклад 7. Даследаваць паводзіны фазавых крывых сістэdx	dy
мы ўраўненняў — = 4х + 2у, — = 2ху. dt	dt
Рашэнне. Становішчы раўнавагі дадзенай сістэмы будуць размяшчацца на прамой у = 2х, таму што ў пунктах гэтай прамой правыя часткі сістэмы ператвараюцца ў нуль. Інтэгральныя крывыя dy 2ху	dy	1
ўраўнення — = —— або — = —, у*2х будуць фазавымі
dx 4х + 2у	dx	2
крывымі сістэмы. Яны ўяўляюць сабою паўпрамыя, што атрымліва7 юцца з сямейства прамых у = ~
мой у = 2х.
Рух па фазавых траекторыях адбываецца ў напрамку да становішчаў раўнавагі,таму што калі фазавы пункт (x(t),y(t)) у
(х + С) пры перасячэнні яго пра
Мал. 13
значыць 2x(t)y(t)> 0, to y(t) узрастае (мал. 13).
момант t знаходзіцца ў абсягу 2х — у<0, гэта значыць над
прамой у = 2х,то dx
— = 4х + 2у>0, dt
^У
— = 2ху <0, dt
а значыць, x(t) узрастае з часам, a y(t) убывае. Наадварот, калі фазавы пункт у момант часу t знаходзіцца пад прамой у = 2х, гэта
dx dy
> 0, а таму x(t) убывае,
217
§ 9.	Лінейныя сістэмы са зменнымі каэфіцыентамі, інтэгравальныя ў замкнутай форме’’
3 § 1 вынікае, што любое рашэнне лінейнай аднароднай сістэмы (1) можна лёгка знайсці, калі вызначана яе фундаментальная матрыца. Аднак вызначыць фундаментальную матрыцу ў яўным выглядзе, гэта значыць праз каэфіцыенты сістэмы (1), для большасці неаўтаномных лінейных сістэм (са зменнымі каэфіцыентамі) немагчыма. 3 іншага боку, у літаратуры апісаны дастаткова шырокія класы сістэм, для якіх можна пабудаваць рашэнне ў замкнутай форме, гэта значыць у выглядзе элементарных функцый ад каэфіцыентаў сістэмы і іх квадратур (нявызначаных інтэгралаў). Значыць, калі аднародная сістэма (1) інтэгравальная ў замкнутай форме, то згодна з формулай (31), у той жа форме будзе інтэгравальнай і неаднародная сістэма (30). Таму, даследуючы сістэмы, якія дапускаюць інтэграванне ў замкнутай форме, можна абмежавацца толькі разглядам аднародных сістэм.