Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
198
x(t)—X(p). Пераўтворым ураўненне (47) па Лашіасу. 3 улікам
пачатковых умоў і ўласцівасці III (формулы (42), (43)) будзем мець
х<">(1)=р"Х(р)р'х, р2х,...х'І)’''>,
a,x'"‘>(t):=a,(p’'X(p)P"!x0p^^^
ап_,х(1)=а„_,{рХ(р)хІІ\
anx(t) = anX(p).
Падставіўшы выявы складнікаў з левай часткі (47) з улікам, што f (t)=F(p), атрымаем [рП +Я1РП ' ++ап]Х(Р) = F(P) + +х0(рп~' +аІрп2+...+ап_І)+х0(рп2 +аіРп3+...+ап_2)+..^
Апошняе ўраўненне называюць аператарным. Запісаўшы яго ў выглядзе L(p)X(p) = F(p)+ А(р), дзе L(p),A(p) вядомыя
F(p)+ А(р) паліномы, знаходзім аператарнае рашэнне Х(р) =—;.
Калі ўраўненне (47) пры пачатковых дадзеных (48) дапускае рашэнне x(t), якое задавальняе ўмовам для арыгіналаў, то гэтае рашэнне з’яўляецца арыгіналам Х(р).
Прыклад 1. Рашыць задачу Кашы х5х + 4х = 4,х(0) = 0, х(0) = 2.
4
Рашэнне. У сілу таго, што 4 = —, адпаведнае аператарнае
Р
199
ўраўненне мае выгляд [р25р + 4)х(р) =~ + 2. Адкуль
знаходзім
2 р + 4 аператарнае рашэнне Х(р) =z. Раскладваем правую
р(р' 5р + 4)
1 2 1
частку на элементарныя дробы Х(р) = — ; +. Перахо
р р1 р4
дзячы да арыгіналаў, атрымліваем рашэнне x(t) = 1 + е' + е4‘.
Прыклад 2. Рашыць задачу Кашы x+x=sin2t, х(п)=х(ті)=1
Рашэнне. Увядзём замену X = tU. Тады зыходная задача
Кашы прывядзецца да задачы х+х = sin 2(Х+п) = sin 2х, х(0) = = х(0) = 1, дзе х = х(х).
Няхай х(х) — Х( р). Аператарнае ўраўненне будзе мець вы
2 2 Р
гляд (р +1)Х(р)~pl = —j. Адкуль Х(р) = —.+
р +4 р +1
1 __2______________р_ 1 1 2 1
+ р2 + 1 (р2+4)(р2 +1) р2 +1 +3 р2 +1 +3 р2+ 4'
Знаходзячы арыгіналы па формулах табліцы, атрымаем
1 2
x(t) = cos t —sin t +—sin 2t.
4° . Прымяненне формулы Дзюамеля da рашэння дыферэнцыяльных урауненняў.
Няхай патрабуецца рашыць лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне з пастаяннымі каэфіцыентамі (47) пры нулявых пачатковых умовах х(0) = х(0 )...= x^n~,J (0) = 0. Калі вядома рашэнне y(t) ураўнення з той жа левай часткай і правай часткай 7, таксама пры нулявых пачатковых умовах, то інтэграл Дзюамеля (гл. уласцівасць IX п. 1) дазваляе напісаць рашэнне ураўнення (47) без усякіх вылічэнняў. Аператарныя ўраўненні, адпаведныя дадзенаму 200
ўраўненню L(x) = f (t) i дадатковаму L(y) — 1, маюць выгляд
L(p)X(p) = F(p) i L(p)Y(p) = ~, дзе F(p) = f(t). Адкуль P
X(p) = pY(p)F(p).
Такім чынам, згодна з формулай Дзюамеля
t
x(t) = ^ f (х)ў(t X)dx (улічым, што у(0) = 0), (49)
0
t
або х(t) = у(t)f(0) + \у(x)f'(t x)dx.
o
Прыклад 3. Знайсці рашэнне задачы Кашы
е~2‘
х + 4х + 4х =——у; х(0) = х(0) = 0.
(l + 2t)2
Рашэнне. Спачатку рашым ураўненне ў + 4ў + 4у = 1 пры
тых жа ўмовах. Пры y(t) — Y(р) і пераходзячы да выяў, атрымаем
(р2 +4р + 4)Y(р) = ~. Адкуль Y(p) = ■ 7 ? = —
р Р(Р+2) 4Р 4(Р+2)
1 . 1 е~2‘ te~21
—2/ Знайшоўшы арыгіналы, маем y(t) = — — ———.
Карыстаючыся формулай (49), шуканае рашэнне зыходнай задачы запішам у выглядзе
f е~2х d(l е~2(,х> (tx)e~2('x)}
X(I)[d^^—2Ь =
tx
(1 + 2х)2
dx =
7a Зак. 970
201
=—(2tln(l + 2t)\
5°. Рашэнне сістэм лінейных дыферэнцыяльных урауненняў з пастаяннымі каэфіцыентамі.
Аналагічна прымяняецца аперацыйны метад і да рашэння сістэм
Xi=allx1+...+alnx„+fI(t),
X2=a2lxI+...+a2nxn+f2(t),
х„ = а„,х,+...+а„„х„ + f„(t) П П11 ПП П J П' /
пры пачатковых умовах xt(0) = хІ0,х2(0) = х20,...,хп(0) = хп0.
Перайшоўшы да аператарнай сістэмы, будзем мець (Р~ан)хі аІ2Х2...аІпХп = F] + хІ0, ~а21Х1 + ( Р~а22)Х2~“~а2пХп = ^2 + х20’
anlXlan2X2+(p“nn)Xn=Fn +Хп0,
^xk(t)=Xk(p) (xk\fk(t)=Fk(p) (F„).
Вырашыўшы гэтую лінейную алгебраічную сістэму адносна Хк, к = 1,п, па выявах Хк(р) знойдзем арыгіналы xk(t).
Прыклад 4. Рашыць сістэму ўраўненняў х0 =ах0, хк +
+ ахк = ахк_], к = 1,п пры пачатковых умовах хо(О) = 1, хІ(0)=..=хп(0) = 0.
Рашэнне. Аператарная сістэма мае выгляд (р + а)Х0 = 1,
ак —
(р + а)ХкаХк_] =0, адкуль хк~у^Г> к = 0,п. Знай
шоўшы патабліцы арыгіналы, атрымаем xk(t) = —(at)ke аІ.
202
Прыклад 5. Рашыць сістэму х = е' у, ўе ' х пры пачатковых умовах х(0) = х0, у(0) = у0.
Рашэнне. Няхай x(t) = X(p), y(t) = Y(p), тады x(t)—
= рХ(р) — x0,y(t) — pY(p)y0. Аператарная сістэма мае выгляд
1 1
рХ(р)х0 + Y(р) =pY(р)у0 + Х(р) = ——. Рашыўшы
р1 р+1
яе, знаходзім
Р 1 Р2 +1
х<р>=
Пераходзячы да арыгіналаў, атрымаем шуканае рашэнне x(t) = xoch t yosh t + t ch t, y(t) = Уос^ t + (^~xo № t~t sh t.
§ 7. Лінейныя сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў з перыядычнымі каэфіцыентамі
I. Аднародная лінейная сістэма дыферэнцыяльных ураўненняў
з перыядычнымі каэфіцыентамі.
Разгледзім сістэму
х = A(t)x (50)
з непарыўнай (0 перыядычнай матрыцай A, гэта значыць
A(t +ti>) = A(t) для t е (°°;°°). Няхай пачатковыя ўмовы
xj (0) = YJ, дзе у7 = соіоп^ ,...,bJn) адзінкавыя вектары
7а*
203
'0, к * j^ Л k = J ,
вызначаюць фундаментальную сістэму рашэнняў
(50) х1 (t),x2 (t),...,xn(t). У сілу таго, што матрыца A(t) перыядычная, функцыі х'(t + (й),х2(t + (д),...,хп(t + (й) таксама будуць утвараць фундаментальную сістэму рашэнняў. У сілу тэарэмы 2 любое рашэнне сістэмы (50) ёсць лінейная камбінацыя рашэнняў фундаментальнай сістэмы х1 (t),х2(t),...,хп(t). Таму кожная з функцый xJ(t + (H) будзе лінейнай камбінацыяй xk(t), к = 1,п з па
стаяннымі каэфіцыентамі, гэта значыць xj(t + (р) = У, C,txk(l).
j — l,n, дзе Cjk пастаянныя. Запісаўшы апошнюю роўнасць у матрычнай форме, будзем мець
X(t + w) = X(t)C,
(51)
дзе X(t) фундаментальная матрыца рашэнняў хк(t), к = 1,п,а
с=
'cjk, k=J.n
< J = Л п >
пастаянная матрыца.
Пры t = 0 роўнасць (51) прыме выгляд Х((д) = С. Такім чынам, атрымліваем
X(t + (») = X(t)X((j)).
(52)
Матрыца Х((і>) называецца матрыцай монадраміі сістэмы (50) (відавочна, што |X(co7| *0). Уласныя значэнні матрыцы Х((й) называюцца мультыплікатарамі сістэмы ўраўненняў (50).
Mae месца
Тэарэма 9 (ФлокеЛяпунова). Фундаментальная матрыца Х(і) сістэмы (50) дапускае наступнае выяўленне
X(t) = G(t)eA',l
дзе G(t) перыядычная матрыца з перыядам (0, a A) пастаянная 204
матрыца.
Відавочна, што матрыца G(t) задавальняе ўмове
G(t)=A(t)G(t)G(t)A„ адкуль непасрэдна вынікае, што замена зменных x — G(t)z пераводзіць сістэму ўраўненняў (50) у сістэму ўраўненняў з пастаяннымі каэфіцыентамі z = А/ z.
Тэарэма 10. Для таго, каб камплесны лік ц з’яўляўся мультыплікатарам сістэмы ўраўненняў (50), неабходна і дастаткова, каб існавала ненулявое рашэнне ^(t) сістэмы (50) такое, што
(р)f(t), то неабходнай і дастатковай умовай існавання ў сістэмы (54) адзінага (0перыядычнага рашэння з’яўляецца адсут2пкі
насць у матрыцы А уласных лікаў віду , к е Z. Пацвердзім
(0
гэты вынік наступным прыкладам.
Прыклад 1. Паказаць, што лінейнае ўраўненне другога парадку х + а2х = f (t), а ^ 0, дзе f(t) непарыўная перыядычная функцыя з перыядам С0, мае адзінае перыядычнае рашэнне з перы2тік
ядам С0, калі а &(к = +1+2,...).
С0
Рашэнне. 3 дапамогай замены х = X], х = х2 прывядзём дадзенае ўраўненне да сістэмы
X] = х2,
х2 = a2Xj + f (t).
Згодна з тэарэмай 12 гэтая сістэма будзе мець адзінае перыядычнае рашэнне з перыядам С0, калі ўсе мультыплікатары адпаведнай аднароднай сістэмы X] = х2, х2 =а2Х/ не роўныя адзінцы. Знойдзем матрыцу монадраміі. Згодна з азначэннем, для
дадзенай
X(d) =
аднароднай х}(^) х2(а)
сістэмы гэта матрыца мае выгляд
х^ы) х2((й)}'
дзе X/(t) рашэнне зададзенага
ўраўнення, што задавальняе пачатковым умовам
Xj(O) = 1, Х](0) = 0, a x2(t) рашэнне гэтага ўраўнення, што задавальняе ўмовам х2(0) = 0, х2(0) = 1. Уласныя лікі матрыцы
206
А =
" 0 Г
<«2 0,
знаходзім з ураўнення
0Х
1 ох
= 0. Маем
1
^12= ±<*і. Таму X](t) = cos at, х2 = —sin at. Матрыца монадраміі запішацца
, cosam — sinam X(m)~ a
^ a sin am cosam t
Мультыплікатары з’яўляюцца ўласнымі лікамі матрыцы
1
X(m) i знаходзяцца з ураўнення
cos am}L —sinam
a
a sin am cos am ц
= 0 або
[L2 2[lcos am +1 = 0. Апошняе ўраўненне не будзе мець кораня 2кк
[1 = 1, калі a *(к = +1,±2,...), а гэта значыць, што калі мат
со
рыца А не будзе мець уласных лікаў, роўных 2тік
і, к е Z, (к * 0), то ў разглядаемай сістэмы не будзе co
мультыплікатараў, роўных 1, а значыць, дадзеная сістэма будзе мець адзінае перыядычнае рашэнне.
§ 8. Траекторыі лінейных сістэм на плоскасці
Разгледзім паводзіны траекторый лінейнай аднароднай сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў другога парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі
х = Ах,
(55)
дзе х = colon(x1,x2 ), А =
'йц “12^
\а21 а22 /
сапраўдная матрыца.
207
Рашэнне сістэмы х = f (х), х & R віду х = а, дзе a пастаянны вектар, будзем называць становішчам раўнавагі (або пунктам спакою). Адзначым, што х = 0 уяўляе сабою становішча раўнавагі аўтаномнай сістэмы (55), якое з’яўляецца адзіным у выпадку detA^O. У прасторы зменных х^х2 любое рашэнне x = ty(t) сістэмы (55) вызначае крывую. Гэтую крывую з
КНІГІ ОНЛАЙН
