КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

1
= \24\ + 5 = 0
мае карані \І2 = 2 + і. Знаходзім
уласны вектар, што адпавядае кораню X; = 2+ і. 3 сістэмы
(2(2 + і))уІу2=0,	(іу,у2=0,
у,+(2(2 + і))у2 =0	[1і~іі2^0
знаходзім, што У2=ІУ], гэта значыць пры У/=1 уласны вектар
' Y/ '
Цц

(1 + 0і\
Рашэнне атрымліваем так:
e(2+i,t =
e2t (cos t + i sin t) = i
^’ (cos t + isin t) ^e2'(sin ticos t)t
158
e2' cos A / e2' sin t
2t ■	"I" i 2t
\e sin t j \e cos t)
u + iv.
Адкуль
u = e
2t
'cos P ; sin t ;
v = e
2t
sin t
COS t
. Агульнае рашэнне
зыходнай сістэмы мае выгляд
\У)
= CjU + C2v = С^2'
(cos t}
< s'n t)
sin t
^cos t,
, або ў каардынат
най форме х = C^2' cos t + C2e2' sin t = e2' (C] cos t + C2 sin t), y = C/C2' sin t C2e21 cos t = e2r (Cj sin t C2 cos t).
Прыклад 3. Знайсці агульнае рашэнне сістэмы ўраўненняў х = xz, ў = х, z = ху.
Рашэнне. Характарыстычнае ўраўненне мае від
1Х	0
1 X
1	1
1
0
= 0 або (1 Х)( 1+ Х2 ) = 0. Характарыстычныя
X
лікі: X] = 1, Х2 3 =+і. Пры Х = 1 для вызначэння ўласнага вектара
атрымліваем сістэму ўраўненняў —у3 =0, у; —у2 =0, yt у2 у3 =0. Калі дапусціць У/ = 1, то пры у3 = 0,у2 = 1, гэта значыць сістэма вызначае ўласны вектар colon (1,1,0). Яму адпавядаюць частковыя
рашэнні X/ =е', У/ =е‘, Zj = 0.
Пры Х2 =і атрымліваем сістэму ўраўненняў (1і)УіУз=°> Уі'Ч2 = 0, Уі~У2^з^^
Гэтая сістэма, калі дапусціць У/=1, вызначае ўласны вектар colon (1,і, 1 і).
Значэнням Х2 3 = + і адпавядаюць рашэнні
х2 3 = е" = cos t + і sin t, у23 = іе~" = sin t і cos t, z23 =(li)e" = (cos t + sin t) + i(sin t cos t).
159
Аддзяляючы сапраўдныя і ўяўныя часткі, атрымліваем рашэнні х2 = Re х2 3 = cos t ',у2 = Rey2 3 = sin t',z2 = Rez23 = cos t + sin t; x3 = Imx23 = sint,y3 =Imy23 = cost,z3 = Imz23 = sin tcos t. Агульнае рашэнне сістэмы запішацца так:
х = CjX] + С2х2 + С3х3 = С]е' + С2 cos t + С3 sin t,
у = С^] + С2у2 + С3у3 = С^' + С2 sin t С3 cos t,
z = CjZj + C2z2 + C3z3 = C2 (cos t +sin t) + C3(sin t cos t).
в)	Сярод каранёў kj ,X2,...,kn характарыстычнага ўраўнення ёсць кратныя. Калі Х7 ёсць характарыстычны лік кратнасці k, то яму адпавядаюць рашэнні выгляду
Xj = P,(t)ex',.x2 = P2(t)e^ ,...,хп = Pn(t)e^,	(23)
дзе P)(t),P2(t),..., Pn(t) паліномы ад t ступені не вышэй за к1, якія ў сукупнасці маюць к адвольных каэфіцыентаў, прычым усе астатнія каэфіцыенты гэтых паліномаў выражаюцца праз гэтыя к адвольныя каэфіцыенты. (Падрабязна гл. доказ у [9], глава VI, § 45, с. 183.)
Практыкаванне 1. Даказаць, што Хкратнаму кораню X/ адпавядаюць рашэнні віду (23).
На практыцы пры знаходжанні рашэння, якое адпавядае характарыстычнаму ліку X /, патрэбна адшукваць рашэнне ў выглядзе (23), пры гэтым паліномы Pl(t),P2(t),...,Pn(t) лічыць паліномамі (к — 1) ступені з нявызначанымі каэфіцыентамі. Падстаўляючы (23) у (20) і параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях t злева і справа, неабходна выразіць усе каэфіцыенты праз к з іх, якія застаюцца адвольнымі.
Дапусціўшы па чарзе адзін з адвольных каэфіцыентаў роўным адзінцы, а астатнія роўнымі нулю, атрымаем к лінейна незалежных рашэнняў, што адпавядаюць Х;. Калі X; сапраўдны характарыстычны лік, то атрыманыя к лінейна незалежныя рашэнні будуць сапраўднымі. Калі ж сістэма (20) мае камплексны характарыстычны лік а + ф кратнасці к, то яна мае спалучаны 160
характарыстычны лік аф той жа кратнасці. Атрымаўшы к лінейна незалежных камплексных рашэнняў, што адпавядаюць характарыстычнаму ліку а + ф, і аддзяліўшы ў іх сапраўдныя і ўяўныя часткі, атрымаем 2k сапраўдных лінейна незалежных частковых рашэнняў. Усе атрыманыя такім чынам лінейна незалежныя рашэнні ў сукупнасці ўтвараюць фундаментальную сістэму рашэнняў. Узяўшы лінейныя камбінацыі рашэнняў гэтай фундаментальнай сістэмы па слупках з аднымі і тымі ж адвольнымі пастаяннымі С],С2,...,Сп, атрымаем агульнае рашэнне сістэмы (20).
Прыклад 4. Праінтэграваць сістэму х = 5ху, ў = х + Зу.
Рашэнне. Характарыстычнае ўраўненне
51
1
1
3\
= 0,
або (5Ў)(3\) +1 = 0,7с 8Ў +16 = 0 , мае карані к.] 2 = 4. Як было сказана вышэй, кораню кратнасці k адпавядае рашэнне x(t) = Pk_t(t)^ , дзе Pk_] (t) паліном ступені, на адзінку меншай за кратнасць. Такім чынам, двухкратнаму кораню к = 4 адпавядае рашэнне х = е4‘ (a ,t + a2),y = е4‘ (b)t +b2).
Прадыферэнцуем х і у, атрымаем х^а^4' +4(aIt + a2)e4‘, ў = Ь]е4' +4(bjt+b2)e4t. Значэнні х,у,х,ў падставім у зыходную сістэму. Пасля скарачэння на е4' будзем мець
aj +4(a!t+a2) = 5(a,t + а2)~ (b]t+b2), b, + 4(bjt + b2 ) = a2t + a2 + 3(b,t + b2).
Параўноўваючы каэфіцыенты пры t i свабодныя члены, атрымліваем сістэмы ўраўненняў:
аі +4а2 = 5а2 Ь2,
bj + ^Ь2 = а2 + ЗЬ2.
4aj = 5а, bj, 4b! = at +3bj,
Адкуль вынікае, што at =bh а2 Ь2 = й] = bj. Дапускаючы, што
6 Зак. 970
161
a]=C], a2 = C2(Clt C2 адвольныя пастаянныя), знаходзім
bj=C/, ^qC/.Адкуль x=e4‘(CIt+C2), ye4t(C, t + C2C,).
У якасці лінейна незалежных частковых рашэнняў, што адпавядаюць характарыстычнаму ліку 'кІ='к2=4, можна ўзяць х2 = te4', х2 = е', у! = (t — 1)е4‘, у2 = е4'. Адзначым, што зададзеная сістэма прасцей рашаецца метадам выключэння (гл. § 2).
Заўвага 1. Калі для кораня Х; кратнасці к ёсць толькі т лінейна незалежных уласных вектараў і т< к, тады рашэнне, што адпавядае гэтаму X7, можна адшукваць у выглядзе здабытку палінома ступені кт на еК'‘, гэта значыць у выглядзе X] =(a+bt+...+dtk~m)ех'', ... , хп= (р +qt+...+stk~m)ех'. дзе a,b,...,s пастаянныя, прычым к з іхадвольныя.
Прыклад 5. Рашыць сістэму х = 2хyz, ў = 2хy2z, z = 2z х + у.
Рашэнне.	Характарыстычнае	ўраўненне
2Х 1	1
2
1
7Х
1
2\
— 0 мае карані ХІ23
= 1. Вызначым коль
касць лінейна незалежных уласных вектараў, што адпавядаюць трохкратнаму кораню X = 7. Пры X = 7 атрымліваем матрыцу
2	2 2 • ^е парадак п = 3, ранг r = 1. Колькасць лінейна
{11 1 )
незалежных уласных вектараў роўна т=пг=31=2. Калі для кораня X = 7, к = 3, то к <т і рашэнне патрэбна адшукваць у вы
глядзе здабытку палінома ступені ktn = 1 на е', гэта значыць у выглядзе x^faj+bjtJe1 ,y = (a2+b2t)e' ,z = (a3+b3t)e‘. Для зна
162
ходжання каэфіцыентаў аІ,...,Ь3 падстаўляем гэтыя выразы для x,y,z у дадзеную сістэму і параўноўваем каэфіцыенты пры падобных членах (гл. прыклад 5). Канчаткова агульнае рашэнне будзе мець выгляд x = (Cj + С3 t)e',y = (C2 +2 С3 t)e’,
z = (Cj — С2~С3 — C3t)e .
2°. Рашэнне з дапамогай матрыц.
I.	Выпадак крапіных каранёў.
Прывядзём спачатку некаторыя звесткі з тэорыі матрыц (гл. [25]).
Прасцейшая форма, да якой прыводзіцца адвольная квадратная матрыца, ёсць так званая жарданава нармальная форма (гл. [25], глава VI, § 6, с. 141).
Матрыца віду	(к	1	0 ■	■ 0'
	0	X	1 ■	■ 0
.7 =	0	0	0 •	■ 1
	.0	0	0 ■	
(24)
называецца жарданавай клеткай.
Матрыца (24) мае адзінае ўласнае значэнне X кратнасці k, дзе k парадак матрыцы. Рашыўшы сістэму J х — Х х, гэта
значыць, X Xj + х2 = k. х^к. х2 + х3 = X х2,...,\ хп = Х хп, знойдзем яе ўласныя вектары. Будзем мець, х2 = х3 =... = хп = 0, х3 любое. Адкуль заключаем, што матрыца J мае адзіны (з дакладнасцю да множніка) уласны вектар у = colon(l,0,...,0) (усе вектары слупкі). Для астатніх базісных вектараў
у2 = colon (0,1,0.....0),..., yk = colon (0,...,0,1,0, ...,0)
k
маем Jy' 'ку' ,J у2 = Ху2 + у' ,...,Jyk = X уА + ук~І.
Набор вектараў \hl,...,hk\ будзем называць жарданавым
6*
163
ланцужком матрыцы А (гл. [25], глава VII, § 7, с. 176), калі Ah' =Xh' ,Ah2 =kh2 +h'............Ahk = Xhk +hk~‘
Вектар h1 уласны, вектары h2,...,hk называюцца далучанымі.
Такім чынам, вектары у' ,...,ук утвараюць жарданаў ланцу
жок жарданавай клеткі J.
Вядома (гл. [25], глава VII, § 7, с. 177), што адвольная матрыца А заўсёды падобна матрыцы J, якая мае нармальную жарданаву форму, гэта значыць для адвольнай матрыцы А заўсёды існуе такая нявыраджаная матрыца Т [\Т \ * 0), што А = Т J T'1, дзе
0 ^
, a Jj,J2,...,Jsжарданавыя клеткі парадкаў
\куласныя значэнні матрыцы A . Прычым Т 1 адваротная да Т
ік ~ |У| ’ Дзе 1ік “ адпаведны элемент матрыцы Т , а Ткі алгебраічныя дапаўненні элемента tjk у матрыцы Т). Нармальная жарданава форма матрыцы А вызначаецца адзіным чынам з дакладнасцю да перастаноўкі жарданавых клетак.
Узнікае цяпер пытанне, як для дадзенай матрыцы A пабудаваць яе жарданаву нармальную форму.
Вядома, што парадак ks жарданавай клеткі Js роўны ступені так званага элементарнага дзельніка (\ \s)ks, які адпавядае кора
164
ню Xs. Калі некатораму кораню адпавядае некалькі элементарных дзельнікаў , то і адпаведная колькасць клетак у жарданавай форме мае на галоўнай дыяганалі адзін і той жа элемент. У найбольш простым выпадку, калі ўсе элементарныя дзельнікі першай ступені (так будзе, у прыватнасці, калі ўсе карані характарыстычнага ўраўнення розныя), усе клеткі маюць першы парадак, гэта значыць матрыца J будзе мець дыяганальны выгляд. (Аб тым, як знаходзяцца элементарныя дзельнікі пры кратных каранях характарыстычнага ўраўнення, можна прачытаць у [9], глава VI, § 44, с. 180 або ў [25], глава VI, § 3, с. 133.)
У тым выпадку, калі матрыца А сярод уласных лікаў мае камплексны, будуецца так званая яе сапраўдная жарданава форма (гл. [27], глава IV, § 3, с. 101), сярод клетак якой ёсць такія клеткі Jk, што адпавядаюць камплексным уласным лікам \к. У прыватнасці, у выпадку простых камплексных лікаў кк гэтыя клеткі
маюць выгляд
'Re\k
Jm^k
	Im X^
Re^k >
Прыменім прыведзеныя
вышэй звесткі да інтэгравання сістэмы (20).
Разгледзім спачатку сістэму з к ураўненняў dy t
дзе J жарданава клетка віду (24).
У разгорнутым выглядзе сістэма (25) запішацца
(25)

dt dy2 dt
	^ У\+ Уі^
= A j2 + у3,

dt dyk dt
= * Уы + Ук .
= *■ Ук
165
Вырашым гэтую сістэму «знізу ўверх». 3 апошняга ўраўнення маем ук = Ске^ . Падставіўшы ва ўраўненне, змешчанае перад апошнім, атрымаем yk_j \ук_І = Ске^, адкуль (гл. формулу (2.4.19))
Укі = Скі^ + Ckte^ .
Аналагічна атрымліваем
t2
Ук2 =(Ск2 +tCkl + ~^к)е''' ’
Такім чынам, усякае рашэнне сістэмы (25) будзе задавацца формулай у = С^1 + С2у‘+...+Скук, дзе СІ,С2, ,Ск адвольныя
пастаянныя, а рашэнні у1 маюць выгляд /=^,/=^[*’^/.'1.......
у^е^ ^ +—^ і+ л——у
(26)
Вяртаючыся цяпер да сістэмы (20), сфармулюем тэарэму, якая дасць рашэнне гэтай сістэмы ў агульным выпадку.