КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

3.	Рашыць ураўненне х + 4х + Зх = ch х.
4.	Знайсці тыя рашэнні ўраўнення tx + 2х + tx = 0, якія выражаюцца радамі.
5.	Панізіць парадак і праінтэграваць ураўненне х sin21 = 2х, якое мае частковае рашэнне х = cig t.
XI.	1. Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення х + px + qx = 0,
p,qconst.
2.	Пабудаваць функцыю Грына, рашыць краявую задачу tx + х = 2t, х(1) = х(1); x(t) абмежавана пры t ^ 0.
3.	Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення sin t
х + х =j—.
cos" t
4.	Паказай.ь,шторашэнні x0(t) = t2,xI(t) = t,x2(t) = 1, x3(t) = e‘ аднароднага лінейнага ўраўнення чацвёртага парадку ўтвараюць
140
фундаментальную сістэму. Пабудаваць гэтае ўраўненне і запісаць яго рашэнні.
5.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення (t2 l)x + 4tx + 2x = 6t, t2+t + l
калі яго частковыя рашэнні Xj = t,x2 = ——.
XII.	1. Пабудаваць фундаментальную сістэму рашэнняў для ўраўнення х + (О~х = 0,(0 = const > 0.
2.	Знайсці ўласныя значэнні і ўласныя функцыі краявой задачы t2x + — х = \х, х(1) = х(1) = 0.
4
3.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення Эйлера t2x tx + х = 6t In t.
4.	Рашыць ураўненне (2t + l)x + 4tx — 4x = 0.
5.	Устанавіць від частковага рашэння ўраўнення х11 + х = 7t 3cos t 1.
XIII.	1. Знайсці перыядычныя рашэнні ўраўнення х + 4х = cos21.
2.	Паказаць, што рашэнні x0(t) = sin t, Xjft) = cos t, x2(t) = е' аднароднага лінейнага ўраўнення трэцяга парадку ўтвараюць фундаментальную сістэму рашэнняў. Пабудаваць гэтае ўраўненне і запісаць для яго агульнае рашэнне.
3.	Устанавіць від частковага рашэння ўраўнення х1+xli = tsint+l.
4.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення t2 (t + 1)х 2х = 0, калі яго
7 частковае рашэнне Xj = 1 + ~.
5.	Знайсці рашэнне ўраўнення Эйлера t2х 2х = 0, якое задавальняе краявым умовам х(1) = 1, lim x(t) = 0.
XIV.	1. Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення х + х = 3.
141
2.
Знайсці ўласныя значэнні і ўласныя функцыі краявой задачы 'х = кх, х(0) = х(Ь)0.
4t2l
3.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення хх =т=—
4.	Скласці лінейнае неаднароднае ўраўненне па яго агульным рашэнні х = (C] + C2t)cos t + (C3 + C4t)sin t.
5.	Указаць від частковага рашэння ўраўнення
х + 2х + 2х = ch t ■ sin t.
XV.	1. Скласці лінейнае аднароднае ўраўненне і запісаць яго агульнае рашэнне, калі вядомы карані характарыстычнага ўраўнення ^12=3 + 2і, Х341.
2.	Рашыць гранічную задачу х + х = 0, х(0) = 1, х — \ = 1.
3.	Знайсці рашэнне ўраўнення х + х = 6 sin 2t, якое задавальняе пачатковым умовам х(0) = 0, х(0) = 4.
4.	Рашыць ураўненне х2х +х = 6te'метадам варыяцыі адвольных пастаянных.
5.	Знайсці перыядычныя рашэнні дыферэнцыяльнага ўраўнення х + 9х = sin3 t.
ГЛАВА III
СІСТЭМЫ ЛІНЕЙНЫХ ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫХ УРАЎНЕННЯЎ
§ 1. Аднародныя нармальныя сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў
Нармальнай лінейнай аднароднай сістэмай дыферэнцыяльных ураўненняў называецца сістэма
~T~ = ^aij(t)xj, і = 1,п, t&I = (a;b)	(1)
j=i
або ў матрычнай форме
dx
Т=^)х,	(Г)
дзе
^ift)'
Х= 2f ^ = colon{xI(t),x2(t),...,xn(t)\
j = l>n Д = Лп
\ani(t) an2(t) ••• ann(t)) квадратная матрыца памеру пхп.
Будзем меркаваць, што atJ (t)непарыўныя на інтэрвале I функцыі. У гэтым выпадку сістэма (1) будзе мець адзінае рашэнне, якое задавальняе пачатковым умовам
xi(to) = x°,,xn(to) = x°,
143
дзе х° ,...,х° любыя зададзеныя лікі, a t0 узяты з інтэрвалу I. Гэтае рашэнне будзе непарыўным і вызначаным у разглядаемым інтэрвале /(гл. § 4.2, § 4.3). Рашэнне сістэмы (1) валодае наступнымі ўласцівасцямі:
1°. Калі х? = 0, і = 1,п, то, у сілу адзінасці, x/tj^O, і = 1,п.
2° Калі х1, х2,..., хк рашэнні сістэмы (1), дзе
х1 = colonfx^.....х^), j = 1,к ,хо
х = C^ + С2х" + ... + Скхк —	(2)
рашэнне сістэмы (1).
Сапраўды, у сілу таго, што xJ рашэнні, j = l,k, маем х1 = A(t)xJ. Прадыферэнцаваўшы (2) і карыстаючыся апошняй роўнасцю, атрымаем
х = С/Х1 + С2х2+...+Скхк = C/A(t)x' + C2A(t)x2+...+CkA(t)xk = = Aftfax1 +С,х2+...+Скхк)= A(t)x.
Нагадаем, што вектарныя функцыі х1, х2,..., хк, вызначаныя на (а;Ь), называюць лінейна залежнымі на (а;Ь) (гл. § 2.2), калі існуюць лікі П/, а2,..., ак , не роўныя адначасова нулю, пры якіх
а^х' (t) + a2x2 (t)+...+akxk (t) = 0, te(a;b). (3)
Калі роўнасць (3) выконваецца толькі пры а./ = 0, а2=0,...,	ак=0, тады функцыі х ,х2,...,хк называюцца
лінейна незалежнымі.
Роўнасць (3) у разгорнутым выглядзе запішацца
aIx]](t) + а2х]2 (t)+.. .+ак xlk(t) = 0,
aIx2l(t) + a2x22(t)+...+akx2k(t) = 0,
аіхпі (0 + а2хп2 (t)+..+ак xnk(t) = O,t&(a;b).
144
Дапусцім цяпер, што х^х2,.,^" "Рашэнні лінейнай сістэмы (1) на інтэрвале (а;Ь). Утворым матрыцу, слупкамі якой з’яўляюцца гэтыя рашэнні.
'xji(t)	xl2(t)	•••	xln(tp
,	*21 (t)	X22^)	•••	Х2п(О
X(t) =	:	(4)
^nltO	Xn2(‘)	•'•	Хпп(О>
Mae месца
Тэарэма 1. I. Калі дэтэрмінант \X(t)\ матрыцы (4) адрозніваецца ад нуля хоць у адным пункце t0 е(а;Ь), тады рашэнні х1 (t), х2(t),..., хп(t) сістэмы (1) лінейна незалежныя на (а;Ь).
II.	Калі ж існуе такі пункт t0 & (а;Ь), у якім \х(tQ)\ = 0, то рашэнні х1, х2,..., хп сістэмы (1) лінейна залежныя на (а;Ь) і \X(t)\ = 0, te(a;b).
Вынікам гэтай тэарэмы з’яўляецца сцвярджэнне: для таго, каб рашэнні х1,х2,...,хп лінейнай сістэмы (1) былі лінейна незалежнымі на (а;Ь) , неабходна і дастаткова, каб \x(to)\^O пры некаторым t0 & (a; b).
Структура агульнага рашэння сістэмы (1) вызначаецца наступнай тэарэмай.
Тэарэма 2. Сістэма (1) мае роўна п лінейна незалежных рашэнняў х1, х2,..., хп. Агульнае рашэнне гэтай сістэмы мае выгляд
х = C/X1 + С2х2 + ...+Спхп,	(5)
дзе СІ,С2,... ,Сп адвольныя пастаянныя, а х1, х2,..., хп гэтыя ці іншыя незалежныя рашэнні.
Доказ тэарэмы 2 прынцыпова не адрозніваецца ад доказу
145
тэарэмы 2.2.
Практыкаванне 1. Правесці самастойна падрабязны доказ тэарэмы 2.
Сукупнасць п лінейна незалежных на (а;Ь) рашэнняў х1, х2,..., хп сістэмы (1) называецца фундаментальнай сістэмай рашэнняў, або базісам рашэнняў. Калі рашэнні х1, х2,..., хп лінейна незалежныя, то матрыцу (4) называюць фундаментальнай матрыцай сістэмы (1). 3 дапамогай яе агульнае рашэнне (5) можна запісаць у выглядзе х = X(t)C, дзе С = colon( С/, С2,... ,Сп ) вектарслупок адвольных пастаянных. Калі X(t0) = Е, дзе Е — адзінкавая матрыца, to X(t) (абазначаюць яшчэ X(t,t0)) называюць матрыцай Кашы.
Калі X(t) фундаментальная матрыца сістэмы (1), то мае месца формула АстраградскагаЛіувіляЯкабі (гл. формулу (2.2.8)):
\X(t)\ = \X(t0)\e'^
(6)
Сапраўды,

*і2
(7)
Згодна з правілам дыферэнцавання па радках, вытворная ад дэтэрмінанта п га парадку роўна суме п дэтэрмінантаў, якія атрымліваюцца з дадзенага заменай па чарзе элементаў 1га, 2га,..., п га радка іх вытворнымі.
Практыкаванне 2. Самастойна правесці доказ формулы (7). (Гл. [11], п. 8.6, с. 61).
1	2 п
У сілу таго, што х ,х ,...,х рашэнні (1), маюць месца то
146
п
еснасці х^ =^aik(t)x^, і = 1,п. Замяняючы цяпер вытворныя к=1
хі],...,хі„ іх значэннямі з папярэдняга выразу ў zтым радку і га складніка сумы (7), будзем мець, што гэты іы дэтэрмінант мае ў ім радку элементы, якія з’яўляюцца сумамі п складнікаў. Такі дэтэрмінант роўны суме дэтэрмінантаў, у кожным з якіх пакінута адпаведна па аднаму складніку (гл. [12], разд. 1, п. 4.1, с. 49). Але ўсе гэтыя дэтэрмінанты, за выключэннем аднаго, роўныя нулю, у сілу таго, што ў zм радку ў іх стаяць элементы, якія з дакладнасцю да агульнага множніка супадаюць з элементамі некаторага іншага радка. He роўным нулю будзе толькі адзін дэтэрмінант, у zм радку якога будуць стаяць элементы а^Хц,..., а^х^. Гэты дэтэрмінант
будзе роўным ап \X(t)\. Таму ^^^^^^^'^0'^^ ■ АДКУЛЬ’ і=І
інтэгруючы атрыманае ўраўненне першага парадку, маем формулу (6).
Адзначым, што з формулы (6) можна атрымаць формулу (2.2.8).
Прыклад 1. Сістэма ўраўненняў х = (2sin t — cos t)x + + (sin t cos t)y, ў = 2(cos t sin t)x + (2 cos t sin t )y мае paшэнні x, = ecost, x2 = esin‘, y, = e^1, y2 = 2es,nl. Праверыць, ці ўтвараюць гэтыя рашэнні фундаментальную сістэму. Знайсці матрыцу Кашы гэтай сістэмы ўраўненняў і яе рашэнне пры ўмовах x(tt) = —1, у(п) = 2.
Рашэнне. Праверым, ці задавальняюць дадзеныя функцыі зыходнай сістэме. Будзем мець
— (e~cos '] = sinte~cos' = (2 sin tcost )e~cos 1 (sin tcost )e~cos 1, dt'	'
— (e~cos,] = sinte~cosl = 2(costsint)e~cosl (2costsint)e~cosl, dt'	7
147
—[esm')=costesm,=(2 sin tcost){esin']+(sin tcost)2esm 1,
^(2esin,) = 2costesinl = 2(costsin t)(~esm')+(2costsint)2esm‘.
Такім чынам, colon (x!, yj) \ colon (x2, y2 ) ёсць рашэнне сістэмы. Дэтэрмінант
ecosl
e~cos'
esin‘
2e
sin t
_ ^smt~cost
*0,
таму гэтыя функцыі ўтвараюць фундаментальную сістэму рашэнняў зададзенай сістэмы. Яе агульнае рашэнне запішацца
CCOSt „Sint	cost . „Sint
]в C2e , y = C,e +2C2e
Выбярэм з гэтага рашэння два, якія задавальняюць умовам хі(іо) = 1 ‘ Уі(1о) = °^ х2((о) = ° * У2(1о) = 1Д™ першага рашэння пастаянныя Cf і С2 вызначаем з сістэмы лінейных ураў
ненняў 1 = Cle~cos,u C2es,nl", 0 =С^05'0 + 2C2esin'°. Знаходзім С, =2ecos,°, C2=e~sin,o.
Аналагічна для другога рашэння
0 = Cjecos,° C2esm'°, 1 = Cjecos,° + 2C2es,nl°.
Адкуль С/ = ecos 0, С2 — e~sm'“. Шуканыя рашэнні маюць выгляд xt(t) = 2e~^os'~cost°^ — es'nl~s'n,o y^t) = _2e~(cos'~cos'0^ + 2esin,~sintl1 X2(t) = e~„sint lcost \2(e e ) 2e e
2
e
2es,nt
Sint	^„sint
, гэта значыць x = —e , y = ze
§	2. Метад выключэння для рашэння лінейных сістэм
3	дапамогай метаду выключэння, аналагічнага таму, які мае месца ў тэорыі лінейных алгебраічных ураўненняў, агульную сістэму лінейных ураўненняў з пастаяннымі каэфіцыентамі можна ў некаторым сэнсе прывесці да аднаго ўраўнення.
Разгледзім сістэму п X Ljs (P)xs = fj(t). j = in,	(8)
s=l
дзе xl,x2,...,xn невядомыя функцыі зменнай t, a f](t),,fn(t)~ зададзеныя функцыі t . Кожны сімвал LJS(p) паліном з пастаяннымі каэфіцыентамі адносна аператара дыферэнцавання р, гэта значыць Ljs(p)xs уяўляе сабою лінейную камбінацыю з пастаяннымі каэфіцыентамі адносна функцыі xs і яе вытворных. Лік ураўненняў сістэмы (8) роўны ліку невядомых функцый. Няхай qs парадак сістэмы (8) адносна невядомай функцыі xs, так што агульны парадак сістэмы (8) вызначаецца формулай q = q/ + qj+''+Qn (гл§ 4.1). Прымяняючы да (1) метад выключэння, будзем меркаваць, што кожная невядомая функцыя xs мае дастатковы лік вытворных і што кожная з функцый fj(t) мае дастатковы лік вытворных. У сілу гэтых меркаванняў звужаецца клас разглядаемых рашэнняў і клас разглядаемых ураўненняў. Першае з гэтых абмежаванняў можна зняць, даказаўшы, што калі X] ,Х2>...,хп ёсць рашэнне сістэмы (8) і