Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
t5 , x = C] + C2 cos t + C3 sin t + — 4t +24t.
г) Карані характарыстычнага ўраўнення EI2=+i, адкуль х0 = = C] cos t + С2 sin t. Лік а±ф = ±/ аднакратны корань характарыстычнага ўраўнення (выпадак 3°, б)). Такім чынам,
х* =t(fAt + B)cost + (Ct + D)sint\
Пасля адпаведных дзеянняў атрымаем (гл. прыклад а)) чатыры ўраўненні для знаходжання каэфіцыентаў: 2A + 2D = 0, 4С = 0,
2В + 2С = 0, —4А = 1, адкуль A =—, В = 0, С = 0, D = —.
4 4
t2 t
Такім чынам, х =—cost\—sint. Агульнае рашэнне дадзенага 4 4
ўраўнення
t2 1
х = Cj cos t + С2 sin t —cos t + ~sin t.
д) Характарыстычнае ўраўненне E4 1 = 0 мае карані Ej = 1, Е2 = 1, Е34 = ±і, таму х0 = С^' + С2е~' + С3 cos t + C4 sin t. У адпаведнасці з прынцыпам суперпазіцыі (гл. § 3) адшукваем частковае рашэнне х* = xj +х2+х3, дзе х* = Аеш (выпадак 2°, а)), х*2 =
= Be “(выпадак 2°, a)), х3 = Csin fit + Deos fit (выпадак 3°, a)) „ , ~ .
для a ^ p ^ 7. Знаходзячы вытворныя x3 , x2 , x3 i падстаўля
104
ючы іх выразы і х*3 ,х2,х3 у зададзенае ўраўненне, апісаным вышэй
метадам знаходзім А =—з, В = —т, С = 0, D = —. .
а41 а41 $41
Агульнае рашэнне мае выгляд
х = С^' + С2е ' + С3 sin t + C4 cos t +
а41 +$4Г
У выпадку, калі a = р = 7 (2° б), 3° б)), частковыя рашэнні адшук
ваюцца так: х* = Ate' ,х2 = Bte 1 ,х3 = t(Csin t + Deos t) . Агульнае рашэнне будзе мець выгляд
, t , t sin t
x = C/e + C2e + C3 sin t + C4 cos t+ ~(e e ) + ———.
§ 7. Ураўненне Эйлера
Ураўненне віду
tnx(n) + aItn'x(nI)+...+an_Itx + anx = O, дзе Uj= const (j = l,n), называецца аднародным ураўненнем Эйлера.
Заменай t = ех (пры t>0) ураўненне прыводзіцца да лінейнага аднароднага ўраўнення з пастаяннымі каэфіцыентамі. На практыцы рашэнне ўраўнення Эйлера адшукваюць у выглядзе х = екх = ~(ex)^=t^. Для знаходжання X атрымліваюць алгебраічнае ўраўненне п ай ступені. У сілу таго, што
dt
маем
№1).4Хп + 1) + аМХ1).^Хп + 2)+..Аа^2№^
(28) + іХ + ап = 0. п—і п
4а Зак. 970
105
Відавочна, што ўраўненне (28) супадае з характарыстычным ураўненнем для дыферэнцыяльнага ўраўнення па зменнаму Т.
Простаму кораню X7 ураўнення (28) адпавядае рашэнне t^1, a Лкратнаму кораню ^i к лінейна незалежных рашэнняў віду t^', t^‘ In t, t^1 (In t )2,..., t^' (In t)k~'. Калі каэфіцыенты ўраўнення сапраўдныя лікі, а характарыстычнае ўраўненне мае камплекснаспалучаныя карані Хо = а0 ±фд кратнасці к, то ўраўненне Эйлера мае 2к лінейна незалежных рашэнняў віду ta° cos ($0 In t), ta° In teas ф0 In t),..., ta° fin t)k~' cos fP0 In t), ta° sin fP0 In t), ta° In t sin ф0 In t),...,ta° (Int)^1 sin fp0 In t). Неаднароднае ўраўненне Эйлера
tnx(n) + a^”'1 x^^ +.. .+an_jtx + anx = f (t) таксама ўказанай вышэй падстаноўкай прыводзіцца да неаднароднага ўраўнення з пастаяннымі каэфіцыентамі. Пры гэтым, калі f (t)= Pm(lnt)ta, дзе Рт — паліном , то частковае рашэнне атрыманага ўраўнення можна знайсці метадам нявызначаных каэфіцыентаў па аналогіі з рашэннем неаднароднага лінейнага дыферэнцыяльнага ўраўнення з пастаяннымі каэфіцыентамі і правай часткай віду е™ Рт( thy выніку чаго адпаведнае ўраўненне Эйлера заўсёды інтэгруецца ў элементарных функцыях.
Прыклад 1. Рашыць ураўненне Эйлера t2x + 6tx + 4x = 0.
Рашэнне. Будзем шукаць рашэнне ў выглядзе x = t\ Тады атрымаем пасля падстаноўкі х, х = Xt k~l, х = Х((.~ l)t k~2 у зыходнае ўраўненне: t2\(\l)t^~2+6tktX~I+4t^ =0, адкуль ^Ck —l) + 6'k +4 = 0. Маем X] =1,^2 =4. Таму агульнае рашэнне запішацца так: х = Cjt"1 + С2і~4.
Прыклад 2. t2x + 5 lx + 4х = 0.
106
Рашэнне. Будзем мець, калі x — t\ t2XCkl)t^ ‘ +5t\t'' 1 + + 4t^=0, ХСк1) +5^ +4 = 0, адкуль \І2=2. Агульнае рашэнне, што адпавядае двухкратнаму кораню X ] 2 = 2, мае выгляд х = С^2 + C2t~2 In t.
Прыклад 3. Г х tx + 2х — t In t.
Рашэнне. Характарыстычнае ўраўненне (X 1 )к к + 2 = 0 ці )С 2)^ + 2 = 0 мае карані кІ2 = 1 + і. Таму агульнае рашэнне адпаведнага аднароднага ўраўнення будзе мець выгляд
х0 = t[Cj cos (In t) + C2 sin (In tj].
Частковае рашэнне адшукваецца ў выглядзе х = t(Ain t + В). Маем
* * Л
х = Alnt + В + А, х = —. Падстаўляючы ў дадзенае ўраўненне, атрымліваем
Att(Ain t + А + В) + 2t( Ain t + B) = tint
або At In t + Bt = t In t, адкуль А = 1,В = 0. Такім чынам, x* = = / In f. Агульным рашэннем будзе
x = t[Cj cos(ln t) + C2 sin(ln t)] + t In t.
§ 8. Лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне другога парадку
Разгледзім больш падрабязна ўласцівасці рашэнняў дыферэнцыяльнага ўраўнення другога парадку
a(t)x + b(t)x + c(t)x = f (t). (29)
Ураўненні віду (29) прымяняюцца пры апісанні і вывучэнні многіх з’яў у фізіцы, механіцы, тэхніцы. Так, напрыклад, калі а,Ь,ссапраўдныя пастаянныя ў (29), прычым а>0,Ь>0,с>0, гэта ўраўненне апісвае прамалінейны рух матэрыяльнага пункта з масай a уздоўж восі х пад уздзеяннем пругкай сілы (сх ), сілы трэння (Ьх)
4а*
107
і знешняй сілы f (t). Сапраўды, ураўненне (29), перапісанае ў выглядзе ax = bx сх + f (t), уяўляе сабой запіс другога закона Ньютана, пры гэтым x(t) каардыната матэрыяльнага пункта ў момант часу t, x(t) скорасць пункта, x(t) яго паскарэнне, b каэфіцыент трэння, с — каэфіцыент пругкасці.
Рухі матэрыяльнага пункта, якія апісваюцца ўраўненнем ваганняў (29), без знешняй сілы (f(t) = O) называюцца свабоднымі ваганнямі, а пры знешняй сіле вымушанымі ваганнямі. Падрабязны аналіз паводзін рашэнняў ураўнення ваганняў (29) у залежнасці ад яго каэфіцыентаў можна знайсці ў [3], глава VI, § 3, с. 417, у [18], глава II, § 10,с. 66.
Дапусцім, што ў (29) a(t),b(t),c(t) непарыўныя функцыі і f(t) = O, t & I = (a;b). Па тэарэме 1 задача Кашы для гэтага ўраўнення, калі a(t)^0 ^t е I, мае адзінае рашэнне, вызначанае на прамежку I. Згодна з заўвагай 1.2, калі рашэнне ператвараецца ў нуль разам са сваёй вытворнай у некаторым пункце з I, то гэтае рашэнне нулявое. Далей у гэтым параграфе пад рашэннем будзем разумець толькі ненулявое рашэнне. Таму, калі рашэнне х ператвараецца ў нуль у пункце t0 е I, to x(t0 ) * 0, і, значыць, для ўнутранага пункта t0 рашэнне х мяняе знак пры пераходзе праз t0, a графік рашэння перасякае вось / .
Разгледзім цяпер ураўненне
x + Q(t)x = 0, (30) дзе Q(t) — непарыўная функцыя на інтэрвале / .
Да ўраўнення віду (30) можна прывесці любое ўраўненне віду х +b(t)x + c(t)x = 0, дзе b(t),c(t) непарыўныя на некаторым інтэрвале I, a b(t) мае тут непарыўную вытворную, з дапамогай
падстаноўкі х = ze . Сапраўды, адносна z атрымаем
108
z + [c(t)^b2(t)^b(t)jz = 0.
Разглядаючы ўраўненні віду (30) з пастаяннымі каэфіцыентамі ха2х = 0 і х + а2х = 0, можна паказаць вялікую розніцу паміж характарам функцый, якія з’яўляюцца іх частковымі рашэннямі. Непасрэдным вылічэннем можна паказаць, што кожнае рашэнне ўраўнення ха^х — О на інтэрвале (к+°о) можа ператварыцца ў нуль не больш аднаго разу. А вось рашэнне ўраўнення х + а2 х = 0
П мае бясконцае мноства нулёў, адлегласць паміж якімі роўна —, прыа
Л
чым кожны інтэрвал даўжыні, большай за —, змяшчае, прынамсі, a
адзін нуль любога рашэння гэтага ўраўнення, а інтэрвал даўжыні, 2н
большай за —, прынамсі, два нулі. a
Калі рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення мае ў дадзеным інтэрвале не больш за адзін нуль, яно называецца няхісткім у гэтым інтэрвале, у процілеглым выпадку хісткім.
Тэарэма 4 (прызнак няхісткасці рашэнняў). Усякае рашэнне ўраўнення (30) з’яўляецца няхісткім на прамежку І]С.І, калі на гэтым прамежку Q(t)<0.
Такім чынам, хісткія рашэнні могуць існаваць толькі ў такіх інтэрвалах I , дзе пры некаторым tel будзе Q(t)> 0 . Mae месца
Тэарэма 5 (тэарэма Штурма). Калі t0 it) два паслядоўныя нулі рашэння х^/ўдыферэнцыяльнага ўраўнення другога парадку, то ўсякае іншае лінейна незалежнае рашэнне x2(t) гэтага ж ураўнення мае дакладна адзін нуль паміж t0 it].
Гэтая тэарэма можа быць сфармулявана і так: нулі двух лінейна незалежных рашэнняў узаемна раздзяляюць адзін аднаго. Так, напрыклад, два лінейна незалежныя рашэнні sin t і cos t ураўнення
109
х + х = О маюць нулі, якія ўзаемна раздзяляюць адзін аднаго. Гэтая тэарэма ўстанаўлівае, што ўсе рашэнні аднаго і таго ж ураўнення, наогул кажучы, маюць аднолькавы характар вагання.
Каб параўнаць характар ваганняў рашэнняў двух розных ураўненняў, карыстаюцца тэарэмай параўнання.
Тэарэма 6. Калі маем два ўраўненні
x + Qj(t)x = 0, y + Q2(t)y = 0 (31)
і калі Q2(t)> Qt(t) У прамежку /7 с /, то паміж кожнымі двума нулямі любога рашэння x(t) першага ўраўнення знаходзіцца, прынамсі, адзін нуль кожнага рашэння y(t) другога ўраўнення.
Можна сказаць, згодна з тэарэмай, што рашэнні другога з ураўненняў (31) больш вагаюцца, чым рашэнні першага ўраўнення.
Калі, захоўваючы ўмовы тэарэмы 6, дапусціць дадаткова, што Q2(t) > Qi(t) хоць для некаторых значэнняў t інтэрвала (to,'t/) і што y(to) = O ,чо наступны ўправа нуль y(t) будзе ляжаць лявей за
Прыведзеныя вышэй сцвярджэнні дапамагаюць даць ацэнку зверху і знізу адлегласці паміж нулямі хісткіх рашэнняў дыферэнцыяльных ураўненняў.
Тэарэму 6 часцей за ўсё прымяняюць, карыстаючыся ўраўненнямі (31), дзе Q2(t) — a~ — пастаянны лік. Калі ва ўраўненні х + + Q^)x = 0, Q(t) > 0 на некаторым [A;B], М = max Q, т = min QiM>m, то, параўноўваючы х + тх = 0 і х + Q(t)x = 0, \А:В]
атрымаем: адлегласць паміж двума паслядоўнымі нулямі ўраўнення л
х + Q(t)х = 0 менш, чым ~j=. Параўноўваючы ўраўненні х + + Q(t)x = 0 і х + Мх = 0 , атрымліваем, што адлегласць паміж дву
ма паслядоўнымі нулямі ўраўнення х + Q(t)х = 0 большая за —т=.
yjm
Прыклад 1. Разгледзім ураўненне x + tx = 0 пры t>0.
110
п2
Няхай лік а>0. Калі ўзяць t>—y дадзеным ураўненні, то, сГ
параўноўваючы з ураўненнем ў + ~у = 0 , знаходзім, што пры раза
глядаемых значэннях t нулі рашэнняў зыходнага ўраўнення знаходзяцца на адлегласці, меншай за a . Такім чынам, пры неабмежаваным узрастанні t паслядоўныя нулі ўсякага рашэння неабмежавана набліжаюцца.
Прыклад 2. Разгледзім ураўненне Эйлера (для t >0) a2 п
Х + —ГХ = 0.
Г
Яго рашэнні маюць выгляд і , дзе X корань ураўнення XfX 1) +a2 = 0 (гл. ураўненне (7.28)). Рашыўшы гэтае ўраўненне.
атрымаем ^/2 =
2 \4
•2 . Калі а2 > — , то карані І; Д, “камп
лексныя і рашэнні
/
X/ = t2 cos
а2 — In t , х2 = 4 ,
= t2 sin
' , 1 a — In t
4
маюць незлічонае мноства нулёў у інтэрвале (0,^). Калі а2 < — ,
КНІГІ ОНЛАЙН
