Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
2 Г (~К +1)
абазначаюць
(1)" р
Г(п + 1)Г(пХ + 1)(2
2пХ
Адзначым, што пры пX +1 < 0 функцыя Г(пХ +1) ператвара
ецца ў бясконцасць, гэта азначае, што адпаведныя члены рада для J\(t) роўны нулю.
Такім чынам, агульнае рашэнне ўраўнення (35) пры X, не роўным цэламу ліку, мае выгляд x(t) = C/J^ft) + C2J_x(t), дзе
Cj, С2 адвольныя пастаянныя.
Можна паказаць, што пры X, роўным палавіне няцотнага ліку, функцыя Беселя выражаецца праз элементарныя функцыі, таму што ў гэтым выпадку
J*(t)=% ТтоТЛ 't^n '.a+і)а+2)...а+п)~
00 / 1 / \Х+2л
~ £оп!Га + п + 1)[2) '
121
ffXj функцыя, якая ўваходзіць у азначэнне функцыі Беселя, пры
мае наступныя значэнні:
Функцыю Беселя пры X = w, дзе п — натуральны, можна запісаць
00 / 1 f . \2к+п оо / і \к f + \2к+п
j ft) 1 1
” ' ^ок!Г(п + к + 1)\2 ) ^к '(п + к )!{2 )
Для адмоўнага цэлага X частковае рашэнне не выражаецца функцыяй Беселя першага роду, і яго патрэбна адшукваць у выглядзе
r ^(OcostTajJ^t)
N„(t) = hm:, A няцэлае.
Х»л sin < лХ)
Функцыя Nn(t) называецца функцыяй Беселя другога роду або функцыяй Нэймана (гл. [21], с. 927). У гэтым выпадку агульнае рашэнне ўраўнення (35) мае выгляд
x = C,Jn(t) + C2Nn(t).
Даследуем вагальны характар рашэнняў ураўнення (35) у інтэрвале 0 у і A < ~ і менш за л пры —~<А<“
122
(каэфіцыент пры z будзе большы за 1 пры X* < — і меншы за 7
4
1 . 1
пры A >—). ^Ры ^ = ~; адлегласць пам*ж паслядоўнымі нулямі
функцый Беселя дакладна роўна Я. Гэта відавочна, таму што адпаведнымі функцыямі Беселя з’яўляюцца Jl(t) = J—sint, V ГО
7 i(t) = ,—cost. \н1
Заўважаючы , што пры дастаткова вялікім t выраз
1 — —рімкнецца да 1, можна сцвярджаць, што адлегласць паміж паслядоўнымі нулямі любой функцыі Беселя імкнецца да 11, калі t неабмежавана ўзрастае, гэта значыць, што вагальны характар функцый J^(t) і J^(t) набліжаецца да вагальнага характару функцый sin t і cos t.
Прыклад 1. Разгледзім на інтэрвале 0 < t < +°° ураўненне
Беселя х + ~х + х = 0. Увёўшы падстаноўку
x(t) = z(t) ■ е
/J*
y(t) 4t
(гл. § 8), для y(t) атрымаем дыферэнцыяльнае ўраўненне
z +
1 + —г z = 0.
4t2 )
(36)
Адным з рашэнняў зададзенага ўраўнення з’яўляецца функцыя ну
123
лявога парадку х = J0(t)= —7f ■ Адпаведнае рашэнне
к=о 2 [к!]
ўраўнення (36) мае выгляд
z(t) = Jt J0(t).
Ураўненне (36) параўнаем з ураўненнем ў + у = 0 . Рашэнне y = sint гэтага ўраўнення мае на інтэрвале (0,+<») бясконцае мноства нулёў tk = kit (к = 7,2,...). Па тэарэме 8.6 рашэнне z(t) ураўнення (36), а значыць, і функцыя J0(t) маюць на кожным з адрэзкаў [кл.ўк + 1)п] (к = 1, 2,...), прынамсі, адзін нуль.
Заўвага 1. Да ўраўнення Беселя прыводзяцца ўраўненні віду t2x + tx + (k2t2X2 )х = 0, (37)
дзе к некаторая пастаянная (к ^ 0\ Падстаноўка ^ = kt прыводзіць ураўненне (37) да ўраўнення
^■^^2^»' (38)
Агульнае рашэнне ўраўнення (38) (пры X , не роўным цэламу ліку) будзе х = C^fCj + C^J^t,), тады агульнае рашэнне (37) прыме выгляд
х = ClJK(kt) + C2J_\(kt).
Пры X цэлым: х = CIJn(kt) + C2Nn(kt).
Заўвага 2. Ураўненне віду
, d2х dx
t у + at ~~ + (b + ct )x~0,
dt2 dt
дзе a, b,c,mпастаянныя (c>0,m^0\ прыводзіцца з дапамогай новай незалежнай зменнай Т і новай функцыі й па формулах
124
a rm — U, t = Ы
, дзе
a1 n m 24c
a = —, P = —, Y =да 2 2m
ўраўнення Беселя
,d2u du 2 2 2 (aI)24b
X2—г + х — + (х2X2 )u = 0, X*='~2.
dx2 dx m'
Практыкаванне 2. Даказаць сцвярджэнне, сфармуляванае ў заўвазе 2.
Прыклад 2. Рашыць ураўненне ГІ + Й+ Г~ х = 0.
\ 4)
Рашэнне. Тут X = —
таму агульнае рашэнне ўраўнення мае
выгляд х = C/Jj + C2J і, дзе
2 ”2
1 if t1 e t‘
I =■ 12 1 —1—+
' L (з\ 23 2435 246357
2 22Гт V
2
3! + 5! 7!
Такім жа чынам атрымліваем J ]
2
t
. Таму агульнае ра
шэнне запішацца так: х = ^^{^is™ ^+ Q7 cos 0 ■
Прыклад 3. Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення 2 Г 2 Л л t‘x + tx + \ 4t — х = 0.
\ 4)
Рашэнне. Увядзём замену ^ = 2/ (заўвага 1). Тады
125
dx dx dL dx d2x d2x
— = — ■ — =?— = 4 dt d^ dt d^ ’ dt2 d^2 ’
У выніку атрымліваем ураўненне Беселя
якое мае пры няцэлым X = — рашэнне
х = С^М + С^ ,(Q = C,J,(2t) + C2J ^21).
2 2 2 2
Прыклад 4. Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення t2x3tx + (t412)х = 0.
Рашэнне. У гэтым выпадку (гл. заўвагу 2) маем каэфіцыен
ты: а=3, Ь=—12,с = 1, т = 4, таму а =
а1
2
= 2,
a
2^ 1 , (а1)24Ь
Y == т. X* ='^= <
т 2 т
Уводзім новую незалежную зменную т і функцыю й па формулах
X =
a
гтП
— й, або х = 2йх, дзе й = й(х), \ Y /
Тады
±J^21L dt dt
dr
d dx
^du 7
2— + x2u . dx
d2x 2 d‘u du
Аналапчна знаходзім —r = 4x‘—r+10x — + 2u. Падставіўшы ў dt dx dx
126
dx d2x
зыходнае ўраўненне замест t,x,—,—y іх выразы праз X і й, dt dt
, d~u du ^
атрымліваем ураўненне Беселя т —~ + Х — + (х — 4)й = 0, агульdx dx
нае рашэнне якога й = CiJ2(x) + C2N2(X) . Пасля пераходу да змен
t2 х
ных f і х па формулах X = — ,й = — атрымліваем рашэнне дадзеt
нага ураунення х = t
c.J2
+ c2n2
§ 11. Перыядычныя рашэнні лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў
Часта ў прыкладных задачах патрабуецца знайсці перыядычныя рашэнні тых ці іншых дыферэнцыяльных ураўненняў. У гэтых выпадках часам мэтазгодна адшукваць такія рашэнні ў выглядзе сумы некаторага рада Фур’е:
Ап «Я пп У
x(t) = — + 2] Ancos—t + Bnsin —t\.
Няхай, напрыклад, патрабуецца знайсці перыядычнае рашэнне лінейнага ўраўнення друтога парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі
х + р,х + р2х = f(t) . (39)
Для існавання перыядычнага рашэння гэтага ўраўнення неабходна патрабаваць, каб f (t) была перыядычнай функцыяй. Будзем лічыць, што f(t) мае перыяд 2к (калі яна мае перыяд Т, то, 2л
уводзячы замену незалежнай зменнай t]=—t, па (/ яна будзе мець перыяд 2л) і раскладаецца ў рад Фур’е
127
f (t) = г + ^ірк cos kt +bk sin kt).
2 к=1
Перыядычнае рашэнне адшукваем у выглядзе А °°
x(t) = + Х(4 cos kt+ ^к sin kt)
2 k=l
(40)
Прадыферэнцуем рад (40) пачленна два разы і падставім у (39). Будзем падбіраць каэфіцыенты рада (40) так, каб роўнасць (39) выконвалася фармальна. Параўноўваючы свабодныя члены і каэфіцыенты пры cos kt і sin kt у левых і правых частках атрыманай роўнасці, фармальна знаходзім
д _%L. д _ (Р2~к2)akPikbk ° Р2’ к (р2~к2)2 + р2к2
(41)
д (P2k2)bk+pjkak , , ,
(р2к* )2+ р2к2
Такім чынам, каб існавала рашэнне віду (40), неабходна, каб р2 *0
ао пры а0 *0. Рашэнне x(t) запішацца x(t) =I2р2
+ ^ (р2к2)2+р2к2
Калі р/= 0 ір2 = к2 ,к = 1,2,..., то перыядычнае рашэнне будзе існаваць у выпадку адсутнасці ў правай частцы членаў akcoskt, bksinkt, якія прыводзяць да з’явы рэзананса. Гэта значыць, згодна з азначэннем рада Фур’е (гл. [22], глава VII, § 55, п. 55.1, с. 9), што, толькі калі выконваюцца ўмовы
j 2П j 2П
ак = — |/ (t)cos kt dt = 0,bk = — j f (t)sin kt dt = 0, (42)
K o 11 o
перыядычныя рашэнні існуюць. Пры гэтым каэфіцыенты Ак і Вк
128
пры к^п знаходзяцца па формулах (41), а каэфіцыенты Ап і Вп пры к = п (pj=0,p2=n2) застаюцца адвольнымі, таму што выраз Ancosnt + Вп sin nt з’яўляецца агульным рашэннем адпаведнага аднароднага ўраўнення.
Калі ўмовы (42) не выконваюцца, ураўненне не мае перыядычных рашэнняў, наступае рэзананс і складніку, які прыводзіць да гэтай з’явы, ак coskt + bk sin kt у правай частцы будзе адпавядаць неперыядычны складнік віду t(Ак coskt + Вк sin kt) у той час, калі астатнія складнікі ў агульным рашэнні будуць перыядычнымі функцыямі.
Пры р2 =0 і а0 = 0 каэфіцыент Ао застаецца нявызначаным і ўраўненне (39) мае бясконцае мноства перыядычных рашэнняў, якія адрозніваюцца адно ад другога пастаянным складнікам.
Прыклад 1. Знайсці перыядычныя рашэнні ўраўнення
Y sin kt
x + 2x = 2J—r.
к=і К
Рашэнне. Падстаўляючы ў рад (40) каэфіцыенты Ак, Вк, вызначаныя па формулах (41), будзем мець sin kt
Прыклад 2. Знайсці перыядычныя рашэнні ўраўнення х + 4х = sin2 t.
Рашэнне. Умовы (42) існавання перыядычнага рашэння 2л 2п
запішуцца J sin2 t • sin 2t dt = 0, але J sin2 t • cos 2t dt *0 . Таму o o
перыядычнага рашэння не існуе.
Прыклад 3. Знайсці перыядычнае рашэнне ўраўнення хх = \sin t\.
5 Зак. 970
129
Рашэнне. Функцыя f (t) = \sin t\ перыядычная з перыядам It. Раскладваем яе ў рад Фур’е ў прамежку (1t; я) । \ 2 4 cos 2 kt
\sin л = — ~ X —5•
1 1 it п^4к21
Рашэнне дадзенага ўраўнення адшукваем у выглядзе (40). Згодна з умовай задачы і раскладаннем правай часткі ў рад Фур’е (гл. (39)), 4 4 1
маем Рі=0,р2=1, а0=~, а2к_!=0, а2к=—1—,
it it 4к 1
4 bk=0 (к = 1,2,...). Формулы (41) даюць Ао =—, А,к_] = 0,
А2к = — — •2, Вк = 0. Перыядычнае рашэнне мае від
л 16к 1 2 4 cos 2kt x(t) = ——\,з.
it т^ібк2!
§ 12. Краявыя задачы
Акрамя задачы Кашы, для звычайнага дыферэнцыяльнага ўраўнення часта даводзіцца рашаць так званыя краявыя або гранічныя задачы. У гэтых задачах значэнне шуканай функцыі і яе вытворных задаецца не ў адным, а ў двух пунктах, што абмяжоўваюць адрэзак, на якім патрабуецца вызначыць рашэнне.
Разгледзім падрабязна краявыя задачы для лінейных ураўненняў другога парадку def
l(x) = a0(t)x + aI(t)x + a2(t)x = f(t), a
КНІГІ ОНЛАЙН
