КНІГІ ОНЛАЙН

Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні

Памер: 436с.

Гародня 2000

75.93 МБ

G(s + 0,s)=G(s0,s), G,\ =GZ|	+ —.
'	7	1'1=^+0	"t^o a0(s)
Для таго, каб знайсці функцыю Грына краявой задачы (43), (44) неабходна знайсці два частковыя рашэнні x^t) і x2(t)
адпаведнага аднароднага ўраўнення
ao(t)x + a](t)x + a2(t)x = O, якія адрозніваюцца ад х = 0 і задавальняюць адпаведна першай і другой з краявых умоў (44), прычым x^t) не задавальняе адначасова абедзвюм краявым умовам.
Пры гэтым функцыю Грына адшукваем у выглядзе
G(t,s) =
^(s)Xj(t) пры a = фv(t),	(47)
дзе функцыі x0(t),u(t),v(t) знаходзяцца адпаведна з трох задач Кашы:
1)	l(x) = f (t),x(a) = х(а) = 0;
2)	1(х) = 0,х(а) = 1,х(а) = 0;
3)	1(х) = 0,х(а) = 0,х(а) = 1.
Падстаўляючы зададзеныя краявыя ўмовы ў (47), атрымаем сістэму двух ураўненняў для знаходжання каэфіцыентаў а і р.
132
Заўвага 2. Дэтэрмінант сістэмы (46), які з’яўляецца дэтэрмінантам Вронскага W^X](t),x2(t)] = W(t) у пункце t = s, не роўны нулю, і функцыі ^(s) і y(s), што задавальняюць сістэме (46), лёг, ,	x2(s)	z ,	X1(S)
ка знаходзяцца (р( s) = ———, W(s) = ———.
W(s)a0(s)	W(s)a0(s)
Адсюль
G(t,s) = \
x2(s)xi(t) W(s)a0(s) xi(s)x2(t) W(s)a0(s)
пры a 0.
135
Рашэнне. Пры X = 0 атрымліваем х = C]t + С2, і краявым умовам задавальняе толькі трывіяльнае рашэнне, гэта значыць X = 0 не з’яўляецца ўласным значэннем.
Пры X > 0 агульнае рашэнне запісваецца так: х = Cje^1 + + С2е~^'. Краявым умовам задавальняе толькі х = 0.
Няхай X < 0. Агульнае рашэнне дадзенага ўраўнення мае від х = Cj sin V_X t + C2 cos VX t. Краявыя ўмовы выконваюцца пры С2 = 0, С, sin JX b = 0.
Такім чынам, пастаўленая краявая задача мае ненулявыя
рашэнні, калі X о = kit, гэта значыць X = — , к = 1,2,....
\ b )
Уласныя функцыі, што адпавядаюць гэтым значэнням, маюць від kut
xk(t) = sin——, к = 1,2,....
К b
Варыянты заданняў для самастойнай працы
I.	1. Рашыць ураўненне х — 4х + Зх = 0.
2.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення х + 2кх + 2к2х = 5k2 sin kt.
3.	Рашыць метадам варыяцыі адвольных пастаянных ураўненне
х + 4х + 4х = e~2t In t.
4.	Даказаць, што лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне другога парадку a(t)x + b(t)x + c(t)x = 0, дзе a(t), b(t), c(t) непарыўныя на некаторым інтэрвале (t0;t^ функцыі, a(t)*0, можна
d ( dx}
прывесці да віду — \p(t)~\ + q(t)x = O.
5.	Рашыць краявую задачу х = f (t), х(а) = x(b) = 0.
136
t2 + 2t + 2
II.	1. Рашыць ураўненне x2x + x =j.
2.	Знайсці перыядычныя рашэнні ўраўнення х + х = cos t cos 2t.
3.	Пабудаваць функцыю Грына краявой задачы х — к'х = f(t), к*0, х(1) = х(1), х(1) = х(1).
4.	Даказаць, што калі (pf^ і \gf^ рашзшзі ўраўлскня ~(p(t)x\ + at
+ q(t)x = 0, то існуе такая пастаянная С, што ф(t)ў(t)
С
^(t)^(t) = —
P(t)
5.	Рашыцьураўненне t(t + l)x(t + l)x + x = O.
III.	1. Пабудаваць агульнае рашэнне ўраўнення Эйлера
t2 х + tx + 2x = 2cos (In t) + sin (In t).
2.	Пабудаваць рашэнне задачы Кашы ў выглядзе ступеннага рада x + tx = 0,x(0) = 0,x(0) = l.
3.	Знайсці рашэнні, што задавальняюць указаным краявым умовам x2x3x = 0,x(0) = l, lim x(t)O.
4.	Праінтэграваць лінейнае аднароднае ўраўненне х11 +х = 0.
■■ 3 ■
5.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення Беселя х +—х + 4х0.
IV.	1. Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення 'х + x = t.
2.	Пабудаваць функцыю Грына краявой задачы х + х = f(t), х(0) = х(1) = 0.
3.	Паказаць, што ўсякае рашэнне ўраўнення (1+Г)x+t: cos tx = 0 мае бясконцае мноства нулёў.
5а Зак. 970
137
4.	Устанавіць від частковага рашэння ўраўнення х2х + 2х = e'tsin t.
5.	Знайсці перыядычныя рашэнні ўраўнення х + 9х = sin3 t.
V.	1. Знайсці чатыры першыя члены раскладання ў ступенны рад дыферэнцыяльнага ўраўнення tx + xsint = t пры пачатковых умовах х(п) = 1, х(п) = 0.
2.	Рашыць ураўненне Эйлера
(t +1)3 х + 3(t +1)2 x + (t + 1)х = 6ln(t +1).
3.	Знайсці рашэнне ўраўнення х2х Зх = 0, якое задавальняе краявым умовам х(0) = 1, lim x(t) = 2.
4.	Устанавіць від частковага рашэння ўраўнення 'х + 2х + х = (2t + l)sin t + (t2 4t)cost.
5.	Праінтэграваць ураўненне х + 9х = sin3 t метадам варыяцыі адвольных пастаянных.
VI. 1. Знайсці агульнае рашэнне лінейнага аднароднага дыферэнцыяльнага ўраўнення другога парадку х + P](t)x + p2(t)x 0, калі вядома адно яго частковае рашэнне xt = x^t).
2.	Указаць від частковага рашэння ўраўнення
х + х = t2 cos t + 2sin t + e2' sin 2t + t3e'.
3.	Праінтэграваць пры дапамозе рада ўраўненне х + tx + х = 0.
4.	Знайсці рашэнне, якое задавальняе гранічным умовам с
х + х = t, х(0) = 1, х
5.	Рашыць ураўненне метадам варыяцыі адвольных пастаянных /
х + х =.
sin X
138
VIL 1. Паказаць, што рашэнні x0(t) = t2 е~' ,Xi(t) = te~‘, x2 = e аднароднага ліненнага ўраунення трэцяга парадку ўтвараюць базіс прасторы рашэнняў. Пабудаваць гэтае ўраўненне і запісаць для яго агульнае рашэнне.
2.	Рашыць задачу Кашы х Зх 2х = 9е21, х(0)0, х(0) = 3, х(0) = 3.
3.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення Беселя t'x+tx+(t2 ±)х = 0.
4.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення х,] + 5х + 4х = 0. t36
5.	Праінтэграваць ураўненне х + х = —р—.
VIII.	1. Скласці лінейнае аднароднае ўраўненне па яго агульным £ рашэнні х = (C] + C2t)е 3.
2.	Знайсці агульнае рашэнне ўраўнення Беселя t2x2tx + 4(t4 1)х = 0.
3.	Указаць від частковага рашэння ўраўнення х + х = sin t +1 cos t + е~' cos 2t + t2.
4.	Пабудаваць функцыю Грына для краявой задачы хх = f (t), x(t) абмежавана пры ўсіх t е (°°, °°).
5.	Знайсці агульнае рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення х + х = 2sin t 6cos t 12e‘.
IX.	1. Скласці лінейнае аднароднае ўраўненне другога парадку, агульным рашэннем якога з’яўляецца функцыя х = (С; cos t + C2 sin t)e2t + 3e2'.
2.	Знайсці рашэнне ўраўнення x + x = tg t, якое задавальняе краявым умовам х(0) = х\ ~ \ = 0.
)
5а*
139
3.	Знайсці чатыры першыя (не роўныя нулю) члены раскладання рашэння ўраўнення x = t2x + x3 пры х(0) = 1 у ступенны рад.
4.	Указаць від частковага рашэння ўраўнення x9x = (t2 + sin 3t)e~3'.
5.	Рашыцьураўненне х3х + 2х = 21.
X.	1. Знайсці ўсе рашэнні ўраўнення х4х + 5х = sin t, якія задавальняюць умове: x(t) абмежавана пры t^°°.
2.	Даказаць, што функцыі Xj = е^2'(cos ^2 t+ іsin^2 t), х2 — е~^1 (cos у/~2 t — іsinj~2 t) утвараюць фундаментальную сістэму рашэнняў ураўнення х4іх = 0. Ці з’яўляюцца функцыі Uj = Rexj, u2 = Re х2, vl=Imxl, v2Imx2 рашэннямі дадзенага ўраўнення? Ці мае дадзенае ўраўненне сапраўдныя рашэнні?