Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
(11 0
Жарданава матрыца мае выгляд J =
0
.0
1 0 . Адкуль
0 1)
eJ‘
е' te' 0
0 е' 0
< ° 0 е~‘ >
(гл. прыклады 811 § 2). Знаходзячы матрыцу
Т і адваротную да яе, будзем мець
186
Т =
0
3
0
2
2
Т~‘
6
2
3
2
еА‘ =TeJ‘T~'
0
3
0
2
2 >
е
0
0
2
3 te1
е
0
. Такім чынам,
0
0
е
6
2
2
5
2
3
(42t)e‘ Зе~' 6е' + 6е~' (62t)e‘ +6е~‘
(tl)e' + е~' Зе‘ 2е~' (t2)e‘ + 2е~'
(2t3)e‘ + 3е 6е‘ 6е~'
(2t5)e‘ +6е
. Тады
еА(,‘°>х0
0
= еА(І+2) 1
.0
'(t + l)e,+2 +е~(,*2)> зе‘+2е(‘+^
, te,+2+2е~(,*2) ,
JeA(t X)f(x)dx = 'о
2t + 2x)e‘xЗе~('Х)) (6е‘~х +6е~(‘х))ех
2t + 2x)e'x6e(,x))
ех
dx =
(' >
^((4 2t + 2х)е' Зе~'е2х) dx
2 t
\{6е' +6e~‘e2x)dx
2
j {(6 2t + 2х)е' 6e~‘e2x)dx
<2 ;
187
Прымяніўшы формулу для рашэння пачатковай задачы, будзем мець
+ te2t2 е'+
2 J 4 е +~е 2
е
(Зе2 9 t2)e' (2e~2 + Зе'4) е~' (5 + 2t + te2 і2)е' + (2е~2 + 3е~4)е~'
§ 6. Прымяненне пераўтварэння Лапласа да рашэння лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў і сістэм (аперацыйны метад інтэгравання)
1 . Агу.іьныя звесткі аб пераутварэнні Лапласа. Лперацыйны метад рашэння некаторых задач па знаходжанні функцыі x(t) сапраўднай зменнай / з ураўнення, што змяшчае гэтую функцыю пад знакамі вытворных ці інтэгралаў, заключаецца ў наступным:
1) ад шуканай функцыі x(t) пераходзяць да функцыі Х(р) *’ камплекснай зменнай р «выяве» x(t) ;
2) над выявай Х(р) праводзяць аперацыі, якія адпавядаюць зададзеным аперацыям над x(t), тым самым атрымліваюць «аператарнае ўраўненне» адносна Х(р),
3) атрыманае аператарнае ўраўненне вырашаюць адносна Х(р)\
4) ад знойдзенай выявы Х(р) пераходзяць да арыгінала x(t), які і з’яўляецца шуканай функцыяй.
Арыгіналамі будзем называць камплексназначныя функцыі сапраўднай зменнай t, такія што:
1) f (Q~^ Для ўс іх адмоўных t;
2) f (t) ~ кусочнанепарыўная, інтэгравальная на любым канечным прамежку восі t функцыя;
’’ У гэтым параграфе фундаментальная матрыца не выкарыстоўваецца, таму блытаніны з абазначэннямі не будзе.
188
3) f(t) узрастае не хутчэй паказнікавай функцыі, гэта значыць
існуюць такія пастаянныя М >O,so >0, што для ўсіх t \f(t)\< Mes°'. Лік s0 называюць паказнікам росту
Напрыклад, найпрасцейшай функцыяй арыгіналам з’яўляецца функ
'1, t>0, ' 0, t<0.
цыя f(t) =
Выявай функцыі f (t) (па Лапласу) называюць функцыю камплекснай зменнай р = s + ia, вызначаную судачыненнем
F(p) = \f(t)ep,dt, (41)
о дзе інтэграл бярэцца па дадатнай паўвосі.
Пераўтварэнне (41), што ставіць у адпаведнасць арыгіналу f(t) яго выяву F(p), называецца пераўтварэннем Лапласа. Пры
гэтым пішуць f(t)=F(p) або F(p) = f(t). Адзначым два
простыя прыклады пераўтварэння Лапласа: 1=—, е =—,
Р р^
якія непасрэдна атрымліваюцца з яго азначэння. Будзем абазначаць праз f (t), g(t),... арыгіналы, а праз F(p),G(p),... іх выявы. Непасрэдна з уласцівасцяў інтэгралаў
оо оо
F(P) = j f(t)e~pldt, G(p) = Jg(t)ep,dt,... o o
атрымліваем наступныя ўласцівасці. I. Уласцівасць лінейнасці. Для любых камплексных пастаянных а і р
af(i)+^g(t)=aF(p) + ^G(p).
Кіруючыся гэтай уласцівасцю, напрыклад, можна атрымаць
189
е^е^1 . 7/ 7
sin coz ==—
2і . 2і\ріш
Аналагічна
1 } (0
р + іы J р2 + co2 ’
р , , р
cos COZ — —jт, shayt = —зт, ch (tit — —7.
. p +0) . p co p* co*
II. Тэарэма падабенства. Для любога пастаяннага a > 0
f(at)=^F\
Р_ a
Сапраўды, мяркуючы az = Т, маем
f (ш)=^ f (at)e p,dt = —\ f (х)е аТЛ = р(о а о aka
III. Дыферэнцаванне арыгінала. Калі f(t) і f'(t)
арыгіналы або f,n)(t) з’яўляецца арыгіналам, то
f'(t)=pF(p)f(0),
(42)
або
f(n> (t) = pnF(p) pn'f(0) pn2f'(0).. f(n,}(0), (43)
дзе пад f,k)(0) будзем разумець правае лімітавае значэнне lim f+0
Сапраўды, пераходзячы да выяў і інтэгруючы па частках, атрымліваем
f(:)=\f(t)ep'dt = [nDe"']’ + pj f(l)ep,dt. • 0 0
У сілу таго, што Reр = s > s0, маем \f (t)е~р' | < Me(s~So>t, i падстаноўка Z = °° y першы член дае нуль, падстаноўка t — 0 дае
190
~f(0)> ДРУГІ член роўны pF(р),і формула (42) даказана.
Прымяніўшы гэтую формулу двойчы, атрымаем f"(t) = = [f'(t)] =p[pF(p)f(0)]f40) = p2F(p)pf(0)f'(0) і
г.д. Па індукцыі мае месца формула (43).
IV. Дыферэнцаванне выявы. Дыферэнцаванне выявы прыводзіцца да множання на / арыгінала або наогул
F^(p) = (l)ntnf(t).
(44)
3 інтэграла Лапласа (41), згодна з яго аналітычнасцю, маем F(p) =
= ^tf (t)e~pldt. Адкуль і атрымліваем роўнасць F'(р) = tf (t).
о
Затым F"(p) = \t2f(t)e~p,dt F(n) (р) = (1Д j tnf(t)e~p,dt. o o
n! Прымяняючы ўласцівасць IV, можна атрымаць t
п ь п! р2Ы2
(pW (p2+(a2)2’ (p2+(a2)2
V. Інтэграванне арыгінала. Інтэграванне арыгінала прыводзіц
ца да дзялення выявы на /? J
о
. Пераўтварыўшы па
Лапласу роўнасць
If CW =f(l)3 улікам формулы (42) і
абазначэння \ f (X)dl = g(t), атрымаем о
191
f(t) = g'(t)=pG(p).
Такім чынам, для выявы f(t) маем F(p) = pG(p), адкуль
G(p) =
F(p) Р
VI. Інтэграванне выявы. Калі інтэграл j F(p)dp збягаецца, то р
• f(<) f(O ен служыць выяван функцыі ——
t J
р
Сапраўды, F(p)dp = dp^ f (t)е р'dt. Мяркуючы, што
р
шлях інтэгравання (р,°°) Re р> a > s0, атрымаем
р о увесь ацэнку
ляжыць у паўплоскасці ўнутранага інтэграла
з якой
вынікае яго раўнамерная
о
0
збежнасць адносна р. Таму можна змяніць парадак інтэгравання
оо оо оо ОО _ . .
J F(p)dp = \f(t)dt\e~p,dp = J —^~e~p,dt.
p Op o 1
sint °r dp
Прымяняючы ўласцівасць VI, знойдзем =1
p1 P
— — arctg p = arcctg p. Прымяняючы ўласцівасць V, знойдзем
r sin t arcctg
выяву інтэгральнага сінуса si t = dt =
n ‘ P
192
VII. Тэарэмы спазнення. Для любога а>0
f(ta) = epaF(p).
(45)
3за таго, што f (t а) = 0 пры t < a , пасля замены t a = Т ат
рымаем
f(ta)=j f(ta)e~p,dt = J f(x)ep(x+a)dx = e^Ftp). a 0
Аналагічна даказваецца формула (a>0)
f(t + a)=epa
( a A
F(p)\f(t)ep,dt < o /
Прымяняючы формулу (31), можна, напрыклад, знайсці для і >~
\ t~ = е 2 •—5—7
VIII. Тэарэ.ма зрушэння. Для любога камплекснага a
ea,f(t)=F(pa).
Маем ea,f(t) = jf(t)e~(pa)'dt = F(pa). о
Тэарэма дазваляе па вядомых выявах функцый знаходзіць выявы тых жа функцый, памножаных на экспаненту, напрыклад:
Р + к
е sin (Of =—5г, е cos (Of =—57,
(р + Х)2+Ы2 . (р^\)2 ^^
„ пе* t =
(р^Г'
IX. Тэарэма множання (Э.Барэля) 8. Здабытак дзвюх выяў
F(p) і G(p) таксама з’яўляецца выявай, прычым
7 Зак. 970
193
F(p)G(p)=jf(x)g(tx)dx. o
Інтэграл y правай частцы называецца згорткай функцый f (t) і g(t)
t
і абазначаецца (f*g)=jf(X)g( tX )dx.
o
Тэарэма 8 сцвярджае, што множанне выяў раўназначна згорт
ванню арыгіналаў (f*g) = F(p)G(p).
Карыстаючыся гэтай тэарэмай і правілам дыферэнцавання арыгінала (формула (42)), атрымаем так званы інтэграл Дзюамеля: pF(p)G(p)=^(f*g) = ^$f(x)g( t x)dx.
at 0
Выконваючы ў гэтым інтэграле дыферэнцаванне, атрымаем t
PF(P)G(p)=f(t)g(O) + \f(x)g'(tx)dx.
o
Апошнюю роўнасць называюць формулай Дзюамеля.
Карыстаючыся прыведзенымі вышэй формуламі, можна, напрыклад, знансці арыпнал j (t) па выяве F(p) =
Р 1
Запішам F(p) у выглядзе р—5• —5. У сілу таго, што
р +1 р +1
1 Р
Sint=—:, COSt =—;, TO
р2+1 р2+1
р \ d \
р—7—;•——;=— ш t*sint) = — cos xsin (tx)dx =
p~ +1 p+ldty dto
194
= cos tsinO + ^COS T ■ cos(t T^dX = ~(t COS t + sin t).
0 2
Аб іншых тэарэмах множання гл., напрыклад, [28], глава VI, § 1,с.477.
2° . Знаходжакне арыгінала па выяве. Прывядзём некаторыя прыёмы знаходжання арыгінала f (t) па вядомай выяве F(р) , дзе А(р)
F( р) = —— ёсць правільны рацыянальны дроб. Аб тэарэмах В(р)
раскладання і формулах можна прачытаць [28], глава VI, § 1, с. 480; [29], раздзел 16, п. 16.2, с. 227; [30], глава Ш, § 9, с. 27.
На практыцы зручна прымяняць наступны спосаб знаходжання арыгіналаў для выяў, якія з’яўляюцца рацыянальнымі функцыямі: функцыю раскладваюць на прасцейшыя дробы і знаходзяць для кожнай з іх арыгінал, карыстаючыся прыведзенымі вышэй уласцівасцямі пераўтварэння Лапласа.
А(р)
Арыгіналам функцыі F(p) = —;—, F(p) правільны раВ(р)
цыянальны дроб, служыць функцыя ([28], с. 484)
ЛО = Хт:—777 lim F^r{F(p)(pPk)keP}’ k=i(nk p^Pk dp k
дзе pk полюсы F(p), a nk ix кратнасці, i сума бярэцца па ўсіх полюсах.
У выпадку, калі ўсе полюсы рк функцыі F(p) простыя,
гэта значыць пк = 1, к — 1,1, апошняя формула спрашчаецца і мае выгляд
"""^■i^rF' <46)
к=/ ° (Рк)
Калі паліномы А(р) і В(р) маюць сапраўдныя каэфіцыенты, то апошнюю формулу можна запісаць у выглядзе
7*
195
B(p) . ^B'(pk)
+ 2Re£
^pjs_LePi,' B'(pk)
дзе першая сума распаўсюджана на ўсе сапраўдныя карані В(р), a другая на ўсе камплексныя карані з дадатнымі ўяўнымі часткамі.
А(р)
Калі выява мае выгляд F(p)~ ———дзе ступень А(р) не Рв(р)
перавышае ступені В(р) і В(р) мае простыя карані, не роўныя нулю, замест формулы (46) атрымліваем
JLpL_^!1A ^м_ й<
рВ(р) В(0) £,ркВ'(Рі)г ■ дзе сума бярэцца па ўсіх каранях В(р).
Прывядзём табліцу асноўных арыгіналаў і іх выяў, якія часта сустракаюцца пры рашэнні тых ці іншых задач. Больш пашыраную табліцу можна знайсці ў [28] на стар. 502.
№ п/п. Арыгінал f (t) Выява F(p) = ^ f (t)e pldt 0
1 1 P
2 tn(n = l,2,...) n! Pn+I
3 ta(a>l) Г(а + 1) Pa+1
4 е^ 1 p\
5 sin (Ot co 2 2 p + Ш
196
№ п/п. Арыгінал f (t) oo Выява F(p)^f(t)e~pldt 0
6 COS (fit _P_ p2 +(H2
7 sh (fit co p2 m2
8 ch Git p p2 co2
9 sin (ta) (a > 0) — e~ap P2
10 cos(ta) (a>0) ——— e~ap P2 +1
11 t”^1 ,n = l,2,... n! (PW
12 tae^ fa > 1) Г(а +1) (Р^Г'
13 eb sin (at co ( ph)2 + co2
14 e^ cos (at p — X ( pK)2 + a2
15 t sin (at 2 pdf (p2 + a2)2
16 t cos (at p2 ~(f>2 (p2 + a>2)2
17 t shaft 2paf (p2 (a2)2
197
№ п/п. Арыгінал f (t) Выява F( p) = ^ f (t )e pldt 0
18 t chad p2 +(1T (p2a2)2
19 Jn(t),n = l,2... ^P2 +1
20 si t arcctg p P
21 1Л/7 p
22 In t p nac ( 1 1 ІПС ,c = 0,57722l P ) :таянная Эйлера
3°. Рашэнне лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў з пастаяннымі каэфіцыентамі аперацыйным метадам.
Няхай зададзена лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне п га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі
х(п> + а^"^ +.. .+ап_]Х + апх = f (t), (47)
дзе х = x(t); t >0.
Патрабуецца знайсці рашэнне ўраўнення (47), якое задавальняе пачатковым умовам
х(0) = хо,х(О) = х0>... ,х(п~1> (0) = х^^. (48)
Калі правая частка f (t) ураўнення (47) арыгінал, то відавочна, што і рашэнне x(t) гэтага ўраўнення з’яўляецца арыгіналам. Няхай
КНІГІ ОНЛАЙН
