Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні
Памер: 436с.
Гародня 2000
^С^рП + р^.ГіЛ f] = p^ + at| + G^,n/
(33)
У абодвух выпадках астаткавыя члены р(^,Т|) і О(^,Т|) валодаюць тымі ж уласцівасцямі, якія былі адзначаны вышэй для функцый F^x.y) і F2(x,y) .У першым выпадку сістэма прыме выгляд (32), калі прыняць за восі напрамкі ўласных вектараў матрыцы
ay.J = 1,п,
J = ^n >
Практыкаванне 1. Знайсці такое лінейнае пераўтварэнне каардынат і,у у каардынаты ^,Т|, каб сістэма (30) прыняла выгляд адпаведна (32) або (33) (гл., напрыклад, [26], глава II, § 14. с. 98).
Прывядзём тэарэмы, якія вызначаюць паводзіны траекторый паблізу да пунктаў спакою.
Тэарэма 10. Дапусцім, што пачатак каардынат О сістэмы (27) уяўляе сабой фокус, гэта значыць уласныя значэнні матрыцы
ау,) = 1,п, J = 1,п
з’яўляюцца камплексна спалучанымі лікамі
339
Х = а + ф, Х = а —z'P, прычым а ^ 0, р / 0. Калі а<(/, топры /—>«5 усе траекторыі, што праходзяць паблізу пункта О, намотваюцца на пачатак каардынат О як спіралі, калі ж a > 0, то пры t —» —оо усе траекторыі, што праходзяць паблізу пункта О, намотваюцца на пачатак каардынат О як спіралі.
Тэарэма 11. Няхай 0 = (0,0) устойлівы вузел сістэмы (27) з уласнымі значэннямі X/ і Х2, прычым Х2 <Х7 <0. У напрамку ўласнага вектара з уласным значэннем X/ правядзём праз О прамую /;, а ў напрамку ўласнага вектара з уласным значэннем Х2 прамую 12. Тады кожная траекторыя, што пачынаецца дастаткова блізка да пункта О, асімптатычна набліжаецца да О пры t —> +« і мае ў пункце О датычную. Пры гэтым толькі дзве траекторыі датыкаюцца прамой 12, падыходзячы да пункта О з процілеглых бакоў, астатнія ж усе датыкаюцца прамой //. У выпадку няўстойлівага вузла {0<\І<"к2) паводзіны траекторый пры /—»<» аналагічныя.
Практыкаванне 2. Даказаць самастойна тэарэму 11 аб паводзінах траекторый паблізу вузла (гл., напрыклад, [26], глава V, §30, с. 261).
Тэарэма 12. Будзем меркаваць, што становішча раўнавагі О = (0,0) сістэмы (27) з’яўляецца сядлом. Няхай 1/ прамая, што
праходзіць праз пункт О у напрамку ўласнага вектара матрыцы
aij,j = l,n, j = l.n
з адмоўным уласным значэннем, а 12 прамая, што
праходзіць праз пункт О у напрамку ўласнага вектара матрыцы
aij,j = l,n, J = ^n
з дадатным уласным значэннем. Тады (мал. 14) існу
юць роўна дзве траекторыі U/ i U2 сістэмы (27), якія пры t —> +°° асімптатычна набліжаюцца да пункта О. Гэтыя траекторыі разам з
340
пунктам О утвараюць непарыўную дыферэнцавальную крывую U, якая датыкаецца прамой /, у пункце О.
Гэтак жа сама існуюць роўна дзве траекторыі V] і V2 сістэмы (27), якія пры t —> <» асімптатычна набліжаюцца да пункта О, гэтыя траекторыі разам з пунктам О утвараюць непарыўную дыферэнцавальную крывую V, якая датыкаецца прамой 12 у пункце
Мал. 14 О. Астатнія траекторыі сістэмы (27), што праходзяць паблізу пункта О. паводзяць сябе, у агульным, так жа, як і ў выпадку лінейнага ўраўнення (гл. § 3.8).
Практыкаванне 3. Даказаць самастойна тэарэму 12 аб паводзінах траекторый паблізу сядла (гл., напрыклад, [26], глава V, § 30, с. 253).
Заўвага 1. У тым выпадку, калі для лінейнай сістэмы пункт х = 0,у = 0 з’яўляецца цэнтрам, для сістэмы (27) ён можа быць
фокусам або цэнтрам. Для існавання цэнтра дастаткова, каб фазавыя крывыя мелі вось сіметрыі, якая праходзіць праз даследаванае становішча раўнавагі. Відавочна, што вось сіметрыі існуе, калі ўраўненне (28) не мяняецца пры замене х на — х (або у на у). Для існавання фокуса неабходна і дастаткова, каб становішча раўнавагі было асімптатычна ўстойлівым пры t —> +°° або t —> » (пра паняцце праблемы цэнтра і фокуса гл. [3], глава V, § 4, п. 143, с. 323, [35], глава I, с. 5).
Заўвага 2. Пры выясненні пытання існавання лімітавых цыклаў сістэмы ўраўненняў (27) часта карыстаюцца прынцыпам кольца, які быў прапанаваны Пуанкарэ (гл. прыклад 4.8.1), крытэрыем Бендзіксона, які ўказвае дастатковую ўмову адсутнасці лімітавых цыклаў (гл. [9], глава VII, § 55, с. 228): калі ў некаторым ад
341
дР dQ
назвязным абсягу на фазавай плоскасці выраз т~+ т~ знакапасах ду
таянны, тады ў гэтым абсягу не існуе замкнутых контураў, цалкам складзеных з фазавых траекторый дынамічнай сістэмы (27), або крытэрыем Дзюлака (гл. [39], глава IV, § 3, с. 47): калі існуе такая аналітычная функцыя F(x,y), што ў некаторым адназвязным аб
э
э
сягу на фазавай плоскасці выраз —(PF) + ~(QF) знакапастадх ду
янны, то ў гэтым абсягу не існуе замкнутых контураў, цалкам складзеных з фазавых траекторый сістэмы (27).
Прыклад 1. Даследаваць тып усіх становішчаў раўнавагі сістэмы ўраўненняў
dx ~dt
^У dt
Рашэнне. 3 сістэмы алгебраічных ураўненняў 2ху = 0, х~+у —1 = 0 знаходзім усе становішчы раўнавап разглядаемай сістэмы: О](—1,0), 0,(1,0), О3(0,1), О4(0,1). Характарыстычнае ўраўненне, якое адпавядае становішчу раўнавагі (х0,уп), мае
выгляд
~2Уо~^
2хо
~2х0
2Уо~^
= 0, \2 + 4(х2у2) = 0.
Пры х0 =0, у0 = +1 гэтае ўраўненне мае сапраўдныя карані розных знакаў Х; = 2, ^2 — 2< таму становішчы раўнавагі О3 і О4 з’яўляюцца сёдламі. Прычым вось ардынат складаецца з фазавых крывых, тры з якіх з’яўляюцца сепаратрысамі гэтых сёдлаў:
х = 0, у < 1;х = 0,1 <у < 1;
х = 0,у > 1, да таго ж сепаратрыса х = 0, 1<у<1 з’яўляецца агульнай для двух сёдлаў (выходзіць для сядла О3 і ўваходзіць для сядла О4).
342
Пры х0 = ±7, Уо 0 карані характарыстычнага ўраўнення з’яўляюцца чыста ўяўнымі: ХІ2=+2і, таму становішчы раўнавагі O] і
Мал. 15
О2 зыходнай сістэмы могуць быць або цэнтрамі, або фокусамі. Паколькі ўраўненне фазавых крывых
dy х2 +у2 1
dx 2ху
не мяняецца пры замене у—у, фазавыя крывыя зыходнай сістэмы сіметрычныя адносна восі абсцыс. Адсюль вынікае, што пункты О/ і О> з’яўляюцца цэнтра
мі. Напрамак руху па замкнутых
фазавых крывых у наваколлі гэтых цэнтраў можна вызначыць наступным чынам. 3 другога ўраўнення сістэмы заключаем, што фазавы пункт перасякае вось абсцыс так, што y(t) = x2(t)l. Зна
чыць, яго ардыната ў гэты момант узрастае, калі фазавы пункт перасякае вось абсцыс у пунктах, для якіх |х| > 7, і ўбывае, калі |х| < 7 (мал. 15).
§ 6. Прыклады даследавання сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў, як матэматычных мадэляў, метадамі якаснай тэорыі
Прыклад 1. Кансерватыўная механічная сістэ.ма з адной ступенню свабоды. Такая сістэма (без трэння) апісваецца ўраўненнем другога парадку
x = f(x).
(34)
Будзем меркаваць, што f (х) функцыя непарыўная разам са сваёй
343
вытворнай на некаторым інтэрвале І = (а;Ь). Патэнцыяльнай энергіяй механічнай сістэмы называюць функцыю
X
U(x) = $f(t>№ (aU(0) пры х ^О).
р2
Пабудуем функцыю V(x,p) = U(x)U(0) + —, якую
на
зываюць поўнай энергіяй механічнай сістэмы. Відавочна, ЭГ W, , х
і тады, у сілу тэарэмы 2, становішча раўнавагі х = 0, р = 0 устойлівае па Ляпунову.
Няхай х = 0 пункт строгага максімуму патэнцыяльнай
344
энергіі U(x) і f'(O)>O,xaau U'(0) = 0, U"(0) =f'(0) < 0. Па формуле Тэйлара атрымаем
U'(x) = U'(0)+U"(0)x + ~U"7Qx )x2 = U"(0 )x ~^f"(Qx)x2,
(o 
КНІГІ ОНЛАЙН
