Геаметрыя вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання

Геаметрыя

вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання

Выдавец: Народная асвета

Памер: 165с.

Мінск 2012

63.7 МБ

У. У. Шлыкаў ГЕАМЕТРЫЯ ПРЫМЕТЫ РОЎНАСЦІ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ ПРЫМЕТЫ ПАДОБНАСЦІ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ ПЕРШАЯ ПРЫМЕТА па дзвюх старанах і вугле паміж імі ДРУГАЯ ПРЫМЕТА па старане і прылеглых да яе вуглах ТРЭЦЯЯ ПРЫМЕТА па трох старанах А A, AB=AtBi, ВС = В(\, СА = С,А, ПЕРШАЯ ПРЫМЕТА А СА, С, АА = AAt,AB = ZB} ДРУГАЯ ПРЫМЕТА ТРЭЦЯЯ ПРЫМЕТА ПРЫМЕТЫ ПАРАЛЕЛЬНАСЦІ ПРАМЫХ СУАДНОСІНЫ Ў ПРАМАВУГОЛЬНЫМ ТРОХВУГОЛЬНІКУ Па роўнасці накрыж ляжачых вуглоў Па роўнасці адпаведных вуглоў Па суме градусных мер аднастаронніх вуглоў Сінус і косінус вугла Тэарэма Піфагора Тангенс і катангенс вугла Z5+Z6=180°=>allZ> УЛАСЦІВАСЦІ ПАРАЛЕЛЬНЫХ ПРАМЫХ Квадрат даўжыні катэта Квадрат вышыні Плошча прамавугольнага трохвугольніка У. У. Шлыкаў ГЕАМЕТРЫЯ Вучэбны дапаможнік для 9 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання Дапушчана Міністэрствам адукацыі РэспублікіБеларусь 3е выданне, выпраўленае Мінск «Народная асвета» 2012 УДК 514(075.3=161.3) ББК 22.151я721 Ш69 Рэцэнзенты: кафедра алгебры і методыкі выкладання матэматыкі ўстановы адукацыі «Віцебскі дзяржаўны ўніверсітэт імя П. М. Машэрава» (канд. пед. навук, прафесар Я. Я. Сямёнаў); настаўнік матэматыкі вышэйшай катэгорыі дзяржаўнай установы адукацыі «Сярэдняя агульнаадукацыйная школа № 153 г. Мінска» A. I. Абрамовіч Пераклад з рускай мовы Н. М.Алганавай ISBN 9789850317223 © Шлыкаў У. У., 2006 © Шлыкаў У. У., 2012, са змяненнямі © Алганава Н. М., пераклад на беларускую мову, 2012 © Афармленне. УП «Народная асвета», 2012 ЗМЕСТ Раздзел 1 Упісаныя і апісаныя многавугольнікі § 1. Узаемнае размяшчэнне прамой і акружнасці. Датычная да акружнасці.......................................... 6 § 2. Цэнтральныя і ўпісаныя вуглы...................... 23 § 3. Адметныя пункты трохвугольніка ................... 39 § 4. Упісаныя і апісаныя трохвугольнікі................ 47 § 5. Упісаныя і апісаныя чатырохвугольнікі............. 58 Раздзел 2 Суадносіны паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка § 1. Тэарэма сінусаў................................... 73 § 2. Тэарэма косінусаў. Рашэнне трохвугольнікаў........ 83 Раздзел 3 Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга § 1. Правільныя многавугольнікі........................ 97 § 2. Даўжыня акружнасці. Радыянная мера вугла..........112 § 3. Плошча круга. Плошча сектара......................124 Раздзел 4 Задачы для паўтарэння § 1. Трохвугольнікі і акружнасць.......................139 § 2. Чатырохвугольнікі і акружнасць ...................151 Адказы.................................................158 Дадатак................................................163 Шаноўныя сябры! Выкладзены ў дадзеным вучэбным дапаможніку матэрыял адносіцца да заключнай часткі курса геаметрыі, якая традыцыйна называецца планіметрыяй. У першым раздзеле разглядаюцца ўласцівасці ўпісаных і апісаных вуглоў. Раней ужо было разгледжана паняцце акружнасці і датычнай да яе. Цяпер гэтыя паняцці вывучаюцца больш дэталёва, даказваюцца ўласцівасць і прымета датычнай да акружнасці, разглядаецца пытанне аб пабудаванні датычнай да акружнасці з дапамогай цыркуля і лінейкі. Тут жа вывучаюцца ўласцівасці цэнтральных і ўпісаных вуглоў, даказваюцца тэарэмы аб градуснай меры ўпісанага вугла, аб уласцівасці адрэзкаў перасякальных хордаў акружнасці, а таксама аб уласцівасці адрэзкаў сякучай і датычнай. Акрамя таго, у першым раздзеле даказваюцца тэарэмы аб пунктах перасячэння бісектрыс і вышынь трохвугольніка. Далей выкладаюцца ўласцівасці ўпісаных і апісаных трохвугольнікаў і чатырохвугольнікаў. У другім раздзеле разглядаюцца пытанні аб суадносінах паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка, даказваюцца тэарэмы сінусаў і косінусаў. Тут на ўзроўні задач разглядаецца пытанне аб знаходжанні элементаў трохвугольніка з дапамогай тэарэмы сінусаў і косінусаў. У трэцім раздзеле выкладаюцца пытанні аб правільных многавугольніках, даказваюцца тэарэмы аб упісанай і апісанай акружнасцях, выводзяцца формулы для знаходжання элементаў правільнага многавугольніка праз радыус упісанай або апісанай акружнасці. Далей разглядаюцца паняцце даўжыні акружнасці, формулы даўжыні акружнасці і яе дугі, плошчы круга, сектара і сегмента. У канцы раздзела прыведзены задачы для паўтарэння. Сістэма задач у вучэбным дапаможніку забяспечвае арганізацыю сістэматычнага паўтарэння вучэбнага матэрыялу. Разглядаюцца задачы, якія садзейнічаюць развіццю прасторавых уяўленняў, а прапанаваная ў вучэбным дапаможніку сістэма графічных мадэляў накіравана на фарміраванне графічнай культуры вучняў. УПІСАНЫЯ I АПІСАНЫЯ МНОГАВУГОЛЬНІКІ Раздзел 1 УПІСАНЫЯ I АПІСАНЫЯ МНОГАВУГОЛЬНІКІ § 1. Узаемнае размяшчэнне прамой і акружнасці. Датычная да акружнасці 1. Узаемнае размяшчэнне прамой і акружнасці. Разгледзім пытанне аб узаемным размяшчэнні прамой і акружнасці. Раней ужо адзначалася, што магчымы тры выпадкі ўзаемнага размяшчэння прамой і акружнасці: 1) прамая мае толькі два агульныя пункты з акружнасцю; 2) прамая мае толькі адзіны агульны пункт з акружнасцю; 3) прамая не мае агульных пунктаў з акружнасцю. Калі прамая мае два агульныя пункты з акружнасцю, то яна называецца сякучай. Узаемнае размяшчэнне акружнасці й(О, R) з цэнтрам у пункце О радыуса R і прамой I характарызуецца суадносінай паміж адлегласцю d(O, I) ад цэнтра О акружнасці да прамой I і радыусам R акружнасці. Дакажам гэта. 1)Прамая I мае толькі два агульныя пункты з акружнасцю, калі адлегласць ад цэнтра акружнасці да прамой I меншая за радыус акружнасці, г. зн. калі d(O, I) < R (рыс. 1). Няхай прамая I не праходзіць праз цэнтр О акружнасці і адлегласць d(O, l) = т, т < R. Абазначым OF (Fei) — перпендыкуляр, праведзены з пункта О да прамой I, тады OF = т. Няхай пункты A і В ляжаць на пра мой I так, што FA = FB = \ R~ т2. Дакажам, што пункты A і В належаць акружнасці. Сапраўды, паколькі па тэарэме Піфагора ОА = JOF2 +FA2 = ^т2 +(R2 т2) =R і ОВ= \/OF2 + FB2 = = ^т2 + (R2 т2) = R, to ОА = OB = R. Такім чынам, пункты A і В — агульныя пункты прамой і акружнасці. Дакажам, што іншых агульных пунктаў прамая I і акружнасць й(О, R) не маюць. Упісаныя і апісаныя многавугольнікі Дапусцім, што існуе яшчэ адзін пункт X — агульны для акружнасці і прамой. Тады цэнтр акружнасці О роўнааддалены ад пунктаў A, В і X, а значыць, ён ляжыць на пасярэдніх перпендыкулярах Іг і 12 да адрэзкаў AB і ВХ, г. зн. О — пункт перасячэння пасярэдніх перпендыкуляраў Іх і 12. Але паколькі Ц ± I і l211, то Іг || 12. Атрымалі супярэчнасць. Значыць, наша дапушчэнне няправільнае і іншых агульных пунктаў прамой і акружнасці няма. Калі прамая I праходзіць праз цэнтр О акружнасці, г. зн. d(O, I) = 0, то яна перасякае акружнасць у двух пунктах, якія з’яўляюцца канцамі дыяметра, што ляжыць на гэтай прамой. 2) Прамая I мае толькі адзін агульны пункт з акружнасцю, калі адлегласць ад цэнтра акружнасці да прамой I роўна радыусу акружнасці, г. зн. калі d(O, I) = R. Няхай адлегласць ад цэнтра акружнасці да прамой I роўна радыусу акружнасці, а пункт F — аснова перпен дыкуляра, праведзенага з цэнтра акружнасці да прамой I (рыс. 2). Тады OF = R, a значыць, пункт F ляжыць на акруж насці. Іншых агульных пунктаў прамая і акружнасць не маюць. Сапраўды, для любога пункта X прамой I, які не супадае з пунктам F, выконваецца ўмова OX > OF, OF = R, паколькі нахіленая ОХ большая за перпендыкуляр OF. Такім чынам, пункт X не ляжыць на акружнасці. 3) Прамая I не мае агульных пунктаў з акружнасцю, калі адлегласць ад цэнтра О акружнасці да прамой I большая за радыус акружнасці, г. зн. калі d(O, I) > R. Няхай адлегласць ад цэнтра О акружнасці да прамой I большая за радыус R. Абазначым літарай F аснову перпендыкуляра, праведзенага з цэнтра О акружнасці да прамой I (рыс. 3). Тады OF = d(O, I), d(O, I) > R. Для лю Рыс. 3 8 Раздзел 1, § 1 бога пункта X прамой выконваецца ўмова OX > OF > R, значыць, пункт X не ляжыць на акружнасці. Такім чынам, у выпадку d(O, l)> R прамая і акружнасць не маюць агульных пунктаў. 2. Датычная да акружнасці. Разгледзім выпадак, калі прамая і акружнасць маюць адзіны агульны пункт. Прамая, якая мае адзіны агульны пункт з акружнасцю, мае спецыяльную назву — датычная. Азначэнне. Датычнай да акружнасці называецца прамая, якая мае з акружнасцю толькі адзін агульны пункт. Адзіны агульны пункт прамой і акружнасці называецца пунктам дотыку прамой і акружнасці. Калі прамая I мае адзіны агульны пункт А з акружнасцю, то гавораць, што прамая I датыкаецца да акружнасці ў пункце А. Тэарэма 1 (аб уласцівасці датычнай). Датычная да акружнасці перпендыкулярна радыусу гэтай акружнасці, праведзенаму ў пункт дотыку. Доказ. 1) Няхай прамая I датыкаецца да акружнасці ®(О, R) у пункце А (рыс. 4). Дакажам, што I J_ ОА. 2) Дапусцім, што гэта не так. Тады радыус ОА з’яўляецца нахіленай да прамой I. Перпендыкуляр, праведзены з пункта О да прамой I, меншы за нахіленую ОА, таму адлегласць ад цэнтра акружнасці да прамой меншая за радыус. Значыць, прамая і акружнасць маюць два агульныя пункты, што супярэчыць умове. Такім чынам, прамая I перпендыкулярна радыусу ОА. Тэарэма даказана. Разгледзім вынікі з дадзенай тэарэмы. Няхай праз пункт А праведзены дзве прамыя, якія датыкаюцца да акружнасці со(0, R) у пунктах С і В. Тады адрэзкі AB і AC называюцца адрэзкамі датычных, праведзенымі з пункта А (рыс. 5). Упісаныя і апісаныя многавугольнікі 9 Вынік 1. Адрэзкі датычных да акружнасці, праведзеныя з аднаго пункта, роўныя. Доказ. 1) Няхай AB і AC — адрэзкі датычных, праведзеныя з пункта A (рыс. 5). Для доказу роўнасці АВ = = АС разгледзім трохвугольнікі АВО і АСО. 2) Па ўласцівасці датычнай Z1 = 90° і Z2 = 90°, г. зн. трохвугольнікі ABO і АСО — прамавугольныя. 3) ЛАВО = ЛАСО, паколькі АО — агульная гіпатэнуза, а катэты OB і ОС роўныя як радыусы акружнасці. Адсюль вынікае, што АВ =АС. Вынік 1 даказаны. 3 роўнасці трохвугольнікаў ABO і АСО вынікае таксама, што Z3 = Z4. Такім чынам, атрымаем яшчэ адзін вынік. Вынік 2. Адрэзкі датычных да акружнасці, праведзеныя з аднаго пункта, утвараюць роўныя вуглы з прамой, якая праходзіць праз гэты, пункт і цэнтр акружнасці.