Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
227. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC, калі ZABC = 30° і AC = 6 см.
228. У трохвугольніку ABC градусныя меры вуглоў А і С роўны адпаведна 45° і 30°. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка, калі вышыня, праведзеная з вяршыні В, роўна 4 см.
229. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC, калі AC =8^3 cm, ZA = 40° і ZC = 20°.
230. Радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC, роўны V3 см. Вылічыце даўжыню стараны AC, калі ZA = 40°, ZC = 80°.
231. Асновай прамой трохвугольнай прызмы АВСА1В1С1 з’яўляецца трохвугольнік ABC, у якога ZA = 80°, ZB = 40°, а радыус апісанай каля яго акружнасці роўны 4^3 см. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля грані ААуВ^В, калі плошча гэтай грані роўна 60 см2 (рыс. 71, а, б, в).
Суадносіны паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка 81
232. Вылічыце плошчу паралелаграма ABCD, калі яго перыметр роўны 12 см, АВ = 2 cm і A ABC = 30°.
233. Вылічыце плошчу прамавугольніка, даўжыня дыяганалі якога роўна 4 см, а градусная мера вугла паміж дыяганалямі роўна 30°.
234. Знайдзіце плошчу паралелаграма ABCD, калі Z САВ = = a, ZCAD = р і AC = т.
235. Вылічыце плошчу трохвугольніка, даўжыня адной стараны якога роўна 4 см, а градусныя меры прылеглых да яе вуглоў роўны 30° і 45°.
236. У трохвугольніку даўжыні дзвюх старон роўны 15 см і 6\/3 см. Вылічыце плошчу трохвугольніка, калі вышыні, праведзеныя да гэтых старон, перасякаюцца пад вуглом, градусная мера якога роўна 60°.
237. У востравугольным трохвугольніку ABC даўжыні старон AB і ВС роўны адпаведна 10 см і 18 см. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC, калі вышыня, праведзеная з вяршыні В, роўна 6 см.
238. Вышыня BD, праведзеная да асновы раўнабедранага трохвугольніка ABC, роўна т, a ZABC = 30°. Праз сярэдзіну вышыні BD праведзена прамая, якая перасякае бакавыя стораны AB і ВС у пунктах Е і F адпаведна. Знайдзіце даўжыню адрэзка EF, калі ZBEF = 60°.
4.3ак.158.
82
Раздзел 2, §1
239. Радыус акружнасці, апісанай каля востравугольнага трохвугольніка ABC, роўны 10 см. Адрэзак BD — вышыня трохвугольніка, АВ = 10 cm і AD = 6 см. Вылічыце даўжыню стараны ВС.
240. Адрэзак BF — медыяна трохвугольніка ABC, ZABC = 75°, ZCBF = 45°. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABF, калі радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка CBF, роўны 2^2 см.
241. У трохвугольніку ABC градусныя меры вуглоў А і С роўны адпаведна а і у, адрэзак AD — бісектрыса трохвугольніка. Знайдзіце адносіну плошчаў трохвугольнікаў ABD і ADC.
242. Знайдзіце плошчу раўнабедранай трапецыі ABCD з асновамі AB і CD, каліАО = а, ZBCA = (p і ZCDA = а.
243. Знайдзіце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC, калі ZB = {i, ZA = a, а вышыня BF роўна h.
244. Даўжыня стараны ВС трохвугольніка ABC роўна а, a ZA = a. Пункт О— цэнтр акружнасці, упісанай у трохвугольнік ABC. Знайдзіце радыус акружнасці, якая праходзіць праз пункты В, С і О.
245. Асновай прамой трохвугольнай прызмы АВСА1В1С1 з’яўляецца раўнабедраны трохвугольнік ABC, у якога АВ = = ВС = 15 см. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC, калі сума плошчаў бакавых граней прызмы роўна 216 см2, а даўжыня бакавога канта роўна 4 см.
246. Акружнасць радыуса В. праходзіць праз вяршыні А і В трохвугольніка ABC і датыкаецца да прамой AC у пункце А. Знайдзіце плошчу трохвугольніка ABC, калі Z CAB = а і ZABC = ^.
247*. У раўнабедраным трохвугольніку ABC даўжыня асновы AC роўна а, адрэзак CM — бісектрыса трохвугольніка, МК || AC, К е ВС. Знайдзіце плошчу трохвугольніка КВМ, калі ZBCA = a.
§ 2. Тэарэма косінусаў. Рашэнне трохвугольнікаў
1. Тэарэма косінусаў. У дадзеным параграфе дакажам тэарэму, якая звязвае даўжыні трох старон трохвугольніка і косінус аднаго з яго вуглоў. Гэтая тэарэма называецца тэарэмай косінусаў і фармулюецца наступным чынам.
Тэарэма 1 (тэарэма косінусаў). Квадрат даўжыні любой стараны трохвугольніка роўны суме квадратаў даўжынь дзвюх іншых яго старон без падвоенага здабытку даўжынь гэтых старон на косінус вугла паміж імі.
Доказ.
1) Няхай адрэзак СН — вышыня трохвугольніка ABC, вугал A — востры, АС= Ь, СВ = а, АВ = с (рыс. 72).
2) У прамавугольным трохвугольніку АСН знойдзем CH = b sinA, AH = b cos A, BH = cb cos A.
3) Выкарыстаем тэарэму Піфагора для трохвугольніка СВН: СВ2 = СН2 + + ВН2, або a2 = (b sin A)2 + {cb cos A)2. Адсюль атрымаем: a2 = b2 sin2 A + c2
2bc cos A + b2 cos2 A, або a2 = b2 + c2 2bc cos A, паколькі b2 sin2 A + b2 cos2 A = &2(sin2 A + cos2 A) b2 ■ 1 = b2.
Няцяжка даказаць, што формула правільная і ў выпадку, калі вугал A — тупы. У гэтым выпадку правядзіце доказ самастойна.
Калі вугал A — прамы, то тэарэма косінусаў уяўляе сабой тэарэму Піфагора: а2 = Ь2 + с2, паколькі ў гэтым выпадку cos A = cos 90° = 0.
Тэарэма даказана.
Аналагічна квадраты даўжынь старон b і с выражаюцца адпаведна формуламі Ь2 = а2 + с2 2ас cos В і с2 = а2 + Ь2 2ab cos С.
Задача 1. У трохвугольніку ABC АВ = 5 см, ВС = 7 см, AC = 8 см. Дакажыце, што градусная мера вугла, які ляжыць супраць стараны ВС, роўна 60°.
84
Раздзел 2, §2
Доказ.
Па тэарэме косінусаў правільная роўнасць ВС2=АВ2 + + АС2 2АВ AC cos А. Такім чынам, 49 = 25 + 64 2 • 5 • 8 cos A. Адсюль знойдзем cosA = і. Значыць, ZA = 60°.
Што і трэба было даказаць.
Задача 2 У паралелаграме ABCD ZABC = 120°. Бісектрыса
вугла В перасякае старану AD паралелаграма ў пункце F,
AF = 3 cm і FD = 2 см. Вылічыце даўжыню адрэзка BF і
даўжыню дыяганалі AC паралелаграма.
Дадзена:
ABCD — паралелаграм, ААВС= 120°, BF — бісектрыса, AF = 3 cm, FD = 2 см (рыс. 73, а, б). Знайсці: BF і AC.
Рашэнне.
1) Разгледзім трохвугольнік ABF. Паколькі BF — бісектрыса вугла ABC і ZABC = 120°, to ZABF = 60°. Сума градусных мер вуглоў, прылеглых да адной стараны паралелаграма, роўна 180°, значыць, ZBAF = 60°. Паколькі сума градусных мер вуглоў трохвугольніка роўна 180°, to ZAFB = 180° 120° = 60°. Такім чынам, у трохвугольніку ABF градусная мера кожнага вугла роўна 60°, г. зн. гэты трохвугольнік — роўнастаронні і BF AF = АВ = 3 см.
2) Для вылічэння даўжыні дыяганалі AC выкарыстаем тэарэму косінусаў. У трохвугольніку ABC па тэарэме косінусаў запішам AC2 = AB2 + ВС2 2АВ • ВС cos 120°. Паколькі ВС =AD =AF + FD = 5 cm, to AC2 = З2 + 52 2 • 3 • 5 cos 120°. Паколькі cosl20° = ^ , то адсюль знойдзем AC = 7 см.
Адказ: BF = 3 cm, AC = 7 см.
Тэарэма косінусаў дазваляе даказаць шэраг сцверджанняў, карысных пры рашэнні многіх задач. Дакажам некаторыя з такіх сцверджанняў.
Суадносіны паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка 85
Задача 3 Дакажыце, што калі a, b і с — даўжыні старон трохвугольніка ABC, то даўжыні яго медыян та, ть і тс
могуць быць вылічаны па формулах та = ~\]2Ь^ + 2с2 а2 ,
Доказ.
Дакажам, напрыклад, першую формулу. Няхай адрэзак AF — медыяна трохвугольніка ABC, AB = с, AC = b, ВС = a (рыс. 74, а).
Прыменім тэарэму косінусаў для трохвугольніка ABF, у якім АВ = с, BF=a, AF = та. Можам запісаць 2
т2 с2 + y2c|cosB. Па тэарэме косінусаў для трохвуа2 + с2 Ь2
гольніка ABC маем cosB =. Такім чынам, атры
2ас
2 2 a2 О а а2+с2Ь2 2Ь2+2с2а2 .
маем тп = с + — 2с • ^ • =. Адсюль
° 4 2 2ас 4
вынікае, што та = ^FM^+Zc2 а2 . Доказ дзвюх іншых формул правядзіце самастойна (рыс. 74, б, в). Заўважым, што пры доказе пазначаных формул можна выкарыстаць наступную задачу.
Задача 4. Няхай dr і d2 —■ даўжыні дыяганалей паралелаграма, a і b — даўжыні яго старон. Дакажыце, што сума квадратаў даўжынь дыяганалей паралелаграма роўна суме квадратаў даўжынь яго старон, г. зн. d2 + d^ = 2(а2 + b2).
Ф 4a.3ak.158.
86
Раздзел 2, §2
Доказ.
Няхай у паралелаграме ABCD АВ = а, BC = b, ZBAD = a, AC = dr і BD = d2 (рыс. 75).
Па тэарэме косінусаў для трохвугольніка ABD правільная роўнасць d2 =а2 + b2 2ab cos a (1).
Для трохвугольніка ABC па тэарэме косінусаў d2 =a2 + b2 2ab cos (180° a). Паколькі cos (180° a) = cos a, to d2 =
= a2 + b2 + 2ab cos a (2). Склаўшы роўнасці (1) i (2) пачленна, атрымаем d2 + d^ = 2(a2 + b2). Што i трэба было даказаць.
Задача 5. Дакажыце, што плошчу любога трохвугольніка можна знайсці па формуле S = р(р а)(р Ь)(р с) (формула Герона), дзе a, b і с — даўжыні старон трохвугольніка, а + Ь + с „ ,
а р = —— — яго пауперыметр (рыс. 76).
Доказ.
Няхай у трохвугольніку ABC АВ = с, ВС = а, АС = Ь.
Па тэарэме косінусаў правільная роўнасць а2 Ь2 + с2 2bc cos А. Адсюль a Ь2 + с2 a2 cosA = (1).
2bc
Паколькі плошча трохвугольніка S = |&csinA, to 2S = &csinA або 4S = 2fecsinA. Адсюль sinA = — (2).
Улічыўшы роўнасці (1) і (2) і роўнасць sin2 A + cos2A = 1, атрымаем (^j+(“^——)=1. Адсюль 16S2=4b2c2(b2+c2a2)2.
Выкарыстаўшы формулу рознасці квадратаў двух выразаў, пераўтворым правую частку атрыманай роўнасці на
ступным чынам:
4Ь2с2 (Ь2 + с2 a2)2 = (2Ьс + Ь2 + с2 а2)(2Ьс Ь2 с2 + а2) = = ^(Ь + с)2 а2^а2 (Ьс)2^ =
= (Ь + с + а)(Ь + с а)(а + Ь с)(а b + с) =
= 2р(2р 2а)(2р 2с)(2р 2Ь) = 16р(р а)(р Ь)(р с).
Суадносіны паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка 87
Значыць,
16S2 = 1бр(р а)(р Ь)(р с), або
S = у]р(ра)(рЬ)(рс).
Што і трэба было даказаць.
Задача 6. У трохвугольніку ABC AB = с, ВС = a і AC = Ь. Знайдзіце радыус г паўкруга, упісанага ў дадзены трохвугольнік, калі цэнтр О паўкруга належыць старане АВ (рыс. 77, а).
а)
б)
Рыс. 77
Д а д з е н а: ЛАВС, АВ = с, ВС = а, АС = Ь, О — цэнтр упісанага паўкруга. Знайсці: г.
Р а ш э н н е.
1) Няхай паўкруг датыкаецца да старон AC і СВ у пунктах К і Е адпаведна. Злучым цэнтр О з пунктамі К, С і Е (рыс. 77, б).
2) Радыус, праведзены ў пункт дотыку, перпендыкулярны датычнай, значыць, адрэзкі OK і ОЕ з’яўляюцца вышынямі трохвугольнікаў АОС і ВОС адпаведна. Плошча S^ трохвугольніка ABC роўна суме плошчаў трохвугольнікаў АОС і ВОС. Значыць,
S^c ~АС • ОК + ^ВС • ОЕ = ^АС • г + ^ВС • г =
= ^АС + ВС) = ^а + Ь).
Адсюль атрымаем r = 2Sabc .
a + Ь
3) Па формуле Герона S^ = 7р(р а)(р Ь)(р с), дзе р = а+^+с, Такім чынам, г = ^^РІР ~ ^)(Р Ь)(р с).
А д к а з: г = ^^р(р а)(р Ь)(р с).
88
Раздзел 2, §2
2. Рашэнне трохвугольнікаў. Рашыць трохвугольнік — значыць па трох яго элементах знайсці іншыя яго элементы. Прывядзём прыклады задач на рашэнне трохвугольніка.
КНІГІ ОНЛАЙН
