Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
5) Радыус г упісанай акружнасці можна знайсці, ведаючы радыус R апісанай акружнасці, па формуле r = ftcos^^.
п
У прамавугольным трохвугольніку OArF r = OF = = Esin(90°—j = Ясоз— (рыс. 86, а). Што і трэба было даказаць.
5. Пабудаванне правільных многавугольнікаў. Пытанне аб пабудаванні правільнага трохвугольніка ўжо разглядалася. Пакажам, якім чынам можна з дапамогай цыркуля і лінейкі пабудаваць правільны трохвугольнік, упісаны ў акружнасць.
Задача ] Пабудуйце правільны трохвугольнік, упісаны ў дадзеную акружнасць.
Пошук рашэння.
Няхай правільны трохвугольнік ABC упісаны ў акружнасць з цэнтрам у пункце О. Правядзём дыяметр BF гэтай акружнасці, абазначым літарай Т пункт перасячэння гэтага дыяметра са стараной AC. Тады месцазнаходжанне пункта Т на адрэзку OF характарызуецца роўнасцю ОТ = TF; паколькі цэнтр роўнастаронняга трохвугольніка ёсць пункт перасячэння медыян, mo OT = ~OB=—R. Акрамя таго, AC 1 BF. Цяпер можна ажыццявіць пабудаванне (рыс. 87, а).
Пабудаванне.
1) Праводзім дыяметр BF акружнасці і будуем пункт Т — сярэдзіну адрэзка OF (рыс. 87, б).
104
Раздзел 3, §1
2) Будуем прамую I, якая праходзіць праз пункт Т і перпендыкулярна дыяметру BF (рыс. 87, б).
3) Адзначым пункты A і С перасячэння прамой I з акружнасцю.
4) Будуем адрэзкі BA і ВС (рыс. 87, в). Трохвугольнік ABC — шуканы.
Дакажыце самастойна, што пабудаваны трохвугольнік — правільны.
Задача 2. Пабудуйце правільны шасцівугольнік, старана якога роўна дадзенаму адрэзку а.
Пошук рашэння.
Няхай ABCDFE — правільны шасцівугольнік, старана якога роўна а. Разгледзім апісаную каля гэтага шасцівугольніка акружнасць. Вядома, што радыус акружнасці, апісанай, каля правільнага шасцівугольніка, роўны яго ста
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 105
ране, г. зн. R = АВ = ВС = CD = DF = FE = ЕА = а (рыс. 88). Гэта можна выкарыстаць для пабудавання шасцівугольніка.
Пабудаванне.
1) Будуем акружнасць co з цэнтрам О і радыуса а.
2) Выбіраем на гэтай акружнасці адвольны пункт А і будуем акружнасць ю^А, а). Адзначаем пункты В і Е перасячэння акружнасці co, з акружнасцю co (рыс. 88, б).
3) Далей будуем пункт С, які з’яўляецца адным з пунктаў перасячэння акружнасці co і акружнасці й2(В, а). Аналагічна будуем пункты D і F. Шасцівугольнік ABCDFE — шуканы (рыс. 88, в).
Заўважым, што рэзультат задачы 1 дазваляе пабудаваць правільны шасцівугольнік, калі пабудаваны правільны трохвугольнік.
Пытанні да § 1
1. Які многавугольнік называецца правільным?
2. Якая акружнасць называецца апісанай каля многавугольніка?
3. Ці правільна, што каля любога правільнага многавугольніка можна апісаць акружнасць?
4. Якая акружнасць называецца ўпісанай у многавугольнік?
5. Па якой формуле можна вылічыць даўжыню стараны правільнага ziвугольніка, калі вядомы радыус упісанай у яго акружнасці?
6. Па якой формуле можна вылічыць даўжыню стараны правільнага nвугольніка, калі вядомы радыус апісанай каля яго акружнасці?
7. Па якой формуле можна вылічыць плошчу правільнага nвугольніка, калі вядомы радыус апісанай каля яго акружнасці?
Задачы да § 1
289. Вылічыце градусныя меры вуглоў правільнага: а) пяцівугольніка; б) дзесяцівугольніка; в) дванаццацівугольніка.
290. Колькі старон мае правільны многавугольнік, калі градусная мера яго вугла роўна: а) 150°; б) 156°; в) 144°?
™5.3ак.І58.
106
Раздзел 3, §1
291. Плошча квадрата, апісанага каля акружнасці, роўна 16 см2. Вылічыце плошчу квадрата, упісанага ў акружнасць.
292. Перыметр квадрата, упісанага ў акружнасць, роўны 12 см. Вылічыце: а) радыус дадзенай акружнасці; б) радыус акружнасці, упісанай у квадрат; в) перыметр квадрата, апісанага каля дадзенай акружнасці.
293. Плошча квадрата, упісанага ў акружнасць, роўна 8 см2. Вылічыце: а) радыус гэтай акружнасці; б) даўжыню стараны правільнага трохвугольніка, упісанага ў дадзеную акружнасць; в) даўжыню стараны квадрата, апісанага каля дадзенай акружнасці.
294. Дакажыце, што адносіна плошчы квадрата, упісанага ў акружнасць, да плошчы квадрата, апісанага каля гэтай акружнасці, роўна 1:2.
295. У акружнасць радыуса 12 см упісаны правільны трохвугольнік. Вылічыце: а) вышыню трохвугольніка; б) адлегласць ад цэнтра акружнасці да прамой, якая змяшчае яго старану; в) даўжыню стараны трохвугольніка; г) радыус упісанай у гэты трохвугольнік акружнасці.
296. Перыметр правільнага трохвугольніка, апісанага каля акружнасці, роўны 18^3 см. Вылічыце плошчу квадрата, апісанага каля гэтай акружнасці.
297. Вылічыце плошчу правільнага трохвугольніка, апісанага каля акружнасці радыуса 4 см.
298. Прамыя, якія праходзяць праз вяршыні правільнага трохвугольніка ABC і паралельны яго процілеглым старанам, перасякаюцца ў пунктах А15 Вх і Сх (рыс. 89, а). Дакажыце, што трохвугольнік А1В1С1 — правільны.
299. Правільны трохвугольнік ABC упісаны ў акружнасць з цэнтрам у пункце О. Пункты F, Т1D — пункты перасячэння праменяў CO, AO і ВО з акружнасцю адпаведна (рыс. 89, Й). Дакажыце, што шасцівугольнік AFBTCD — правільны.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 107
300. Пункты F, Т і К — пункты, сіметрычныя цэнтру О роўнастаронняга трохвугольнікаАВС адносна прамых AB, ВС і AC адпаведна. Дакажыце, што шасцівугольнік AFBTCK — правільны.
301. Адрэзак АВ — дыяметр акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О. Праз сярэдзіны Р і К радыусаў AO і ВО праведзены прамыя Іх і 12, якія перасякаюць акружнасць у пунктах F, Т і D, С адпаведна і перпендыкулярны дыяметру АВ. Дакажыце, што шасцівугольнік FATCBD — правільны (рыс. 89, в).
302. Даўжыня стараны правільнага трохвугольніка, упісанага ў акружнасць, роўна 4^3 см. Вылічыце перыметр правільнага шасцівугольніка, упісанага ў гэтую акружнасць.
303. У акружнасць радыуса R упісаны квадрат ABCD. Пункты Т і F — сярэдзіны старон AB і AD адпаведна (рыс. 90, а). Знайдзіце плошчу трохвугольніка TCF.
108
Р а з д з е л 3, §1
304. У акружнасць з цэнтрам у пункце О і радыуса R упісаны правільны трохвугольнік ABC. Адрэзкі AF і TD — узаемна перпендыкулярныя дыяметры акружнасці (рыс. 90, б). Знайдзіце плошчу чатырохвугольніка TBCD.
305. Пункты Т, F, К і Р — адпаведна сярэдзіны старон AB, ВС, CD і DA квадрата ABCD (рыс. 90, в). Вылічыце плошчу квадрата ABCD, калі радыус акружнасці, упісанай у чатырохвугольнік PTFK, роўны 10 см.
306. Радыус акружнасці, апісанай каля правільнага чатырохвугольніка ABCD, роўны R. Знайдзіце радыус акружнасці, апісанай каля чатырохвугольніка, вяршынямі якога з’яўляюцца сярэдзіны старон чатырохвугольніка ABCD.
307. Даўжыня меншай дыяганалі правільнага шасцівугольніка роўна 10 см. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля гэтага шасцівугольніка.
308. Вылічыце плошчу правільнага шасцівугольніка ABCDEF, калі плошча трохвугольніка BCD роўна 10 см2.
309. У акружнасць радыуса R упісаны правільны шасцівугольнік ABCDEF. Знайдзіце радыус акружнасці, упісанай у трохвугольнік BDF.
310. Дакажыце, што плошчу S правільнага шасцівугольніка, упісанага ў акружнасць радыуса R, можна знайсці па формуле S = ^^R2.
311. Дакажыце, што плошчу S правільнага шасцівугольніка, апісанага каля акружнасці радыуса г, можна знайсці па формуле S = 2j3r2.
312. Пункт О — цэнтр правільнага шасцівугольніка ABCDEF. Дакажыце, што: а) трохвугольнік BDF — правільны; б) чатырохвугольнік АВСО — ромб.
313. Радыус акружнасці, апісанай каля правільнага шасцівугольніка ABCDEF, роўны R. Дакажыце, што чатырохвугольнік ACDF з’яўляецца прамавугольнікам. Знайдзіце плошчу прамавугольніка ACDF (рыс. 91, а).
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 109
Рыс. 91
314. Дакажыце, што сярэдзіны старон правільнага шасцівугольніка ABCDEF з’яўляюцца вяршынямі правільнага шасцівугольніка PQRSTK (рыс. 91, б). Знайдзіце адносіну перыметра шасцівугольніка ABCDEF да перыметра шасцівугольніка PQRSTK.
315. У акружнасць, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О, упісаны квадрат ABCD. Прамыя Іх і 12 праходзяць праз цэнтр квадрата перпендыкулярна процілеглым старанам і перасякаюць акружнасць у пунктах F, Р і Т, К адпаведна (рыс. 91, в). Дакажыце, што васьмівугольнік APBTCFDK з’яўляецца правільным.
316. Перыметр квадрата, апісанага каля акружнасці, роўны Р. Знайдзіце перыметр правільнага шасцівугольніка, упісанага ў гэтую акружнасць.
317. Перыметр правільнага шасцівугольніка, упісанага ў акружнасць, на 3 см меншы за перыметр правільнага чатырохвугольніка, апісанага каля гэтай акружнасці. Вылічыце радыус акружнасці.
318. Плошча правільнага трохвугольніка ABC роўна %/3 см2. Вылічыце адлегласць ад цэнтра О апісанай каля трохвугольніка акружнасці да прамой, якая змяшчае яго старану (рыс. 92, а).
319. Радыус акружнасці, апісанай каля грані ABC тэтраэдра ABCD, роўны 6 см. Вылічыце даўжыню ломанай DACTO, дзе пункт О — цэнтр акружнасці, апісанай каля грані ABC, пункт Т — сярэдзіна канта ВС (рыс. 92, б).
110
Раздзел 3, §1
320. Асновай прамой трохвугольнай прызмы АВСА1В1С1 з’яўляецца правільны трохвугольнік ABC (рыс. 92, е). Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля асновы прызмы, калі ўсе канты прызмы роўныя паміж сабой, а даўжыня дыяганалі бакавой грані прызмы роўна 3^2 см.
321. У акружнасць упісаны правільны трохвугольнік ABC. Пабудуйце правільны шасцівугольнік, упісаны ў акружнасць, для якога пункты A, В і С з’яўляюцца вяршынямі.
322. Пабудуйце: а) правільны чатырохвугольнік, упісаны ў акружнасць; б) правільны трохвугольнік, апісаны каля акружнасці; в) правільны чатырохвугольнік, апісаны каля акружнасці; г) правільны васьмівугольнік, упісаны ў акружнасць.
323. Знайдзіце адносіну плошчы правільнага шасцівугольніка, апісанага каля акружнасці, да плошчы правільнага шасцівугольніка, упісанага ў гэтую акружнасць.
324. Цэнтры дзвюх акружнасцей размешчаны па розныя бакі ад іх агульнай хорды, даўжыня якой роўна а. Знайдзіце адлегласць паміж цэнтрамі гэтых акружнасцей, калі ў адной акружнасці хорда з’яўляецца стараной правільнага ўпісанага трохвугольніка, а ў другой — стараной упісанага квадрата.
325. Плошча правільнага шасцівугольніка, упісанага ў акружнасць, роўна S. Знайдзіце плошчу правільнага чатырохвугольніка, упісанага ў гэтую акружнасць.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 111
КНІГІ ОНЛАЙН
