Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
126
Р а з д з е л 3, §3
ванага дугой, градусная мера якой 1°, роўна Значыць, плошчу сектара, абмежаванага дугой, градусная мера якой роўна а градусаў, можна знайсці па формуле SceKT = ^^ • a.
Напрыклад, калі ABC — роўнастаронні трохвугольнік, упісаны ў круг радыуса R, а пункт О — яго цэнтр, тады плошча сектара, абмежаванага радыусамі ОА, ОВ і дугой AFB, роўна ^120° = (рыс. 101, в).
н л 360° 3
3. Плошча сегмента. Разгледзім формулу для знаходжання плошчы фігуры, якая называецца сегментам.
Азначэнне. Сегментам называецца частка круга, абмежаваная дугой акружнасці і хордай, што злучае канцы дугі.
Дуга акружнасці, якая абмяжоўвае сегмент, называецца дугой сегмента, а хорда, якая абмяжоўвае яго, называецца асновай сегмента.
На рысунку 102, а паказаны відарысы двух сегментаў, абмежаваных хордай АВ і дугамі AFB і АТВ. Хорда АВ з’яўляецца асновай для кожнага з гэтых сегментаў.
На рысунку 102, б паказаны відарысы сегментаў, абмежаваных стараной CD упісанага квадрата і адпаведнымі дугамі акружнасці.
Выведзем формулу для вылічэння плошчы сегмента. Разгледзім два выпадкі: 1) градусная мера дугі сегмента меншая за 180°; 2) градусная мера дугі сегмента большая за 180°.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 127
Няхай градусная мера дугі АпВ сегмента роўна a (a < 180°) (рыс. 103, a). Тады плошча гэтага сегмента роўна рознасці плошчы сектара, абмежаванага гэтай дугой і радыусамі ОА, ОВ, і плошчы трохвугольніка АОВ, г. зн. ScerM =
Няхай градусная мера дугі АтВ роўна a (сх > 180°) (рыс. 103, б). Тады плошча гэтага сегмента роўна суме плошчы сектара, абмежаванага гэтай дугой і радыусамі ОА, ОВ, і плошчы трохвугольніка, г. зн. ScerM = + SA0B.
Заўважым, што плошчу гэтага сегмента можна знайсці так, як рознасць паміж плошчай круга і плошчай сегмента з той жа асновай і дугой, градусная мера якой роўна 360°a.
Няхай роўнастаронні трохвугольнік ABC упісаны ў круг радыуса R, а пункт О — яго цэнтр (рыс. 103, в). Тады плошча меншага сегмента, асновай якога з’яўляецца старана АВ трохвугольніка, роўна
120° ~SAOB = ^^R2 sinl20° = ^ ^r2 .
360° А0В 3 2 3 4
Задача 1 Дыяганаль BD раўнабедранай трапецыі ABCD перпендыкулярна бакавой старане, а плошча круга, упісанага ў трохвугольнік ABD, роўна 4л см2. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля трапецыі, калі плошча трохвугольніка ABD роўна 24 см2 (рыс. 104).
128
Раздзел 3, §3
Рыс. 104
Рашэнне.
Даўжыню С акружнасці, апісанай каля трапецыі ABCD, можна знайсці па формуле С = 2nR. Па ўмове задачы акружнасць, апісаная каля трапецыі, апісана каля прамавугольнага трохвугольніка ABD. Такім чынам, аснова AD трапецыі з’яўляецца дыяметрам акружнасці, г. зн. 2R = AD, а, значыць, С = nAD.
1) Няхай г — радыус круга, упісанага ў трохвугольнік ABD. Паколькі плошча гэтага круга роўна 4л см2, то з ураўнення лг2 = 4л знойдзем г = 2 см.
2) Плошчу Sabo прамавугольнага трохвугольніка ABD знойдзем па формуле S^^rp, дзе г — радыус упісанага круга, р — паўперыметр трохвугольніка ABD. Па ўмове задачы Sabd = 24 см2, значыць, з ураўнення 24 = 2р атрымаем р= 12 см.
3) Для знаходжання даўжыні адрэзка AD выкарыстаем формулу г=рАВ. Адсюль AD =р г = 12 2 = 10 (см).
4) Цяпер даўжыня акружнасці С = 2nR = nAD = Юя см.
Адказ: Юл см.
Задача 2. Асновай прамой трохвугольнай прызмы АВСА1В1С1 з’яўляецца роўнастаронні трохвугольнік ABC. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля бакавой грані прызмы, калі плошча круга, упісанага ў аснову, роўна 9л см2, а ўсе канты прызмы роўныя паміж сабой (рыс. 105, а).
а) б) в)
Рыс. 105
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 129
Рашэнне.
Па ўмове задачы кожная бакавая грань прызмы з’яўляецца квадратам. Даўжыню акружнасці, апісанай каля квадрата AAJ^B, можна вылічыць па формуле C = 2nR = пАВу = п42АВ. Для знаходжання даўжыні стараны АВ выкарыстаем тое, што па ўмове задачы вядома плошча круга, упісанага ў роўнастаронні трохвугольнік ABC (рыс. 105, б).
1) Няхай пункт О — цэнтр круга, упісанага ў роўнастаронні трохвугольнік ABC, Т = CO n АВ, тады AB = 2АТ.
2) Паколькі плошча круга, упісанага ў трохвугольнік ABC, роўна 9п см2 , то з ураўнення пОТ2 = 9п знойдзем ОТ 3 см.
3) У прамавугольным трохвугольніку ATO Z ТАО = 30°, значыць, AT = ОТ ctg30° = ЗўЗ см, АВ = 6\ 3 см (рыс. 105, в).
4) Цяпер вылічым даўжыню С акружнасці, апісанай каля грані AAjBjB: С = л72АВ = 6я7б см.
Адказ: 6л\/б см.
Задачы да § 3
380. Вылічыце плошчу круга, упісанага ў квадрат, калі даўжыня стараны квадрата роўна 8 см.
381. Плошча круга, упісанага ў квадрат, роўна 16л см2. Вылічыце плошчу квадрата.
382. Вылічыце плошчу круга, упісанага ў квадрат, даўжыня дыяганалі якога роўна 4 см.
383. У круг упісаны квадрат. Знайдзіце адносіну плошчы гэтага круга да плошчы круга, упісанага ў дадзены квадрат.
384. Плошча квадрата роўна 16 см2. Вылічыце плошчу часткі квадрата, якая ляжыць паза ўпісанай у яго акружнасцю.
385. Пункты Т, К, F, Е — адпаведна сярэдзіны старон AB, ВС, CD і AD квадрата ABCD, О = KE r^TF
130
Раздзел 3, §3
(рыс. 106, а). Вылічыце плошчу круга, упісанага ў квадрат ТВКО, калі плошча круга, упісанага ў квадрат ABCD, роўна 4п см2.
386. У роўнастароннім трохвугольніку ABC пункты Т, К і F — сярэдзіны старон AB, ВС і AC адпаведна (рыс. 106, б). Вылічыце плошчу круга, упісанага ў трохвугольнік TKF, калі даўжыня акружнасці, упісанай у трохвугольнік ABC, роўна 18л см.
387. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля роўнастаронняга трохвугольніка, даўжыня стараны якога роўна 6\/3 см.
388. Вылічыце плошчу роўнастаронняга трохвугольніка, калі плошча круга, упісанага ў гэты трохвугольнік, роўна л см2.
389. Знайдзіце адносіну плошчы круга, упісанага ў роўнастаронні трохвугольнік, да плошчы круга, апісанага каля гэтага трохвугольніка.
390. Плошча роўнастаронняга трохвугольніка роўна 7з см2. Вылічыце плошчу часткі трохвугольніка, якая ляжыць паза ўпісанай у яго акружнасцю.
391. На вышыні роўнастаронняга трохвугольніка, даўжыня стараны якога роўна 8\/3 см, як на дыяметры пабудаваны круг. Вылічыце плошчу сектара, абмежаванага дугой акружнасці, якая ляжыць унутры трохвугольніка.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 131
392. Даўжыня акружнасці, апісанай каля роўнастаронняга трохвугольніка, роўна 16л см. Вылічыце даўжыню ўпісанай у гэты трохвугольнік акружнасці.
393. У роўнастаронні трохвугольнік, даўжыня стараны якога роўна б см, упісаны круг. Вылічыце плошчу сектара, абмежаванага меншай дугой, канцамі якой з’яўляюцца пункты дотыку круга са старанамі трохвугольніка.
394. Дыяганаль BD ромба ABCD роўна яго старане. Вылічыце плошчу круга, упісанага ў трохвугольнік BCD, калі перыметр ромба роўны 24 см.
395. Градусная мера вострага вугла ромба роўна 60°. Вылічыце плошчу круга, упісанага ў гэты ромб, калі даўжыня яго меншай дыяганалі роўна 6 см.
396. Градусная мера аднаго з вуглоў ромба роўна 120°. Вылічыце плошчу ромба, калі плошча круга, упісанага ў яго, роўна Зл см2.
397. Пункты Т, F, К і Р — сярэдзіны старон AB, ВС, CD і DA ромба ABCD адпаведна. Вылічыце плошчу круга, апісанага каля чатырохвугольніка TFKP, калі ABCD = 60° і плошча ромба роўна 2^3 см2.
398. Плошча круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля прамавугольнага трохвугольніка, роўна ІООл cm2, a даўжыня аднаго з катэтаў трохвугольніка — 8 см. Вылічыце плошчу гэтага трохвугольніка.
399. Даўжыня аднаго з катэтаў прамавугольнага трохвугольніка роўна 6 см, а яго плошча — 24 см2. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля гэтага прамавугольнага трохвугольніка.
400. Пункт О — сярэдзіна гіпатэнузы АВ прамавугольнага трохвугольніка ABC, градусная мера вугла В якога роўна 30°. Пасярэдні перпендыкуляр I да гіпатэнузы перасякае катэт ВС у пункце F. Вылічыце плошчу круга, дыяметрам якога з’яўляецца катэт AC, калі плошча круга, абмежаванага апісанай каля трохвугольніка BOF акружнасцю, роўна л см2 (рыс. 107, а).
132
Раздзел 3, §3
Рыс. 107
401. Пункт F — сярэдзіна стараны AC прамавугольнага трохвугольніка ABC, адрэзак FO — перпендыкуляр, праведзены да гіпатэнузы AB, AC = 4 см (рыс. 107, б). Вылічыце плошчу трохвугольніка ABC, калі плошча круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля чатырохвугольніка CFOB, роўна ІЗл см2.
402. Акружнасць, дыяметрам якой з’яўляецца старана ВС прамавугольнага трохвугольніка АСВ, перасякае гіпатэнузу АВ у пункце F. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля трохвугольніка AFC, калі AF = = 4 cm, BF = 9 см (рыс. 107, в).
403. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля прамавугольніка, калі перыметр прамавугольніка роўны 34 см, а даўжыня адной з яго старон на 7 см большая за даўжыню другой стараны.
404. Перыметр прамавугольніка роўны 20 см, а яго плошча — 24 см2. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля гэтага прамавугольніка.
405. Плошча круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля прамавугольніка АВСВ, роўна —it см2. Адлегласць ад 4
вяршыні В да прамой, якая змяшчае дыяганаль AC, роўна 6 см. Вылічыце плошчу прамавугольніка.
406. На старане AD прамавугольніка ABCD як на дыяметры пабудавана акружнасць, якая перасякае дыяганаль BD у
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 133
пункце К так, што DK = КВ = 1 ■ 3. Даўжыня перпендыкуляра, праведзенага з пункта А да дыяганалі BD, роўна 6 см. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля прамавугольніка.
407. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля раўнабедранага трохвугольніка, даўжыня асновы якога роўна 8 см, а градусная мера вугла пры яго аснове роўна 15°.
408. У раўнабедраным трохвугольніку градусная мера вугла пры аснове роўна 30°, а вышыня, праведзеная да асновы, роўна 4 см. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля гэтага трохвугольніка.
409. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля раўнабедранага трохвугольніка, калі даўжыня асновы трохвугольніка роўна 8 см, а вышыня, праведзеная да гэтай асновы, — 3 см.
410. Градусная мера вугла пры аснове раўнабедранага трохвугольніка роўна a, а вышыня, праведзеная да асновы, — т. Знайдзіце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля гэтага трохвугольніка.
КНІГІ ОНЛАЙН
