Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
449. Дзве акружнасці датыкаюцца адна да адной знешнім чынам у пункце С. Радыусы акружнасцей роўны 2 см і 7 см. Агульная датычная да абедзвюх акружнасцей, праведзеная праз пункт С, перасякаецца з другой агульнай датычнай у пункце D. Вылічыце адлегласць ад цэнтра меншай акружнасці да пункта D.
450. Даўжыні хордаў СА і СВ акружнасці адпаведна роўны 3 см і 4 см, а дыяметр CD паралельны хордзе АВ. Адрэзак AF — перпендыкуляр, праведзены да дыяметра CD. Вылічыце даўжыні адрэзкаў CF і FD.
451. У прамавугольную трапецыю ўпісана акружнасць. Адлегласці ад цэнтра акружнасці да канцоў большай бакавой стараны роўны a ib. Знайдзіце суму даўжынь асноў трапецыі.
452. Акружнасць, упісаная ў трапецыю ABCD з асновамі AD і ВС, датыкаецца да бакавых старон AB і CD у пунктах F і Т адпаведна. Дакажыце, што AF • FB = СТ ■ TD.
453. Прамая I перасякае акружнасць у пунктах A і В, а прамая AF датыкаецца да акружнасці ў пункце А. Вылічыце адлегласць ад пункта С, дыяметральна процілеглага пункту В, да пункта дотыку, калі даўжыня хорды АВ роўна 5 cm, a градусная мера вугла паміж прамой I і датычнай роўна 30°.
142
Раздзел 4, §1
Дадзена:
AF — датычная, ZBAF = 30°, АВ = 5 см.
Знайсці: AC.
Рашэнне.
Па тэарэме аб вугле паміж хордай і датычнай A АСВ = Z.BAF = 30°. Паколькі пункты С і В дыяметральна процілеглыя, то вугал САВ абапіраецца на дыяметр, а значыць, ён прамы, г. зн. трохвугольнік САВ прамавугольны (рыс. 109, а, б).
Адлегласць ад пункта С да пункта дотыку А роўна даўжыні катэта СА трохвугольніка САВ. Паколькі ААСВ = 30° і АВ = 5 см, то СВ = 2АВ = 10 см. Тады СА = ^СВ2 АВ 2 = 710025 = = 5^3 (см).
Адказ: Ь^З см.
454. Адрэзак ВС — дыяметр акружнасці, прамая датыкаецца да гэтай акружнасці ў пункце А. Вядома, што ВА = 2 см і плошча трохвугольніка ABC роўна 2^3 см2. Вылічыце градусную меру вугла паміж прамой ВА і датычнай.
455. Датычныя lY і 12 да акружнасці радыуса R праходзяць адпаведна праз канцы A і В яе дыяметра. Трэцяя датычная да акружнасці перасякае датычныя Zj і 12 адпаведна ў пунктах F і Т. Дакажыце, што AF ■ BT = R2.
456. Каля трапецыі ABCD з асновамі ВС і AD апісана акружнасць, дыяметрам якой з’яўляецца асноваАО. Знайдзіце плошчу трапецыі, калі даўжыня яе дыяганалі роўна a, a радыус акружнасці роўны R.
457. Радыус акружнасці, упісанай у прамавугольны трохвугольнік, роўны 2 см, а радыус апісанай акружнасці роўны 5 см. Вылічыце даўжыні катэтаў трохвугольніка.
Задачы для паўтарэння
143
458. У прамавугольны трохвугольнік з даўжынямі катэтаў 36 см і 48 см упісана акружнасць. Праз цэнтр акружнасці праведзены прамыя, паралельныя старанам трохвугольніка. Вылічыце даўжыні сярэдніх адрэзкаў старон трохвугольніка, якія адсякаюцца праведзенымі прамымі.
459. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з асновай AC даўжыня бакавой стараны роўна бТб см. Акружнасць, дыяметрам якой з’яўляецца старана АВ, перасякае старану ВС у пункце F так, што BFFC=2 1. Вылічыце даўжыню асновы трохвугольніка.
460. У прамавугольны трохвугольнік, даўжыні катэтаў якога 3 см і 4 см, упісана акружнасць. Да акружнасці праведзена датычная, якая перасякае катэты і разбівае дадзены трохвугольнік на чатырохвугольнік і трохвугольнік. Вылічыце перыметр атрыманага трохвугольніка.
461. Адрэзак CD — перпендыкуляр, праведзены да гіпатэнузы прамавугольнага трохвугольніка ABC, з’яўляецца дыяметрам акружнасці, якая на катэтах AC і ВС адсякае хорды, даўжыні якіх а і Ь. Знайдзіце плошчу трохвугольніка ABC.
2. Раўнабедраны трохвугольнік і акружнасць.
462. Вылічыце радыус акружнасці, упісанай у раўнабедраны трохвугольнік ABC, калі даўжыня яго асновы AC роўна 24 см, а вышыня BD, праведзеная да асновы, роўна 9 см.
a)
6)
Дадзена: ААВС АВ = ВС, BD1AC, D е AC, AC = 24 cm, BD = 9 cm. Знайсці: r.
Рыс. 110
144
Р а з д з е л 4, §1
Рашэнне.
Для вылічэння радыуса г упісанай акружнасці выкарыстаем формулу S = гр, дзе S — плошча трохвугольніка, р — яго паўперыметр. Адсюль атрымаем г = —.
1) Плошча трохвугольніка S = AC • BD = —• 24 • 9 = = 108 (см2) (рыс. 110, а, б).
2) У прамавугольным трохвугольніку ADB даўжыня катэта AD = — AC = 12 (cm), а даўжыня гіпатэнузы AB = \J BD2 + AD2 =
= 781 + 144 =15 (cm).
3) Цяпер пауперыметр p= = —— =27 (cm).
4) Такім чынам, знойдзем r = — = =4 (cm).
p 27
Адказ: 4 cm.
463. У раўнабедраны трохвугольнік, даўжыня бакавой стараны якога роўна 18 см, а даўжыня асновы — 12 см, упісана акружнасць. Да яе праведзена датычная, паралельная аснове. Вылічыце даўжыню адрэзка датычнай, які змяшчаецца ўнутры трохвугольніка.
464. У раўнабедраны трохвугольнік упісана акружнасць радыуса г. Акружнасць перасякае вышыню, праведзеную да асновы, у пункце, што дзеліць гэту вышыню ў адносіне 1 : 2, лічачы ад вяршыні. Знайдзіце плошчу трохвугольніка.
465. Даўжыні бакавой стараны і асновы раўнабедранага трохвугольніка роўны адпаведна 5 см і 6 см. Вылічыце адлегласць паміж пунктам перасячэння вышынь трохвугольніка і цэнтрам упісанай акружнасці.
466. У акружнасць упісаны раўнабедраны трохвугольнік, у якім даўжыні асновы і бакавой стараны роўны адпаведна 10 см і 12 см. Праз сярэдзіну вышыні, праведзенай да асновы трохвугольніка, праведзена хорда, паралельная аснове. Вылічыце даўжыню хорды.
467. Раўнабедраны трохвугольнік ABC з асновай AC упісаны ў акружнасць. Датычная да акружнасці праходзіць праз вяршыню В. Прамая, якая праходзіць праз пункт А і
Задачы для паўтарэння
145
перпендыкулярна прамой ВС, перасякае датычную ў пункце Е. Знайдзіце даўжыню адрэзка BE, калі прамая АЕ дзеліць вышыню BD на адрэзкі, даўжыні якіх роўны т і п, лічачы ад вяршыні В.
468. Даўжыня асновы раўнабедранага трохвугольніка роўна 4^2 см, а даўжыня медыяны бакавой стараны — 5 см. Вылічыце радыус акружнасці, упісанай у трохвугольнік.
469. У раўнабедраны трохвугольнік ABC з асновай AC упісана акружнасць. Прамая, паралельная старане АВ, датыкаецца да акружнасці і перасякае старану AC у пункце М, МС = AC. Вылічыце радыус акружнасці, калі перыметр трохвугольніка ABC роўны 20 см.
470. У раўнабедраным трохвугольніку ABC вышыня, праведзеная да асновы AC, роўна h, радыус упісанай акружнасці роўны г. Знайдзіце радыус акружнасці, апісанай каля гэтага трохвугольніка.
471. Акружнасць, упісаная ў раўнабедраны трохвугольнік ABC, асновай якога з’яўляецца адрэзак AC, датыкаецца да бакавой стараны ВС у пункце F. Знайдзіце радыус упісанай акружнасці, калі AC = a і BF = т.
472. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з асновай AC на старане ВС ляжыць пункт D так, што BD : DC =1:4. У якой адносіне пункт О перасячэння адрэзка AD і вышыні BE дзеліць вышыню BE, лічачы ад вяршыні В?
Дадзена:
△ABC,
АВ = ВС, D е ВС, BD ■ DC = 1 ■ 4, BE FAC, Е е AC, О = BE^AD.
3 н а й с ц і:
BO : ОЕ.
Рыс. 111
146
Раздзел 4, §1
Р а ш э н н е.
1) Паколькі BD'DC=1'M, to DC = 4BD (рыс. 111, а, б). Правядзём адрэзак EF (F е ВС), паралельны адрэзку AD.
2) Паколькі вышыня, праведзеная да асновы раўнабедранага трохвугольніка, з’яўляецца медыянай, то пункт Е — сярэдзіна стараны AC.
3) Па прымеце сярэдняй лініі адрэзак EF — сярэдняя лінія трохвугольніка ADC, значыць, DF = FC = |й>С 2BD.
4) Паколькі OD\\EF, то ВО ■ ОЕ = BD ■ DF = BD ■ (2BD) = = 1 : 2.
Адказ: BO : ОЕ = 1:2.
473. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з асновай ВС і вышынёй AD выконваецца ўмова AD'■ ВС = 7з. Пункт Т ляжыць на старане АВ так, што AT: ТВ = 1:2. Вылічыце градусную меру вугла ТСВ.
474. Адрэзак СР — вышыня, праведзеная да асновы АВ раўнабедранага трохвугольніка ABC, пункт F ляжыць на старане ВС і BF: FC = 1 : 3. Адрэзкі CP і AF перасякаюцца ў пункце О. У якой адносіне пункт О дзеліць адрэзак AF, лічачы ад вяршыні А?
475. Адрэзак ВК — вышыня, праведзеная да стараны AD раўнабедранага трохвугольніка з асновай BD, М — пункт перасячэння вышынь AO і ВК. Вылічыце даўжыню адрэзка MD, калі ВК = 8 см і АК : KD =1:2.
476. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з асновай AC праведзены вышыня BF і медыяна AM, пункт О — сярэдзіна вышыні BF, а пункт Т ляжыць на старане ВС так, што адрэзкі ОТ і AM паралельныя. Знайдзіце адносіну ВТ: ТС.
477. У раўнабедраным трохвугольніку ABC з асновай AC вышыні BF іАТ перасякаюцца ў пункце S. Пункт О — цэнтр апісанай каля трохвугольніка ABC акружнасці, пункт S — сярэдзіна адрэзка OF. Вылічыце косінус вугла ABC.
478. Градусная мера вугла пры вяршыні В раўнабедранага трохвугольніка ABC роўна а. Знайдзіце радыус акруж
Задачы для паўтарэння
147
насці, якая праходзіць праз вяршыні A, С і цэнтр упісанай у дадзены трохвугольнік акружнасці, калі даўжыня бакавой стараны роўна а.
479. У раўнабедраны трохвугольнік, даўжыня асновы якога роўна 6 см, упісана акружнасць, і да яе праведзены тры датычныя так, што яны адсякаюць ад дадзенага трохвугольніка тры меншыя трохвугольнікі. Вылічыце даўжыню бакавой стараны трохвугольніка, калі сума перыметраў меншых трохвугольнікаў роўна 24 см.
480. Пункт F ляжыць на аснове AC раўнабедранага трохвугольніка ABC так, што AFFC =1'3. У трохвугольнікі ABF і FBC упісаны акружнасці. Знайдзіце адлегласць паміж пунктамі дотыку гэтых акружнасцей са стараной BF, калі АС = а.
481. Вышыня BF трохвугольніка ABC з’яўляецца і бісектрысай гэтага трохвугольніка. Вылічыце даўжыню акружнасці, дыяметрам якой з’яўляецца адрэзак BF, калі перыметр трохвугольніка ABC роўны 40 см, а перыметр трохвугольніка ABF роўны 25 см.
3. Адвольны трохвугольнік і акружнасць.
482. Адрэзкі AB і СТ — вышыні востравугольнага трохвугольніка ABC. Знайдзіце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка BTF, калі ZABC = 60° і AC = b.
Дадзена:
/\АВС — востравугольны, ZABC = 60°, AC = b, AF1BC, CT 1 BA.
Знайсці: RBTF.
a) 6)
Рыс. 112
P a ш э н н e.
Выкарыстаем тэарэму сінусаў i тое, што трохвугольнік ABC падобны да трохвугольніка BTF.
148
Раздзел 4, §1
1) У трохвугольніку BTF па тэарэме сінусаў выконваецца роўнасць ^—^2RBTF. Такім чынам, RBTP= ~^—_ = SiriOU ^SlIlOv
= (рыс. 112, а, б).
2) Разгледзім трохвугольнікі ABC і FTC. Гэтыя трохвугольнікі падобныя. Сапраўды, ^ = cosB і = cosB. Такім чынам, ^ = ^ = cos В, г. зн. трохвугольнікі ABC і FTC падобныя з каэфіцыентам падобнасці cos В = cos 60°= |.
3) 3 падобнасці трохвугольнікаў ABC і FTC вынікае, што Ь т TF Ь Ь Ь \/3
КНІГІ ОНЛАЙН
