Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
411. Знайдзіце плошчу круга, упісанага ў раўнабедраны трохвугольнік, калі даўжыня яго бакавой стараны роўна а, а градусная мера вугла пры яго вяршыні — а.
412. Вылічыце радыус круга, упісанага ў прамавугольны трохвугольнік, у якім даўжыні гіпатэнузы і катэта роўны 13 см і 5 см адпаведна.
413. Вылічыце плошчу круга, упісанага ў прамавугольны трохвугольнік, калі градусная мера яго вугла роўна 30°, a даўжыня катэта, які ляжыць супраць гэтага вугла, роўна 2 см.
414. Пункт дотыку ўпісанага круга падзяляе гіпатэнузу прамавугольнага трохвугольніка на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 4 см і 6 см. Вылічыце плошчу круга, упісанага ў гэты трохвугольнік.
134
Раздзел 3, §3
415. Даўжыня акружнасці, якая абмяжоўвае круг, роўна 6л см. Градусная мера ўпісанага ў акружнасць вугла роўна 20°. Вылічыце плошчу сектара, абмежаванага дугой, на якую абапіраецца ўпісаны вугал, і радыусамі, што злучаюць канцы гэтай дугі з цэнтрам круга.
416. Плошча круга роўна 5п см2, а градусная мера вугла, упісанага ў акружнасць, якая абмяжоўвае гэты круг, роўна 36°. Вылічыце плошчу сектара, абмежаванага дугой, на якую абапіраецца ўпісаны вугал, і радыусамі, што злучаюць канцы гэтай дугі з цэнтрам круга.
417. Даўжыня бакавой стараны раўнабедранай трапецыі роўна 8 см, а градусная мера аднаго з вуглоў — 120°. Вылічыце плошчу круга, упісанага ў гэтую трапецыю.
418. Знайдзіце плошчу круга, упісанага ў раўнабедраную трапецыю, калі градусная мера аднаго з яе вуглоў роўна а, а даўжыня сярэдняй лініі роўна т.
419. Градусная мера аднаго з вуглоў раўнабедранай трапецыі роўна 30°. Плошча круга, упісанага ў гэтую трапецыю, роўна 4л см2. Вылічыце даўжыню сярэдняй лініі трапецыі.
420. Плошча раўнабедранай трапецыі, у якую ўпісаны круг, роўна 18 см2, а даўжыня яе бакавой стараны — 6 см. Вылічыце плошчу круга, упісанага ў трапецыю.
421. Знайдзіце плошчу круга, упісанага ў раўнабедраную трапецыю, даўжыні асноў якой роўны а і Ь.
422. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля раўнабедранай трапецыі, даўжыні асноў якой роўны 2 см і 14 см, а даўжыня бакавой стараны —• 10 см.
423. Плошча круга, апісанага каля грані тэтраэдра, роўна 4л см2. Вылічыце плошчу грані тэтраэдра.
424. Асновай прамой трохвугольнай прызмы АВСА1В1С1 з’яўляецца раўнабедраны прамавугольны трохвугольнік ABC. Вылічыце суму плошчаў бакавых граней прызмы, калі пло
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 135
шча круга, апісанага каля асновы прызмы, роўна 16л см2, а бакавы кант роўны радыусу гэтага круга.
425. Даўжыня стараны роўнастаронняга трохвугольніка ABC роўна а. Пункты Т, F і Е ляжаць на старанах АВ, ВС і AC адпаведна так, што AT : ТВ = 1:2, BF : FC = 1 : 2 і СЕ : ЕА= 1:2. Дакажыце, што трохвугольнік TFE — роўнастаронні, і знайдзіце плошчу круга, апісанага каля яго.
426. Пункты F, Т, Е і Р ляжаць адпаведна на старанах AB, ВС, CD і DA квадрата ABCD, BT = CE = DP=AF= jAB. Дакажыце, што чатырохвугольнік FTEP — квадрат, і знайдзіце адносіну плошчы круга, упісанага ў яго, да плошчы круга, упісанага ў квадрат ABCD.
427. У прамавугольным трохвугольніку ABC вышыня CF, праведзеная да гіпатэнузы, падзяляе яе на адрэзкі, даўжыні якіх адносяцца як 4:1. Знайдзіце адносіну плошчы круга, упісанага ў трохвугольнік AFC, да плошчы круга, упісанага ў трохвугольнік BFC.
428. Знайдзіце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, апісанай каля прамавугольнага трохвугольніка, градусная мера аднаго з вуглоў якога роўна 15°, а здабытак даўжынь катэтаў роўны т.
429. У прамавугольным трохвугольніку ABC з вяршыні прамого вугла праведзена вышыня CD. Радыусы акружнасцей, упісаных у трохвугольнікі ACD і BCD, роўны 3 см і 4 см адпаведна. Вылічыце плошчу круга, упісанага ў трохвугольнік ABC.
430. Акружнасць датыкаецца да большага катэта прамавугольнага трохвугольніка, праходзіць праз вяршыню процілеглага вострага вугла, а яе цэнтр ляжыць на гіпатэнузе. Вылічыце плошчу круга, абмежаванага гэтай акружнасцю, калі даўжыні катэтаў роўны 3 см і 4 см.
431. Градусная мера вугла пры вяршыні раўнабедранага трохвугольніка роўна ф, а вышыня, праведзеная да бакавой стараны, роўна h. Знайдзіце плошчу круга, апісанага каля трохвугольніка.
136
Раздзел 3, §3
432. Градусная мера вугла пры вяршыні С раўнабедранага трохвугольніка ABC роўна 120°, а даўжыня яго бакавой стараны роўна а. Знайдзіце плошчу круга, абмежаванага акружнасцю, якая праходзіць праз вяршыні A, В і цэнтр акружнасці, упісанай у трохвугольнік ABC.
433. Градусная мера вугла пры аснове раўнабедранага трохвугольніка роўна а. Знайдзіце адносіну плошчы круга, апісанага каля гэтага трохвугольніка, да плошчы ўпісанага круга.
434. Круг упісаны ў трапецыю ABCD (AD || ВС). Знайдзіце плошчу круга, калі вядома, што пункт дотыку падзяляе бакавую старану на адрэзкі, даўжыні якіх роўны т і п.
435. Каля акружнасці апісана прамавугольная трапецыя. Знайдзіце плошчу круга, абмежаванага гэтай акружнасцю, калі даўжыні асноў трапецыі роўны а і Ь.
436. У раўнабедраную трапецыю, даўжыня меншай асновы якон роўна 1 см, упісаны круг, плошча якога роўна п см . Вылічыце плошчу трапецыі.
Пытанні да трэцяга раздзела
1. Ці правільна, што многавугольнік, у якога ўсе стораны роўныя, з’яўляецца правільным? Прывядзіце прыклад выпуклага многавугольніка, стораны якога роўныя, але які не з’яўляецца правільным.
2. Ці правільна, што два ўзаемна перпендыкулярныя дыяметры акружнасці з’яўляюцца дыяганалямі правільнага чатырохвугольніка, упісанага ў гэтую акружнасць?
3. Ці заўсёды каля правільнага многавугольніка можна апісаць акружнасць?
4. Ці правільна, што радыус акружнасці, апісанай каля правільнага шасцівугольніка, роўны даўжыні стараны гэтага шасцівугольніка?
5. Ці правільна, што даўжыню стараны ап правільнага лвугольніка можна знайсці па формуле ап 2Дзіп— , дзе R — радыус апісанай акружнасці?
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 137
6. Па якой формуле даўжыня стараны правільнага тгвугольніка выражаецца праз радыус упісанай акружнасці?
7. Плошча квадрата, упісанага ў акружнасць, роўна S. Чаму роўна даўжыня акружнасці?
8. Плошча правільнага шасцівугольніка, упісанага ў акружнасць, роўна S. Знайдзіце плошчу круга, абмежаванага дадзенай акружнасцю.
9. Знайдзіце даўжыню акружнасці, апісанай каля квадрата, роўнавялікага круга радыуса R.
10. Знайдзіце адносіну даўжыні акружнасці, упісанай у правільны шасцівугольнік, да даўжыні акружнасці, апісанай каля яго.
6.3ак.158.
ЗАДАЧЫ ДЛЯ ПАЎТАРЭННЯ
Раздзел 4
ЗАДАЧЫ ДЛЯ ПАЎТАРЭННЯ
§ 1. Трохвугольнікі і акружнасць
1. Прамавугольны трохвугольнік і акружнасць.
437. Даўжыня катэта ВС прамавугольнага трохвугольніка АСВ роўна 15 см, а яго катэт AC з’яўляецца дыяметрам акружнасці, якая перасякае гіпатэнузу ў пункце F, CF =12 см. Вылічыце радыус акружнасці.
а) б)
Рыс. 108
Дадзена: ЛАВС, ААСВ = 90°, ВС= 15 см, AC — дыяметр, CF= 12 см.
Знайсці: R.
Р аш э н не.
3 умовы вынікае, што радыус R роўны палове катэта AC. Заўважым, што AAFC = 90°, паколькі абапіраецца на дыяметр AC. Такім чынам, адрэзак CF — вышыня, праведзеная да гіпатэнузы трохвугольніка АСВ, значыць, CF2 AF ■ FB (рыс. 108, а, б).
1) У трохвугольніку CFB FB = ^ВС2 CF2 = х/225 144 = = 9 (см).
2) Выкарыстаўшы роўнасць CF2 =AF • FB, знойдзем AF = = CF2 : FB = ±^ см.
9
3) Цяпер AB = AF + FB = ^ + 9 = ^ (см).
4) Квадрат даўжыні катэта прамавугольнага трохвугольніка роўны здабытку даўжыні гіпатэнузы і даўжыні праекцыі гэтага катэта на гіпатэнузу, значыць, AC2=AFAB і АС = JAFAB =20 cm.
Такім чынам, R — = 10 см.
2
Адказ: 10 см.
140
Раздзел 4, §1
438. Акружнасць, пабудаваная на старане АВ прамавугольніка ABCD як на дыяметры, перасякае яго дыяганаль BD у пункце F. Вылічыце плошчу прамавугольніка, калі пункт F дзеліць дыяганаль на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 4 см і 9 см.
439. Даўжыня адной з сумежных старон прамавугольніка роўна 15 см, а даўжыня праекцыі другой стараны на дыяганаль прамавугольніка роўна 16 см. Вылічыце радыус акружнасці, упісанай у адзін з трохвугольнікаў, на якія дыяганаль разбівае дадзены прамавугольнік.
440. Аснова трапецыі з’яўляецца дыяметрам апісанай каля яе акружнасці. Вылічыце плошчу трапецыі, калі даўжыні асноў трапецыі роўны 10 см і 26 см.
441. Даўжыня сярэдняй лініі трапецыі роўна 9 см, а яе плошча — 54 см2. Вылічыце даўжыні асноў трапецыі, калі адна з асноў з’яўляецца дыяметрам апісанай каля трапецыі акружнасці.
442. У прамавугольнай трапецыі, вышыня якой h, на старане, перпендыкулярнай аснове, як на дыяметры пабудавана акружнасць, што датыкаецца да процілеглай стараны трапецыі. Знайдзіце здабытак даўжынь асноў трапецыі.
443. Даўжыня стараны АВ паралелаграма ABCD роўна 15 см. Старана AD з’яўляецца дыяметрам акружнасці, якая апісана каля трохвугольніка ABD і перасякае старану ВС у пункце Т. Вылічыце даўжыню хорды ВТ, калі даўжыня артаганальнай праекцыі дыяганалі BD на старану AD роўна 16 см.
444. Аснова D перпендыкуляра, праведзенага з пункта С акружнасці да яе дыяметра АВ, дзеліць яго на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 4 см і 9 см. Акружнасць, пабудаваная на адрэзку AD як на дыяметры, перасякае хорду AC у пункце F. Вылічыце даўжыню адрэзка AF.
445. Дзве акружнасці датыкаюцца ўнутраным чынам у пункце А. Меншая акружнасць перасякае дыяметр АВ большай акружнасці ў пункце Т. Датычная да меншай акружнасці праходзіць праз пункт Т і перасякае большую акружнасць у пункце С. Вылічыце радыус меншай акружнасці, калі вядома, што яна перасякае хорду AC у пункце F так,
Задачы для паўтарэння
141
што CF: FA = 1'3 і адлегласць ад пункта Т да прамой AC роўна 3 см.
446. Дыяганалі ромба ABCD перасякаюцца ў пункце О. Акружнасць, пабудаваная на адрэзку АО як на дыяметры, перасякае старану ў пункце F, які дзеліць яе ў адносіне 1:3. Вылічыце градусныя меры вуглоў ромба.
447. Акружнасць, якая праходзіць праз вяршыні тупых і аднаго з вострых вуглоў ромба, перасякае большую дыяганаль. Пункт перасячэння дзеліць гэту дыяганаль на часткі, даўжыні якіх роўны 5 см і | см. Вылічыце даўжыню стараны ромба.
448. На аснове АВ раўнабедранага трохвугольніка АСВ як на дыяметры пабудавана акружнасць, якая перасякае старану СВ у пункце F так, што CF ■ FB = 3 '■ 1. Вылічыце адлегласць ад пункта F да прамой АВ, калі АВ = 24 см.
КНІГІ ОНЛАЙН
