Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
326. 3 дапамогай цыркуля і лінейкі пабудуйце правільны трохвугольнік па адрэзку т, роўнаму яго вышыні.
327. 3 дапамогай цыркуля і лінейкі пабудуйце правільны шасцівугольнік па адрэзку а, роўнаму яго меншай дыяганалі.
328*. Дадзены роўнастаронні трохвугольнік ABC. 3 дапамогай цыркуля і лінейкі пабудуйце роўнастаронні трохвугольнік А1В1С1 так, што Ar е ВС, В^ е AC, Сг е АВ і стораны АХВХ, В1С1, С^ перпендыкулярны старанам AC, AB, ВС адпаведна.
329. У квадраце ABCD пункты К, Р, Е і Т — сярэдзіны старон AB, ВС, CD і DA адпаведна. Дакажыце, што чатырохвугольнік, абмежаваны прамымі ВТ, PD, СК і АЕ, з’яўляецца квадратам. Знайдзіце яго плошчу, калі плошча квадрата ABCD роўна S.
330. У квадрат ABCD, даўжыня стараны якога роўна а, упісана акружнасць. Акружнасць датыкаецца да стараны CD у пункце Е. Знайдзіце даўжыню хорды, што злучае пункты, у якіх акружнасць перасякаецца з прамой АЕ.
331. У квадрат, даўжыня стараны якога роўна а, упісана акружнасць. Знайдзіце плошчу квадрата, апісанага каля меншай акружнасці, якая датыкаецца да дадзенай акружнасці і дзвюх сумежных старон дадзенага квадрата.
332*. Акружнасць датыкаецца да дзвюх сумежных старон квадрата і падзяляе кожную з дзвюх іншых старон на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 2 см і 23 см. Вылічыце радыус акружнасці.
§ 2. Даўжыня акружнасці. Радыянная мера вугла
1. Паняцце даўжыні акружнасці. Разгледзім пытанне аб вылічэнні даўжыні акружнасці. Няхай у акружнасць упісаны правільны nвугольнік. Калі колькасць п старон правільнага nвугольніка, упісанага ў акружнасць, неабмежавана нарастае, то геаметрычная фігура, утвораная яго старанамі, усё менш і менш адрозніваецца ад акружнасці (рыс. 93, а, б, в). У курсе матэматычнага аналізу ў ВНУ вызначаецца, што існуе лік, да якога імкнуцца перыметры Рп правільных nвугольнікаў, упісаных у акружнасць, пры неабмежаваным нарастанні колькасці іх старон. Гэты лік называецца даўжынёй акружнасці. Такім чынам, за даўжыню акружнасці прымаецца лік, да якога імкнуцца перыметры ўпісаных у акружнасць правільных пвугольнікаў пры неабмежаваным павелічэнні колькасці іх старон.
Даўжыня акружнасці залежыць ад яе радыуса, акружнасць большага радыуса мае большую даўжыню. Разам з тым, можна даказаць, што адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра ёсць лік пастаянны.
2. Тэарэма аб адносіне даўжыні акружнасці да яе дыяметра. Дакажам тэарэму, якая характарызуе адносіну даўжыні акружнасці да яе дыяметра.
Тэарэма (аб адносіне даўжыні акружнасці да яе дыяметра). Адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра ёсць лік пастаянны для ўсіх акружнасцей.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 113
Дадзена: w(O, R), ®і(Оц ^і) акружнасці, С, Cj — адпаведна даўжыні гэтых акружнасцей.
Даказаць:
а) б) _С_ _ Сі
Рыс. 94 2Я 21?! '
Доказ.
1) Упішам у кожную з акружнасцей правільныя тгвугольнікі. Няхай даўжыні ап, а'п — стораны гэтых многавугольнікаў, Рп, Р^ — адпаведна іх перыметры (рыс. 94, а, б).
2) Цяпер выкарыстаем формулу, якая выражае даўжыню стараны правільнага nвугольніка праз радыус апісанай акружнасці. 3 улікам гэтай формулы (раздзел 3, § 1, п. 3) можна запісаць роўнасці Р„ = па„ =/i2I?sin™ і 180° п
Рп = ап = п 2R^ sin^2^. Такім чынам, правільная роўнасць
Л _ 2R
Рп 2^ h
3) Гэтая роўнасць правільная пры любым значэнні п. Будзем неабмежавана павялічваць лік п, тады перыметр Рп першага многавугольніка імкнецца да даўжыні С першай акружнасці, а перыметр Р„ другога многавугольніка імкнецца да р с
даўжыні Сг другой акружнасці, г. зн. ~ імкнецца да —.
Рп сі
4) Такім чынам, — = ^. Адсюль вынікае, што — = ——. ' Cj 21?! 21? 21?!
Значыць, адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра аднолькавая для ўсіх акружнасцей.
Тэарэма даказана.
Лік, роўны адносіне даўжыні акружнасці да яе дыяметра, абазначаецца маленькай грэчаскай літарай я (чытаецца «пі»). Даказана, што лік п— ірацыянальны, г. зн. выражаецца бясконцым неперыядычным дзесятковым дробам. Прыбліжанае значэнне ліку л з дакладнасцю да васьмі зна
114
Раздзел 3, §2
каў пасля коскі такое: я~ 3,14159265. Пры рашэнні задач у школьнай практыцы выкарыстоўваюць прыбліжанае значэнне ліку л з дакладнасцю да сотых: л»3,14.
3. Даўжыня акружнасці. Даўжыня дугі акружнасці. Для знаходжання формулы даўжыні акружнасці выкарыстаем роўнасць ^ = л. Адсюль вынікае, што даўжыню акруж
насці рады.уса R можна знайсці па формуле С = 2nR або па формуле С = nD, дзе D — дыяметр акружнасці.
Цяпер выведзем формулу для вылічэння даўжыні I дугі акружнасці, градусная мера якой роўна а. Няхай дадзеная дуга з’яўляецца дугой акружнасці радыуса R. Паколькі даўжыня ўсёй акружнасці роўна 2nR, то даўжыня дугі ў 1°
роўна Паколькі градусная мера дугі роўна а, то
360 180
даўжыня I гэтай дугі выражаецца: I = ^.
Пункты F, Т і К — сярэдзіны старон роўнастаронняга трохвугольніка ABC. Знайдзіце даўжыню акружнасці, упісанай у трохвугольнік FTK, калі даўжыня стараны трохвугольніка ABC роўна а.
Рашэнне.
Дадзена: ААВС, АВ = ВС = СА = а, AF = FB, F еАВ, ВТ = ТС, Т е ВС, АК = КС, КеАС. 3 н а й с ц і: даўжыню акружнасці, упісанай у трохвугольнік FTK.
Для знаходжання даўжыні акружнасці можна выкарыстаць формулу С = 2лг, дзе г — радыус акружнасці, упісанай у трохвугольнік FTK. Для знаходжання радыуса г выкарыстаем тое, што трохвугольнік FTK таксама з’яўляецца роўнастароннім.
1) Няхай пункт О — цэнтр акружнасці, упісанай у трохвугольнік FTK, & Е — пункт дотыку акружнасці і стараны FT (рыс. 95, а, б).
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 115
2) Трохвугольнік FTK з’яўляецца роўнастароннім, паколькі FT = ТК = KF = ІАВ. Трохвугольнік ТЕО — прама
вугольны, ZETO = 30° (ОЕ Z FT, паколькі адрэзак ОЕ — радыус, праведзены ў пункт дотыку, прамень ОТ — бісектрыса
вугла ЕТК).
3) У прамавугольным трохвугольніку TEO ОЕ = ETtg30°.
Паколькі OE = ri ЕТ = ^FT = ^, то г= ^^ = 2 4 4 3 12
Заўважым, што радыус г можна знайсці і іншым спосабам, выкарыстаўшы тое, што трохвугольнік FTK падобны да трохвугольніка ABC з каэфіцыентам падобнасці |.
Такім чынам, даўжыня акружнасці С = 2п
Задача ' Асновай прамой чатырохвугольнай прызмы ABCDA^B^CyD^ з’яўляецца квадрат. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля бакавой грані прызмы, калі даўжыня акружнасці, апісанай каля асновы прызмы, роўна 8л cm, a бакавы кант у два разы большы за старану асновы прызмы.
а) б) в)
Рыс. 96
Рашэнне.
Даўжыню С акружнасці можна знайсці па формуле С = 2nR, дзе R — радыус акружнасці. Дадзеная прызма з’яўляецца прамой, і яе асновамі з’яўляюцца квадраты, значыць, усе бакавыя грані — роўныя паміж сабой прамавугольнікі. Дыяганаль грані DD^C роўна дыяметру апісанай каля яго акружнасці, г. зн. D1C = 2R (рыс. 96, а, б, в).
116
Р а з д з е л 3, §2
1) Па ўмове даўжыня акружнасці, апісанай каля квадрата ABCD, роўна 8л см. Дыяметр акружнасці роўны дыяганалі AC, такім чынам, л • AC = 8л. Адсюль AC = 8 см.
2) Паколькі чатырохвугольнік ABCD — квадрат, to AC = = DC^2. Значыць, DC =^ = ^ = 4^2 (см).
3) Па ўмове DDl = 2DC = 8^2 см. У прамавугольным трохвугольніку DXDC DXC = ^DD2 + DC2 = 4^10 cm. Дыяметр акружнасці, апісанай каля грані DD^C^C, роўны DrC, г. зн. 2R = 4^10 см. Цяпер вылічым даўжыню акружнасці, апісанай каля бакавой грані DD^C^: C = 2kR = 4h\/10 см.
Адказ: 4пў10 см.
4. Радыянная мера вугла. Раней была вызначана адзінка вымярэння вуглоў — градус. Нароўні з ёй выкарыстоўваецца адзінка вымярэння вуглоў, якая называецца радыянам.
Вуглом у адзін радыян называецца цэнтральны вугал, якому адпавядае даўжыня дугі, роўная даўжыні радыуса акружнасці.
Радыянная мера вугла — гэта велічыня вугла, выражаная ў радыянах.
Вызначым сувязь паміж радыяннай і градуснай мерай вугла.
Вуглу, градусная мера якога роўна 180°, адпавядае паўакружнасць, даўжыня I якой роўна nR, г. зн. I = nR. Для знаходжання радыяннай меры гэтага вугла трэба даўжыню дадзенай дугі падзяліць на радыус, г. зн. ^ = п.
Значыць, радыянная мера разгорнутага вугла роўна л, г. зн. 180° = л рад. Такім чынам, радыянная мера вугла ў 1° роўна у^, г. зн. 1° = ^^ рад. Пры запісе выкарыстоўваецца скарочанае абазначэнне радыяна — «рад».
3 роўнасці 180° = л рад вынікае, што градусная мера вугла ў 1 радыян роўна ^, г. зн. 1 рад= ^~ Прыбліжана 1 радыян роўны 57°.
3 азначэння радыяна вынікае, што даўжыня I дугі акружнасці радыуса R, якая адпавядае цэнтральнаму вуглу ў х радыян, роўна Rx.
Разгледзім прыклады пераходу ад радыяннай меры да градуснай і ад градуснай меры да радыяннай.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 117
Задача 3. Вылічыце градусную меру вугла 3 рад.
Р аш э н н е.
Паколькі 1 рад ^, то 3 рад = 3 • ^ = ^ « 172°.
Вылічыце радыянную меру вугла 30°.
Рашэнне.
Паколькі 1° = рад, то 30° = 30 • рад = £ рад. loU О
Пры запісе радыяннай меры вугла абазначэнне рад можна прапускаць. Напрыклад, замест 30° = | рад можна пісаць 30° = .
6
Задачы да § 2
333. Плошча квадрата роўна 9 см2. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля гэтага квадрата.
334. Даўжыня акружнасці, апісанай каля квадрата, роўна 16л см. Вылічыце перыметр квадрата.
335. Перыметр квадрата роўны 12 см. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля чатырохвугольніка, вяршынямі якога з’яўляюцца сярэдзіны старон дадзенага квадрата.
336. Плошча квадрата роўна S. Знайдзіце даўжыню акружнасці, упісанай у дадзены квадрат.
337. Плошча правільнага трохвугольніка роўна \/3 см2. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля гэтага трохвугольніка.
338. Даўжыня акружнасці, апісанай каля роўнастаронняга трохвугольніка, роўна 2лТз см. Вылічыце перыметр гэтага трохвугольніка.
339. Перыметр правільнага трохвугольніка роўны 18 см. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля трохвугольніка, вяршынямі якога з’яўляюцца сярэдзіны старон дадзенага правільнага трохвугольніка.
340. Плошча роўнастаронняга трохвугольніка роўна 4^3 см2. Вылічыце даўжыню акружнасці, упісанай у гэты трохвугольнік.
341. Плошча чатырохвугольніка TFKP, вяршынямі якога з’яўляюцца сярэдзіны старон квадрата ABCD, роўна S.
118
Раздзел 3, §2
Знайдзіце даўжыню акружнасці, апісанай каля квадрата ABCD (рыс. 97, а).
Рыс. 97
342. Пункты Т, F, К і Е ляжаць адпаведна на старанах AB, ВС, CD і AD квадрата ABCD. Вылічыце даўжыню акружнасці, упісанай у чатырохвугольнік TFKE, калі АЕ = 3 cm iAE = TB = FC = KD = l см (рыс. 97, б).
КНІГІ ОНЛАЙН
