Геаметрыя вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Геаметрыя

вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
63.7 МБ
Цяпер дакажам прымету, якая дазваляе высветліць, у якім выпадку прамая датыкаецца да акружнасці. Аказваецца, для гэтага дастаткова вызначыць, што прамая перпендыкулярна радыусу і праходзіць праз яго канец, які ляжыць на акружнасці.
Тэарэма 2 (прымета датычнай). Калі прамая перпендыкулярна радыусу акружнасці і праходзіць праз яго канец, які ляжыць на акружнасці, то яна датыкаецца да гэтай акружнасці.
Доказ.
1)	Няхай прамая I праходзіць праз пункт А акружнасці і перпендыкулярна радыусу ОА (рыс. 6). Для доказу таго, што прамая I датыкаецца да акружнасці, дастаткова даказаць, што яна мае з гэтай акружнасцю адзіны агульны пункт.
10
Раздзел 1,§1
2)	Паколькі пункт А ляжыць на акружнасці і прамая I праходзіць праз пункт A, to A — агульны пункт прамой I і акружнасці.
3)	Іншых агульных пунктаў прамая I і акружнасць не маюць. Сапраўды, для любога пункта X е I адрэзак ОХ з’яўляецца нахіленай, паколькі па ўмове ОААІ. Значыць, OX > ОА, г. зн. пункт X не належыць акружнасці.
Такім чынам, пункт A — адзіны агульны пункт прамой I і акружнасці, а значыць, прамая I — датычная да акружнасці.
Тэарэма даказана.
Задача 1 Праз пункт А, які знаходзіцца ад цэнтра О акружнасці на адлегласці 10 см, праведзены дзве датычныя AB і AC, дзе В і С — пункты дотыку. Вылічыце плошчу SAB0C чатырохвугольніка АВОС, калі AB +АС = 16 см (рыс. 7).
Доказ.
1)	Плошча чатырохвугольніка АВОС роўна суме плошчаў трохвугольнікаў ABO і АСО.
2)	Па ўласцівасці датычнай АОВА = = A ОСА 90°. Прамавугольныя трохвугольнікі ABO і АСО роўныя па гіпатэнузе і катэце (АО — агульная, ОВ = ОС). Значыць,
SAB0C = ^SAB0 = 2±ОВАВ = ОВАВ.
3)	Адрэзкі датычных да акружнасці, праведзеныя з аднаго пункта, роўныя. Значыць, АВ=АС—8 см. Цяпер, выкарыстаўшы тэарэму Піфагора, вылічым OB = \'АО2  АВ2 = = 710^8^ = 6 (см).
Такім чынам, S^q^OB • АВ= 68 = 48 (см2).
Адказ: S^^ =48 см2.
Задача 2. Пункт F — сярэдзіна асновы ВС раўнабедранага трохвугольніка ABC. Дакажыце, што прамая ВС з’яўляецца датычнай да акружнасці ®(А, AF) (рыс. 8, а, б).
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
11
Дадзена: ЛАВС, АВ=АС, F е ВС, BF = FC, ® (A, AF).
Даказаць: ВС — датычная.
Доказ.
1)	Прамая ВС праходзіць праз канец F радыуса акружнасці м(А, AF). Для доказу таго, што ВС з’яўляецца датычнай, дастаткова даказаць, што BCFAF.
2)	У раўнабедраным трохвугольніку ABC адрэзак AF — медыяна, праведзеная да яго асновы. Значыць, AFLBC. Такім чынам, па прымеце датычнай прамая ВС датыкаецца да акружнасці й(А, AF).
Што і трэба было даказаць.
Задача 3. Пункт А ляжыць паза акружнасцю й(О, R). Пабудуйце прамую, якая датыкаецца да акружнасці і праходзіць праз пункт А.
Пошук рашэння.
1)	Няхай прамая I, якая праходзіць праз пункт А і датыкаецца да акружнасці ®(О, R), пабудавана. Пункт В — пункт дотыку. Тады па ўласцівасці датычнай OB1AB (рыс. 9, а). Такім чынам, для пабудавання шуканай датычнай неабходна пабудаваць пункт В на акружнасці й(О, R) так, што OB1AB.
2)	Разгледзім акружнасць ®1; дыяметрам якой з’яўляецца адрэзак АО, г. зн. юДО^ OjA), дзе Oj е ОА і 00, = ОгА. Няхай ВіС — пункты перасячэння акружнасцей ®(0, R) і ®1(01, ОгА) (рыс. 9,6). Заўважым, што Zl = Z2iZ3 = Z4, як вуглы пры аснове раўнабедраных трохвугольнікаў ВО}О і ВОХА адпаведна. Паколькі Zl + Z2 + Z3 + Z4 = 180°, to Z1 + Z3 = Z2 + + Z4 = 90°. Значыць, АОВА = 90°, г. зн. OB LAB. Аналагічна даказваецца, што OCLAC. Адсюль па прымеце датычнай да
12
Раздзел 1, § 1
акружнасці вынікае, што прамыя AB і AC з’яўляюцца датычнымі. Цяпер зразумела паслядоўнасць неабходных пабудаванняў.
Пабудаванне.
1)	Праводзім адрэзак ОА, які злучае цэнтр О дадзенай акружнасці і пункт А (рыс. 10, а).
2)	Будуем сярэдзіну О1 адрэзка ОА: Ог = FE оОА. Пункты F і Е — пункты перасячэння акружнасцей й2(О, г) і со3(А, г), дзе г>^ОА (рыс. 10, б).
3)	Будуем акружнасць co^Oj, О^) (рыс. 10, в) і пункты В, С — пункты перасячэння дадзенай і пабудаванай акружнасцей.
4)	Прамыя AB і AC — шуканыя датычныя да дадзенай акружнасці.
Доказ. Папабудаванні ZOBA = 90° і ZOCA = 90° (гл. задачу № 251 вучэбнага дапаможніка «Геаметрыя, 7»), г. зн.
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі	13
АВ±ОВ і AC ЮВ. Значыць, па прымеце датычнай АВ і AC — датычныя.
3.	Узаемнае размяшчэнне дзвюх акружнасцей. Разгледзім пытанне аб узаемным размяшчэнні дзвюх акружнасцей у плоскасці. Магчымы наступныя выпадкі ўзаемнага размяшчэння дзвюх розных акружнасцей:
1)	акружнасці не маюць агульных пунктаў (у гэтым выпадку гавораць, што яны не перасякаюцца (рыс. 11, a ));
2)	акружнасці маюць два агульныя пункты (у гэтым выпадку гавораць, што акружнасці перасякаюцца (рыс. 11, б));
Рыс. 11
3)	акружнасці маюць толькі адзін агульны пункт, і адна з акружнасцей ляжыць унутры круга, абмежаванага другой акружнасцю (у гэтым выпадку гавораць, што яны датыкаюцца ўнутраным чынам (рыс. 12, a ));
4)	акружнасці маюць толькі адзін агульны пункт, і ні адна з акружнасцей не ляжыць унутры круга, абмежаванага другой акружнасцю (у гэтым выпадку гавораць, што яны датыкаюцца знешнім чынам (рыс. 12, б)).
Рыс. 12
14
Р а з д з е л 1, § 1
Задача 1 Дакажыце, што калі дзве акружнасці ro^Oj, ДД і со2(О2, В2) датыкаюцца знешнім чынам, то адлегласць паміж іх цэнтрамі роўна суме іх радыусаў, г. зн. ОХО2 = Rx + R2.
Рыс. 13
Доказ.
1)	Няхай акружнасці ®1(О1, Ri) і ®2(О2, ^г) датыкаюцца знешнім чынам у пункце А (рыс. 13, а).
2)	Дакажам, што пункт А ляжыць на адрэзку ОХО2. Дапусцім, што пункт А не ляжыць на адрэзку OjO2. Заўважым, што ў выпадку знешняга дотыку пункт А не можа ляжаць на прадаўжэнні адрэзка ОгО2. Няхай пункт дотыку А не ляжыць на адрэзку О,О2 (рыс. 13, б). Тады OXA~RX і O^R^
3)	Няхай F — пункт, сіметрычны пункту А адносна прамой ОХО2. Тады OXF = О^А = R1 і O2F = О2А = R2, а значыць, пункт F належыць кожнай акружнасці. Такім чынам, акружнасці юДОі, RJ і ®2(О2, R2) маюць два агульныя пункты А і F, што супярэчыць умове іх дотыку. Значыць, пункт дотыку А ляжыць на адрэзку ОГО2.
4)	Дакажам, што ОХО2 = R^ + R2. Пункт А ляжыць на адрэзку ОгО2, значыць, ОХО2ОХА + 0^ = Rx + R2.
Тэарэма даказана.
Правільнае і адваротнае сцверджанне.
Задача 2. Дакажыце, што калі адлегласць паміж цэнтрамі дзвюх акружнасцей, якія ляжаць у плоскасці, роўна суме іх радыусаў, то такія акружнасці датыкаюцца знешнім чынам.
Доказ.
1)	Няхай дадзены дзве акружнасці w^Oj, ЙД і ®2(О2, R2) і вядома, што O1O2 = R1 + R2. Дакажам, што акружнасці датыкаюцца знешнім чынам.
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
15
2)	На адрэзку ОГО2 разгледзім пункт А такі, што ОХА = = Rr. Тады O2AO1O2O1A = (R1+R2)R1 = R2. Такім чынам, пункт А належыць кожнай з дадзеных акружнасцей.
3)	Дакажам, што акружнасці не маюць іншых агульных пунктаў. Сапраўды, на прамой ОХО2 такіх пунктаў няма. Дапусцім, што існуе пункт X паза прамой ОХО2, які належыць кожнай акружнасці. Тады О1Х = R^ і О2Х = R2. У трохвугольніку О^Х даўжыня стараны ОГО2 роўна суме даўжынь старон ОхХ і О2Х, што немагчыма.
4)	Такім чынам, дапушчэнне аб існаванні яшчэ аднаго пункта, які належыць акружнасцям ©ДОі, Rx) і со2(02, R2), прыводзіць да супярэчнасці. Значыць, іншых агульных пунктаў, акрамя пункта А, не існуе, г. зн. акружнасці датыкаюцца.
5)	Дакажам, што акружнасці датыкаюцца знешнім чынам. Для любога пункта F акружнасці ®2(О2, ^г) выконваецца ўмова OJ? > \ОХО2  O2F\ = \R^ + R2  R2\ = R^ Такім чынам, або пункт F ляжыць паза акружнасцю со1(01, Rr), калі O^F > Rr, або гэты пункт належыць абедзвюм акружнасцям, калі O1F = R1. Але ў гэтым выпадку пункт F ёсць пункт A дотыку акружнасцей. Значыць, акружнасць <в2(О2, R2) размешчана паза часткай плоскасці, абмежаванай акружнасцю o^Od R^. Аналагічна можна даказаць, што акружнасць соДОц RJ размешчана паза часткай плоскасці, абмежаванай акружнасцю ®2(О2, ^г) Цяпер даказана, што акружнасці co^Ou ЙД і w2(O2, ^) датыкаюцца знешнім чынам.
Задача : Дакажыце, што дзве акружнасці датыкаюцца ўнутраным чынам тады і толькі тады, калі адлегласць паміж іх цэнтрамі роўна модулю рознасці іх радыусаў.
Інакш кажучы, калі акружнасці ю1(О1, R^ і 
<1234567891011...2122>


   
	2007-2025
	Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу 
або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
 пішыце ў кантакты