Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
2) Роўнасць ОАОС азначае, што пункт О роўнааддалены ад вяршынь A і С. Значыць, па тэарэме аб пасярэднім перпендыкуляры пункт О ляжыць на пасярэднім перпендыкуляры да стараны AC. Такім чынам, усе тры пасярэднія перпендыкуляры /п 12 і 13 перасякаюцца ў адным пункце.
Тэарэма даказана.
Выкарыстаем тэарэму 3 для доказу ўласцівасці вышынь трохвугольніка.
Тэарэма 4 (аб пункце перасячэння прамых, на якіх ляжаць вышыні трохвугольніка). Прамыя, на якіх ляжаць вышыні трохвугольніка, перасякаюцца ў адным пункце.
42
Раздзел 1, § 3
Доказ.
1) Няхай адрэзкі ААг, ВВг і ССХ — вышыні адвольнага трохвугольніка ABC (рыс. 39). Дакажам, што прамыя, якія змяшчаюць вышыні трохвугольніка, перасякаюцца ў адным пункце.
2) Правядзём праз вяршыні A, В і С прамыя, паралельныя старанам ВС, AC і АВ адпаведна. Няхай Т, F і D — пункты іх перасячэння.
3) Дакажам, што пункты A, В і С з’яўляюцца адпаведна сярэдзінамі старон TD, TF і FD трохвугольніка TFD. Напрыклад, дакажам, што пункт С — сярэдзіна стараны DF. Паколькі чатырохвугольнік ABCD — паралелаграм, to AB = DC. Паколькі ABFC паралелаграм, to AB = CF. Такім чынам, DC = CF.
4) Аналагічна даказваецца, што ATAD і TBBF. Па ўмове AAr 1ВС, а па пабудове TD || ВС, такім чынам, ААг ± TD. Аналагічна ВВг 1 TF і CCV1DF. Значыць, прамыя ААг, ВВХ і СС} з’яўляюцца пасярэднімі перпендыкулярамі да старон трохвугольніка TFD. Такім чынам, яны перасякаюцца ў адным пункце.
Тэарэма даказана.
Пункт перасячэння медыян, пункт перасячэння бісектрыс і пункт перасячэння прамых, якія змяшчаюць вышыні трохвугольніка, называюцца адметнымі пунктамі трохвугольніка.
Заўважым, што калі трохвугольнік востравугольны, то ў адным пункце перасякаюцца самі яго вышыні, а калі трохвугольнік тупавугольны, то ў адным пункце перасякаюцца прамыя, якія змяшчаюць вышыні.
Пытанні да § 3
1. Якой уласцівасцю валодае бісектрыса вугла?
2. Ці правільна, што бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце?
3. Якой уласцівасцю валодаюць пасярэднія перпендыкуляры, праведзеныя да старон трохвугольніка?
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
43
4. Сфармулюйце тэарэму аб уласцівасці прамых, якія змяшчаюць вышыні трохвугольніка.
5. Ці правільна, што пункт перасячэння пасярэдніх перпендыкуляраў да старон трохвугольніка роўнааддалены ад вяршынь трохвугольніка?
Задачы да § 3
72. Адрэзак BF — бісектрыса прамавугольнага трохвугольніка ABC з гіпатэнузай АВ. Даўжыня перпендыкуляра FO, праведзенага да прамой АВ, роўна 4 см (рыс. 40, а). Вылічыце даўжыню адрэзка FC.
73. Адрэзак AT — бісектрыса прамавугольнага трохвугольніка ABC з прамым вуглом пры вяршыні С. Адрэзак ТК — перпендыкуляр, праведзены да гіпатэнузы АВ. Вылічыце даўжыню адрэзка ВК, калі AC = 7см і АВ = 10 см.
74. Адрэзак AF — бісектрыса трохвугольніка ABC. Вышыня FO трохвугольніка ABF роўна 2 см (рыс. 40, б). Ці можа вышыня FT трохвугольніка AFC быць роўнай 2,5 см?
75. ABCD — прамавугольная трапецыя, прамень AF (F е ВС) з’яўляецца бісектрысай вугла BAD, адрэзак FO — перпендыкуляр, праведзены да прамой АВ (рыс. 40, в). Дакажыце, што адрэзак OF роўны вышыні трапецыі.
76. У трохвугольніку ABC з прамым вуглом пры вяршыні С праведзена бісектрыса CF. Вылічыце адлегласці яд пункта F да AC і ВС, калі CF = 4^2 см.
44
Раздзел 1,§3
77. Адрэзак AO — бісектрыса прамавугольнага трохвугольніка ABC з прамым вуглом пры вяршыні С. Вылічыце плошчу трохвугольніка АОВ, калі CO = 3 см, АВ = 12 см.
78. Бісектрысы BF і AT раўнабедранага трохвугольніка ABC, асновай якога з’яўляецца адрэзак ВС, перасякаюцца ў пункце О. Вылічыце даўжыню адрэзка ОТ, калі АВ = 14 см, а плошча трохвугольніка АОВ роўна 35 см2.
79. Бісектрысы AF і ВК трохвугольніка ABC перасякаюцца ў пункце О. Ці правільна, што ZOCA = ZOCB?
80. У трохвугольніку ABC бісектрысы CF і AT перасякаюцца ў пункце О (рыс. 41, а). Вылічыце градусную меру вугла АВО, калі ZOAC = 31°, ZOCB = 22°.
81. Бісектрыса BF вугла ABD перасякае дыяганаль AC квадрата АВСР у пункце S (рыс. 41, б). Вылічыце градусную меру вугла SDB.
82. Асновай раўнабедранага трохвугольніка ABC з’яўляецца адрэзак AC. Бісектрыса AF і вышыня ВТ трохвугольніка перасякаюцца ў пункце О (рыс. 41, в). Вылічыце градусную меру вугла OCT, калі ZABC = 40°.
83. Бісектрысы AF і ВТ вуглоў пры аснове раўнабедранага трохвугольніка ABC перасякаюцца ў пункце О (рыс. 42, а). Дакажыце, што прамая CO перпендыкулярна аснове АВ дадзенага трохвугольніка.
84. Пасярэдні перпендыкуляр I да стараны АВ паралелаграма ABCD перасякае старану AD у пункце F, які з’яўляецца
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
45
яе сярэдзінай (рыс. 42, б). Вылічыце адлегласць ад вяршыні В да пункта F, калі ВС =18 см.
85. Пасярэдні перпендыкуляр I да бакавой стараны АВ раўнабедранага трохвугольніка ABC перасякае бакавую старану ВС у пункце О (рыс. 42, в). Дакажыце, што перыметр трохвугольніка АОС роўны суме даўжынь старон AB і AC.
86. Пасярэдні перпендыкуляр I да гіпатэнузы АВ прамавугольнага трохвугольніка ABC перасякае старану AC у пункце F так, што AF = 10 см. Вылічыце перыметр трохвугольніка FBC, калі ВС = 8 см.
87. На медыяне BF трохвугольніка ABC пабудуйце пункт, роўнааддалены ад вяршынь В і С.
88. Пункты A і В ляжаць з аднаго боку ад прамой I. Пабудуйце раўнабедраны трохвугольнік, асновай якога з’яўляецца адрэзак AB, а вяршыня ляжыць на прамой I.
89. Пабудуйце прамавугольны трохвугольнік па катэце a і суме s другога катэта і гіпатэнузы.
90. Вышыні CF ІАТ востравугольнага трохвугольніка А.ВС перасякаюцца ў пункце О. Дакажыце, што FABO FACO.
91. Вышыні AF і ВТ раўнабедранага трохвугольніка ABC (AC = ВС) перасякаюццаўпункцеОі Е = CO n АВ (рыс. 43, а). Дакажыце, што адрэзак СЕ — медыяна трохвугольніка ABC.
46
Раздзел 1, § 3
Рыс.
92. Вышыні AF і СТ востравугольнага трохвугольніка ABC перасякаюцца ў пункце О (рыс. 43, б). Вядома, што ATFC = 12. Вылічыце даўжыню адрэзка ОС, калі АО = 4 см.
93. Вышыні Afi СТ востравугольнага трохвугольніка ABC перасякаюцца ў пункце О. Вылічыце вышыню трохвугольніка АОС, праведзеную з вяршыні О, калі AO = BF = 8 см, OF = 6 см.
§ 4. Упісаныя і апісаныя трохвугольнікі
1. Акружнасць, упісаная ў трохвугольнік. Разгледзім паняцце акружнасці, упісанай у трохвугольнік.
Азначэнне. Акружнасць называецца ўпісанай у трохвугольнік, калі яна датыкаецца да ўсіх старон трохвугольніка. У гэтым выпадку трохвугольнік называецца апісаным каля акружнасці.
Напрыклад, на рысунку 44, а паказаны відарыс акружнасці, упісанай у трохвугольнік ABC. Акружнасць, відарыс якой паказаны на рысунку 44, б, не з’яўляецца ўпісанай у трохвугольнік ABC, паколькі яна не датыкаецца да стараны ВС.
Круг называецца ўпісаным у трохвугольнік, калі яго граніца ўпісана ў гэты трохвугольнік.
Наступная тэарэма дае адказ на пытанне аб існаванні акружнасці, упісанай у трохвугольнік.
Тэарэма 1 (аб існаванні акружнасці, упісанай у трохвугольнік). У любы трохвугольнік можна ўпісаць адзіную
акружнасць.
Доказ.
I. Дакажам, што ў трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць.
1) Няхай О — пункт перасячэння бісекі рыс адвольнага трохвугольніка ABC (рыс. 45).
2) Адрэзкі OK, ОЕ і ОТ — перпендыкуляры, праведзеныя з пункта О да старон AB, ВС і AC адпаведна.
Рыс. 45
48
Раздзел 1, § 4
3) Па тэарэме аб бісектрысе вугла пункт О роўнааддалены ад старон трохвугольніка, значыць, OK = ОЕ = ОТ. Такім чынам, акружнасць з цэнтрам у пункце О і радыусам, роўным адрэзку ОК, праходзіць праз пункты К, Е і Т.
4) СтораныАВ, ВС іАС трохвугольніка датыкаюцца да гэтай акружнасці ў пунктах К, Е і Т, паколькі яны перпендыкулярны радыусам OK, ОЕ і ОТ адпаведна. Такім чынам, акружнасць з цэнтрам у пункце 0 і радыусам ОК з’яўляецца ўпісанай у трохвугольнік ABC. Існаванне ўпісанай акружнасці даказана.
II. Дакажам, што такая акружнасць адзіная.
Дапусцім, што ў трохвугольнік можна ўпісаць дзве акружнасці. Тады цэнтр кожнай з акружнасцей роўнааддалены ад старон трохвугольніка, а значыць, супадае з пунктам О перасячэння бісектрыс трохвугольніка; яе радыус роўны адлегласці ад пункта О да старон трохвугольніка. Такім чынам, гэтыя акружнасці супадаюць. Тэарэма даказана.
2. Акружнасць, апісаная каля трохвугольніка. Разгледзім паняцце акружнасці, апісанай каля трохвугольніка.
Азначэнне. Акружнасць называецца апісанай каля трохвугольніка, калі ўсе яго вяршыні ляжаць на гэтай акружнасці. У гэтым выпадку трохвугольнік называецца ўпісаным у акружнасць.
Напрыклад, на рысунку 46, а паказаны відарыс акружнасці, якая з’яўляецца апісанай каля трохвугольніка TFE. Акружнасць, відарыс якой паказаны на рысунку 46, б, не з’яўляецца апісанай каля трохвугольніка ABC, паколькі вяршыня С не ляжыць на акружнасці.
Круг называецца апісаным каля трохвугольніка, калі яго граніца апісана каля гэтага трохвугольніка.
Рыс. 46
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
Дакажам тэарэму аб існаванні апісанай каля трохвугольніка акружнасці.
Тэарэма 2 (аб існаванні акружнасці, апісанай каля трохвугольніка). Каля любога трохвугольніка можна апісаць адзіную акружнасць.
Доказ.
I. Дакажам, што каля трохвугольніка можна апісаць акружнасць.
1) Няхай 0 — пункт перасячэння пасярэдніх перпендыкуляраў да старон адвольнага трохвугольніка ABC (рыс. 47).
2) Паколькі пункты пасярэдняга перпендыкуляра да адрэзка роўнааддалены ад яго канцоў, то ОАОВ = ОС. Такім чынам, акружнасць з цэнтрам у
пункце О і радыусам, роўным адрэзку ОА, праходзіць праз усе вяршыні трохвугольніка ABC, а значыць, з’яўляецца апісанай каля гэтага трохвугольніка.
П. Дакажам, што такая акружнасць адзіная.
Дапусцім, што каля трохвугольніка можна апісаць яшчэ адну акружнасць. Тады яе цэнтр роўнааддалены ад вяршынь трохвугольніка, а значыць, супадае з пунктам О перасячэння пасярэдніх перпендыкуляраў да старон трохвугольніка; яе радыус роўны адлегласці ад пункта О да вяршынь трохвугольніка. Такім чынам, акружнасці супадаюць. Тэарэма даказана.
Дакажыце, што радыус г упісанай у прамавугольны трохвугольнік акружнасці можна знайсці па формуле г = рс, дзе р — паўперыметр прамавугольнага трохвугольніка, с — даўжыня яго гіпатэнузы.
Дадзена: ААВС, ААСВ = 90°, АВ = с, і— радыус упісанай акружнасці, р — паўперыметр. Даказаць: г = рс.
а)
КНІГІ ОНЛАЙН
