Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
СУАДНОСІНЫ ПАМІЖ СТАРАНАМІ I ВУГЛАМІ АДВОЛЬНАГА ТРОХВУГОЛЬНІКА
Раздзел 2
СУАДНОСІНЫ ПАМІЖ СТАРАНАМІ I ВУГЛАМІ АДВОЛЬНАГА ТРОХВУГОЛЬНІКА
§ 1. Тэарэма сінусаў
У гэтым параграфе дакажам тэарэму сінусаў, якая дазволіць знаходзіць даўжыні невядомых старон трохвугольніка, калі вядомы даўжыня адной стараны і градусныя меры двух вуглоў, а таксама вылічыць градусныя меры вуглоў, калі вядомы даўжыні дзвюх старон і градусная мера вугла, які ляжыць супраць адной з гэтых старон.
Перш дакажам наступную тэарэму, якая дазволіць знаходзіць плошчу трохвугольніка, калі вядомы даўжыні дзвюх яго старон і градусная мера вугла паміж імі. Дадзеная тэарэма можа быць выкарыстана пры рашэнні многіх задач.
Тэарэма 1 (аб знаходжанні плошчы. трохвугольніка праз даўжыні дзвюх старон і сінус вугла паміж імі). Плошча трохвугольніка роўна палове здабытку даўжынь дзвюх яго старон на сінус вугла ламіж імі.
Доказ.
Няхай у трохвугольніку ABC вядома градусная мера вугла A і AB = с, AC = b. Дакажам, што плошчу дадзенага трохвугольніка можна знайсці па формуле S^ =|cfcsinA. Магчымы тры выпадкі: 1) вугал A — востры; 2) вугал A — тупы; 3) вугал A — прамы.
1) Няхай вугал A — востры (рыс. 65, a), а адрэзак BF — вышыня трохвугольніка. Тады S^, = ~bBF.
74
Раздзел 2, §1
У прамавугольным трохвугольніку ABF даўжыня катэта BF = с sin А. Такім чынам, S^ = ^cb sin A.
2) Няхай вугал A — тупы (рыс. 65, 6). S^ = bBF. У прамавугольным трохвугольніку ABF даўжыня катэта BF = с sin a, дзе a = 180°ZA. Паколькі sin a = sin(180° FA) = sin A, to ^abc = ^c&sinA. Такім чынам, y кожным з выпадкаў 1) і 2) плошча трохвугольніка роўна палове здабытку даўжынь дзвюх яго старон на сінус вугла паміж імі.
3) Калі ZA = 90°, to S^ = |cbsin90° = |&с.
Тэарэма даказана.
Выкарыстаем сцверджанне гэтай тэарэмы для доказу тэарэмы сінусаў.
Тэарэма 2 (тэарэма сінусаў). Даўжыні старон трохвугольніка прапарцыянальны сінусам процілеглых вуглоў.
Рыс. 66
Доказ.
1) Няхай ABC — адвольны трохвугольнік, AB = с, ВС = a, AC = b (рыс. 66).
Дакажам, што = ——
sin A sinB
с
sinC '
Згодна з папярэдняй тэарэмай
можна запісаць наступныя роўнасці:
=cbsin A, SARC = ±ас sin В і
sABC = I a^sinC.
2) Адсюль вынікае, што выконваюцца роўнасці:
~cb sin A = ^ас sin В (1) і ^ас sin В = ^ab sin С (2).
3) 3 роўнасці (1) вынікае, што d sin A = a sin В. Адсюль
b sinB
a sin A
(3).
4) 3 роўнасці (2) вынікае, што c sin B = b sin C. Адсюль атрымаем, што
= (4).
sinC sinB
3 роўнасцей (3) i (4) вынікае, што —— = . — = —•
J v 7 v sinA SmB sinC
Тэарэма даказана.
Суадносіны паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка 75
Рэзультат задачы 2 § 4 першага раздзела сведчыць, што выконваецца роўнасць .^ = 2R, дзе R — радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC. Улічыўшы гэтую роўнасць і сцверджанне тэарэмы сінусаў, атрымаем вынік: —= —^ = 2R. sin A sinB sinC
Паколькі плошча трохвугольніка SABC = |
КНІГІ ОНЛАЙН
