Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
б) Рыс. 48
50
Раздзел 1, § 4
Доказ.
1) Няхай К, Т, F — пункты дотыку ўпісанай акружнасці адпаведна да старон AC, AB і ВС трохвугольніка ABC, пункт О — цэнтр гэтай акружнасці (рыс. 48, а, б).
Чатырохвугольнік CKOF — квадрат (паколькі Z ОКС = = ZKCF = ZCFO = 90°, CK = CF), значыць, CF = CK = OK = OF = r.
2) Адрэзкі датычных, праведзеныя з аднаго пункта, роўныя, значыць, AT = АК =АС r і ВТ = BF = ВС г.
3) Паколькі AT + ВТ = с, to (AC r) + (ВС г) = с. Такім
чынам, = рс.
AC + ВС с або г=
2
АС + ВС + с2с АС + ВС + с
=~С =
2
2
Што і трэба было даказаць.
Задача 2. Дакажыце, што для адвольнага трохвугольніка
ABC выконваецца роўнасць а = 2R, дзе a — даўжыня стаsin A
раны, якая ляжыць акружнасці.
супраць вугла A, R — радыус апісанай
Д а д з е н а: А.АВС, ВС a, R — радыус апісанай акружнасці.
Даказаць:
= 2R.
sin A
a) б)
Рыс. 49
Доказ.
Няхай каля трохвугольніка ABC апісана акружнасць. Правядзём дыяметр BF гэтай акружнасці. Магчымы тры выпадкі.
Перійы выпад Вуглы A і F абапіраюцца на адну дугу (рыс. 49, а). Тады ZA = ZF. У прамавугольным трохвугольніку BCF sinF = ^ = ^~, а, значыць, sinA = ^ або
Другі выпада^ Вуглы A і F абапіраюцца на дугі, якія дапаўняюць адна адну да акружнасці, г. зн. ZA + ZF= 360° ■ 2 =
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі 51
= 180° (рыс. 49, б). Тады Zf=180°ZA. У прамавугольным трохвугольніку BCF sinf = ^ = ^. Але паколькі sin F sin (180° FA) = sin A, to ў гэтым выпадку таксама sinA = F— або a = 2R.
2R sinA
ь^шда Калі трохвугольнік ВАС прамавугольны з прамым вуглом пры вяршыні А, то формула правільная, паколькі ў гэтым выпадку sinA= 1 і старана, якая ляжыць супраць вугла А, з’яўляецца дыяметрам акружнасці, г. зн. a = 2R. Што і трэба было даказаць.
Пытанні да § 4
1. Якая акружнасць называецца ўпісанай у трохвугольнік?
2. Ці правільна, што ў любы трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць?
3. Які пункт з’яўляецца цэнтрам акружнасці, упісанай у трохвугольнік?
4. Які трохвугольнік называецца апісаным каля акружнасці?
5. Якая акружнасць называецца апісанай каля трохвугольніка?
6. Які трохвугольнік называецца ўпісаным у акружнасць?
7. Які пункт з’яўляецца цэнтрам акружнасці, апісанай каля трохвугольніка?
8. Як знайсці радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка, калі вядомы даўжыня стараны і градусная мера процілеглага ёй вугла трохвугольніка?
Задачы да § 4
94. Пункт О — цэнтр акружнасці, упісанай у роўнастаронні трохвугольнік ABC, F = ВО су AC (рыс. 50, а). а) Ці правільна, што Z OAF = 30°? б) Вылічыце градусную меру вугла ВОА. в) Вылічыце вышыню трохвугольніка ABC, калі радыус упісанай у яго акружнасці роўны 2 см.
95. Вылічыце радыус акружнасці, упісанай у роўнастаронні трохвугольнік, калі даўжыня яго стараны роўна 4^3 см.
96. Радыус акружнасці, упісанай у роўнастаронні трохвугольнік, роўны 2^3 см. Вылічыце перыметр трохвугольніка.
52
Раздзел 1,§4
97. Пункт О — цэнтр акружнасці, упісанай у раўнабедраны трохвугольнік ABC, асновай якога з’яўляецца адрэзак AB, F = AB n CO (рыс. 50, б). Вылічыце адносіну CO : OF, калі CF = 4 см і АВ = 6 см.
98. Вылічыце радыус акружнасці, упісанай у раўнабедраны трохвугольнік, калі даўжыня яго асновы роўна 10 cm, a даўжыня бакавой стараны — 13 см.
99. Вылічыце даўжыню асновы раўнабедранага трохвугольніка, калі яго перыметр роўны 32 см, а цэнтр упісанай акружнасці падзяляе вышыню, праведзеную да асновы, у адносіне 5 : 3, лічачы ад вяршыні.
100. Акружнасць, упісаная ў прамавугольны трохвугольнік ABC з прамым вуглом пры вяршыні С, датыкаецца да старон трохвугольніка ў пунктах F, Т іК (рыс. 50, в). Вылічыце даўжыню гіпатэнузы трохвугольніка, калі АК + ТВ = 10 см.
101. У прамавугольны трохвугольнік упісана акружнасць, радыус якой роўны 2 см. Вылічыце перыметр трохвугольніка, калі даўжыня яго гіпатэнузы роўна 13 см.
102. У прамавугольны трохвугольнік ABC (ААСВ = 90°) упісана акружнасць. Вылічыце радыус гэтай акружнасці, калі AC = 2^3 cm і ABAC = 60°.
103. Даўжыні катэтаў прамавугольнага трохвугольніка роўны 8 см і 15 см. Вылічыце адлегласць ад вяршыні прамога вугла да цэнтра ўпісанай у гэты трохвугольнік акружнасці.
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
53
104. У прамавугольны трохвугольнік упісана акружнасць. Пункт яе дотыку да гіпатэнузы падзяляе гіпатэнузу на часткі, даўжыні якіх роўны 6 см і 4 см. Вылічыце радыус акружнасці.
105. Радыус акружнасці, упісанай у прамавугольны трохвугольнік, роўны 5 см, а даўжыня аднаго з катэтаў роўна 12 см. Вылічыце перыметр трохвугольніка.
106. Пункт О — цэнтр акружнасці, апісанай каля роўнастаронняга трохвугольніка ABC, адрэзак BF — дыяметр акружнасці, Т = BF n AC (рыс. 51, а). а) Дакажыце, што ОТ= TF. б) Ці правільна, што ААОТ = 60°? в) Вылічыце вышыню трохвугольніка, калі радыус апісанай акружнасці роўны 6 см.
107. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля роўнастаронняга трохвугольніка, калі даўжыня яго стараны роўна 10 см.
108. Радыус акружнасці, апісанай каля роўнастаронняга трохвугольніка, роўны 2^3 см. Вылічыце перыметр гэтага трохвугольніка.
109. Каля прамавугольнага трохвугольніка ABC з прамым вуглом С апісана акружнасць (рыс. 51, б). Вылічыце радыус гэтай акружнасці, калі AC = 8 см і ВС = 6 см.
110. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля прамавугольнага трохвугольніка ABC з прамым вуглом С, калі АСВА = 30° ІАС = 9 см.
54
Раздзел 1,§4
111. АВСА1В1С1 — прамая прызма (усе бакавыя грані прамой прызмы — прамавугольнікі), асновай якой з’яўляецца прамавугольны трохвугольнік АСВ з прамым вуглом С (рыс. 51, в). Вылічыце дыяметр акружнасці, апісанай каля трохвугольніка СВВ1, калі АВ = 13 cm, AC = 5 см і ВВХ = 5 см.
112. Вылічыце плошчу прамавугольнага трохвугольніка, калі радыус апісанай каля яго акружнасці роўны 5 cm, a даўжыня аднаго з катэтаў роўна 8 см.
113. Даўжыня бакавой стараны раўнабедранага трохвугольніка роўна 10 см, а вышыня, праведзеная з яго вяршыні да асновы, роўна 8 см. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля гэтага трохвугольніка.
114. Радыус акружнасці, апісанай каля раўнабедранага трохвугольніка, роўны R, а даўжыня яго бакавой стараны роўна а. Знайдзіце вышыню трохвугольніка, якая праведзена да яго асновы.
115. Даўжыня бакавой стараны раўнабедранага трохвугольніка роўна 13 см, а радыус акружнасці, апісанай каля гэтага трохвугольніка, роўны 7^ см. Вылічыце плошчу гэтага трохвугольніка.
116. Каля раўнабедранага трохвугольніка ABC, асновай якога з’яўляецца адрэзак AC, апісана акружнасць з цэнтрам у пункце О, адрэзак BF — дыяметр акружнасці, Т = BF n AC. Вылічыце даўжыню дыяметра BF, калі ВС = 10см, ВТ = 8см.
117. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля раўнабедранага трохвугольніка, калі даўжыня яго асновы роўна 10 см, а даўжыня бакавой стараны — 13 см.
118. ABC — раўнабедраны трохвугольнік, аснова якога — адрэзак AC. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля гэтага трохвугольніка, калі ААВС = 120° і АВ = 12 см.
119. Градусная мера вугла пры аснове раўнабедранага трохвугольніка роўна 30°, а яго бакавая старана роўна а. Дакажыце, што дыяметр акружнасці, апісанай каля гэтага трохвугольніка, роўны 2а.
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
120. Даўжыня стараны роўнастаронняга трохвугольніка роўна а. Дакажыце, што радыус г упісанай у гэты трохвугольнік акружнасці можна знайсці па формуле г = ^^(рыс. 52, а).
121. Радыус акружнасці, упісанай у роўнастаронні трохвугольнік, роўны г. Дакажыце, што плошчу гэтага трохвугольніка можна знайсці па формуле S = ЗТЗ г2 (гл. рыс. 52, а).
122. Дакажыце, што плошчу S адвольнага трохвугольніка можна знайсці па формуле S = гр, дзе р — паўперыметр гэтага трохвугольніка, г — радыус упісанай акружнасці (рыс. 52, б).
123. Радыус апісанай каля раўнабедранага трохвугольніка акружнасці роўны R, а градусная мера вугла пры яго аснове роўна <р. Знайдзіце плошчу трохвугольніка.
124. Асновай прамой трохвугольнай прызмы АВСАХВХСХ з’яўляецца роўнастаронні трохвугольнік ABC. Вылічыце плошчу бакавой грані прызмы, калі радыус акружнасці, упісанай у аснову прызмы, роўны V3 см, а даўжыня дыяганалі бакавой грані роўна 10 см.
125. У прамавугольны трохвугольнік, градусная мера аднаго з вуглоў якога роўна 60°, упісана акружнасць, радыус якой роўны 2^3 см. Вылічыце плошчу гэтага трохвугольніка.
126. Вылічыце перыметр прамавугольнага трохвугольніка, калі радыусы ўпісанай і апісанай акружнасцей роўны адпаведна 2 см і 5 см.
56
Раздзел 1,§4
127. Перыметр прамавугольнага трохвугольніка роўны 90 см, а радыус упісанай у яго акружнасці роўны 4 см. Вылічыце даўжыні катэтаў гэтага трохвугольніка.
128. Каля акружнасці, радыус якой роўны 5 см, апісаны прамавугольны трохвугольнік. Вышыня гэтага трохвугольніка, праведзеная да гіпатэнузы, роўна 12 см. Вылічыце даўжыню гіпатэнузы.
129. У прамавугольны трохвугольнік, перыметр якога роўны 24 см, упісана акружнасць. Пункт дотыку гіпатэнузы і акружнасці падзяляе гіпатэнузу ў адносіне 2:3. Вылічыце даўжыні старон трохвугольніка.
130. Асновай прамой трохвугольнай прызмы АВСА1В1С1 з’яўляецца прамавугольны трохвугольнік АСВ з прамым вуглом С. Вылічыце даўжыню дыяганалі грані ААХВХВ, калі даўжыня аднаго з катэтаў трохвугольніка АСВ роўна 3 см, радыус упісанай у яго акружнасці роўны 1 см, а плошча грані АА^В роўна 60 см2.
131. Даўжыні катэтаў прамавугольнага трохвугольніка роўны a і b, а радыусы ўпісанай і апісанай акружнасцей — г і R. Дакажыце, што a + b = 2(r + R).
132. У прамавугольны трохвугольнік упісана акружнасць, пункт дотыку якой падзяляе гіпатэнузу на адрэзкі, даўжыні якіх т і п. Дакажыце, што плошчу S трохвугольніка можна знайсці па формуле S = тп.
133. Радыус акружнасці, упісанай у прамавугольны трохвугольнік, роўны г, а даўжыня яго гіпатэнузы роўна с. Дакажыце, што плошчу S трохвугольніка можна знайсці па формуле S = г2 + гс.
134. У прамавугольным трохвугольніку вышыня, праведзеная да гіпатэнузы, падзяляе яго на два прамавугольныя трохвугольнікі. Дакажыце, што r + і\ + r2 = h, дзе г — радыус акружнасці, упісанай у дадзены трохвугольнік; г1; г2 — радыусы акружнасцей, упісаных у атрыманыя трохвугольнікі; h — вышыня, праведзеная да гіпатэнузы.
135. У раўнабедраны трохвугольнік упісана акружнасць. Адлегласць ад цэнтра акружнасці да вяршыні вугла, про
КНІГІ ОНЛАЙН
