Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
7. Якой уласцівасцю валодаюць адрэзкі датычных да акружнасці, праведзеныя з аднаго пункта?
Задачы да § 1
1. Адрэзак АВ — дыяметр акружнасці. Прамыя Іг і 12 датыкаюцца да акружнасці ў пунктах A і В (рыс. 15, а). Дакажыце, што прамыя 1} і 12 паралельныя.
2. Перпендыкулярныя прамыя Іг і 12 перасякаюцца ў пункце А. Акружнасць з цэнтрам у пункце О датыкаецца да прамых lxil2y пунктах В і С адпаведна (рыс. 15, б). Дакажыце, што чатырохвугольнік АВОС — квадрат.
3. Прамая I датыкаецца ў пункце F да акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О. Пункты A, В належаць прамой I, iAF = FB (рыс. 15, в). Пункт D ляжыць на прамені
18
Раздзел 1,§1
OF так, што OF = FD. Дакажыце, што чатырохвугольнік OADB — ромб.
4. Пункт S — цэнтр акружнасці, радыус якой роўны 4 см. Прамая I датыкаецца да акружнасці ў пункце Е. Пункт A ляжыць на датычнай так, што AESA = 60°. Вылічыце адлегласць ад пункта А да цэнтра акружнасці.
5. Пункт F — пункт дотыку прамой I і акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О. Пункт D ляжыць на датычнай так, што DO '■ OF = 2 = 1. Дакажыце, што градусная мера вугла FOD роўна 60°.
6. Пункт F — пункт дотыку прамой I і акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О. Адрэзак AO (A е I) перасякае акружнасць у пункце Т, а адрэзак FT роўны радыусу акружнасці. Вылічыце даўжыню адрэзка AF, калі FT = 2 см.
7. Акружнасць, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О, датыкаецца да прамой I у пункце А. Пункт F ляжыць на прамой I і размешчаны ад пунктаў О і А на адлегласці 25 см і 24 см адпаведна. Вылічыце даўжыні адрэзкаў, на якія акружнасць падзяляе адрэзак OF.
8. Пункт А і акружнасць радыуса 6 см ляжыць у плоскасці, адлегласць ад пункта А да цэнтра акружнасці роўна 12 см. Вылічыце градусную меру вугла паміж датычнымі да акружнасці, праведзенымі праз пункт А.
9. Адрэзкі AB і AC з’яўляюцца адрэзкамі датычных да акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О. Вылічыце радыус акружнасці, калі АО = 8 cm, a ABAC = 60°.
10. Пункт D — пункт дотыку прамой I і акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О. Пункт С ляжыць на прамой I так, што плошча трохвугольніка CDO роўна 24 см2. Вылічыце адлегласць паміж пунктамі О і С, калі радыус акружнасці роўны 6 см.
11. Пункт О — цэнтр акружнасці, радыус якой роўны 5 см. Прамая I датыкаецца да акружнасці ў пункце А. Пункт В ляжыць на прамой I на адлегласці 13 см ад цэнтра акружнасці. Вылічыце плошчу трохвугольніка ОАВ.
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
19
12. Праз пункт А, што ляжыць паза акружнасцю ®(О, R), праведзены прамыя, якія датыкаюцца да акружнасці ў пунктах В іС. Акружнасць перасякае адрэзак ОА у пункцеУі OF = FA (рыс. 16, а). Дакажыце, што ZBOC = 120°.
13. Дыяганалі квадрата ABCD перасякаюцца ў пункце F. Дакажыце, што акружнасць м(С, CF) датыкаецца да прамой BD (рыс. 16, б).
Рыс. 16
14. Прамая AF датыкаецца да акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О, у пункце F. Акружнасць перасякае адрэзак АО у пункце D. Праз пункт D праведзена прамая DT (Т е OF), паралельная прамой AF. Вылічыце даўжыню адрэзка АО, калі радыус акружнасці роўны 6 см, а адлегласць ад цэнтра акружнасці да прамой DT роўна 2 см (рыс. 16, в).
15. Пункт О — цэнтр акружнасці, радыус якой роўны 1 см. Прамыя AB і AC — датычныя да акружнасці, дзе В і С — пункты дотыку. Вылічыце градусную меру вугла ВАС, калі даўжыня адрэзка датычнай роўна 7з см.
16. Праз пункт А да акружнасці (0(0, R) праведзены дзве датычныя, градусная мера вугла паміж якімі роўна 60°. Знайдзіце даўжыню хорды, што злучае пункты дотыку.
17. Праз пункт А да акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О, праведзены дзве датычныя AB і AC, дзе В і С — пункты дотыку. Хорда ВС перасякае адрэзак ОА у пункце F. Вылічыце радыус акружнасці, калі даўжыня хорды ВС роўна 8 см, а даўжыня адрэзка AF роўна 16 см (рыс. 17, а).
20
Раздзел 1, § 1
18. Праз пункт А да акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О, праведзены дзве датычныя. Вылічыце адлегласці ад пункта А да пунктаў дотыку, калі радыус акружнасці роўны 5 см, а даўжыня хорды, якая злучае пункты дотыку, роўна 8 см.
19. Праз пункт А да акружнасці праведзены дзве датычныя AB і AC, дзе В і С — пункты дотыку. Праз пункт D гэтай акружнасці праведзена яшчэ адна датычная I, як паказана на рысунку 17, б. Пункты Т і F — пункты перасячэння прамой I з датычнымі AB і AC адпаведна. Знайдзіце перыметр трохвугольніка ATF, калі вядома, што АВ = а.
20. Пункт А ляжыць паза акружнасцю і аддалены ад яе цэнтра на адлегласць 13 см. Праз пункт А праведзены дзве датычныя. Адлегласць паміж пунктамі дотыку роўна 12 см. Вылічыце радыус акружнасці.
21. Праз пункт А да акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О, праведзены дзве датычныя, градусная мера вугла паміж якімі роўна а. Знайдзіце даўжыню хорды, якая злучае пункты дотыку, калі ОА = а.
22. Праз пункт праведзены дзве датычныя да акружнасці, градусная мера вугла паміж якімі роўна 2а. Адлегласць ад цэнтра акружнасці да хорды, якая злучае пункты дотыку, роўна а. Знайдзіце даўжыні адрэзкаў датычных.
23. Дзве акружнасці датыкаюцца знешнім чынам у пункце А. Радыус адной акружнасці роўны 2 см. Агульная датычная да гэтых акружнасцей праходзіць праз пункт А і перасякае
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
21
другую іх агульную датычную ў пункце В. Вылічыце радыус другой акружнасці, калі даўжыня адрэзка АВ роўна 4 см.
24. Да акружнасці, радыус якой роўны R, праведзены ўзаемна перпендыкулярныя датычныя AC і АВ. Пункт F ляжыць паміж пунктамі дотыку В і С на меншай дузе акружнасці. Праз пункт F праведзена датычная, якая перасякае прамыя AC і АВ у пунктах Е і Т адпаведна. Знайдзіце перыметр трохвугольніка АЕТ.
25. Дзве акружнасці датыкаюцца знешнім чынам у пункце А і ляжаць з аднаго боку ад іх агульнай датычнай ВС, дзе В і С — пункты дотыку. Знайдзіце плошчу трохвугольніка ABC, калі AB = a, AC = b.
26. Акружнасці радыусаў R і г датыкаюцца знешнім чынам. Дакажыце, што адрэзак іх агульнай датычнай, канцамі якога з’яўляюцца пункты дотыку, роўны 2\[Rr.
27. Акружнасць радыуса R датыкаецца да старон вугла, градусная мера якога роўна 60°. Знайдзіце радыус меншай акружнасці, што датыкаецца да старон вугла і дадзенай акружнасці.
28. Дзве акружнасці датыкаюцца знешнім чынам, а кожная з іх датыкаецца да старон дадзенага вугла. Вылічыце сінус вугла, старанамі якога з’яўляюцца бісектрыса і старана дадзенага вугла, калі радыусы акружнасцей роўны 2 см і 4 см.
29. Акружнасці радыусаў R і r (R > г) датыкаюцца знешнім чынам і ляжаць з аднаго боку ад іх агульнай датычнай. Градусная мера вугла паміж датычнай і прамой, якая праходзіць праз цэнтры акружнасцей, роўна а. Знайдзіце адносіну R да г.
30. Дзве акружнасці датыкаюцца знешнім чынам у пункце С. Да акружнасцей праведзена агульная знешняя датычная АВ, дзе A і В — пункты дотыку. Агульная датычная, якая праходзіць праз пункт С, перасякае прамую АВ у пункце Т. Вылічыце даўжыню адрэзка СТ, калі вядома, што радыусы акружнасцей роўны 9 см і 16 см.
22 Раздзел1,§1
31. У вугал упісаны тры акружнасці. Сярэдняя акружнасць датыкаецца да дзвюх іншых акружнасцей, радыусы якіх Rx і R2. Знайдзіце радыус сярэдняй акружнасці.
32. Пабудуйце акружнасць, якая праходзіць праз дадзены пункт А і датыкаецца да дадзенай прамой I у дадзеным пункце Р, што належыць прамой I.
33. Пабудуйце акружнасць, якая датыкаецца да старон дадзенага вугла, прычым да адной з іх у дадзеным на ёй пункце F.
34. Пабудуйце акружнасць, якая праходзіць праз дадзены пункт А і датыкаецца да дадзенай акружнасці ў дадзеным на ёй пункце F.
35. Пабудуйце акружнасць, якая датыкаецца да дадзенай акружнасці з цэнтрам у дадзеным пункце О, у дадзеным на ёй пункце Т і да дадзенай прамой I, якая перасякае дадзеную акружнасць.
§ 2. Цэнтральныя і ўпісаныя вуглы
1. Цэнтральныя вуглы. Градусная мера дугі акружнасці. У дадзеным параграфе вывучым паняцці цэнтральнага і ўпісанага вуглоў.
Азначэнне. Цэнтральным вуглом акружнасці называецца вугал з вяршыняй у цэнтры гэтай акружнасці.
Напрыклад, на рысунку 18, а паказаны відарыс цэнтральнага вугла TOF, які меншьь за разгорнуты вугал, а на рысунку 18, б — відарыс цэнтральнага вугла SOD, які большы за разгорнуты вугал.
Любыя два розныя пункты A і В акружнасці з’яўляюцца канцамі дзвюх дуг. Для адрознівання гэтых дуг на кожнай з іх адзначаецца нейкі прамежкавы пункт. Напрыклад, калі на дугах адзначаны пункты F і Т, то ў гэтым выпадку дугі абазначаюцца uATB і u AFB і дадзены запіс чытаецца так: «ДугаАТВ і дуга AFB» (рыс. 19, а). Калі зразумела, аб якой
Рыс. 19
24
Раздзел 1,§2
з дзвюх дуг ідзе гаворка, выкарыстоўваецца таксама абазначэнне йАВ.
Дуга АВ акружнасці называецца паўакружнасцю, калі яе канцы з’яўляюцца канцамі дыяметра гэтай акружнасці.
Напрыклад, на рысунку 19,6 паказаны відарысы паўакружнасцей ALB і АСВ.
Няхай пункты A і В не з’яўляюцца канцамі дыяметра акружнасці з цэнтрам у пункце О. Тады прамені ОА і ОВ з’яўляюцца старанамі двух цэнтральных вуглоў, адзін з якіх меншы, а другі большы за разгорнуты вугал (рыс. 20, а).
Дуга АВ акружнасці со(0, R) і цэнтральны вугал АОВ, унутры. якога ляжыць гэтая дуга, называюцца адпаведнымі.
Калі дуга акружнасці ляжыць унутры адпаведнага цэнтральнага вугла, які меншы за разгорнуты вугал, то гавораць, што гэтая дуга меншая за паўакружнасць.
Калі дуга акружнасці ляжыць унутры адпаведнага цэнтральнага вугла, які большы за разгорнуты вугал, то гавораць, што дуга большая за паўакружнасць.
Напрыклад, на рысунку 20, а паказаны відарыс дугіАВВ, меншай за паўакружнасць, і відарыс дугі АТВ, большай за паўакружнасць.
Для параўнання дуг акружнасці ўводзіцца паняцце градуснай меры дугі акружнасці.
Дадзім азначэнне градуснай меры дугі акружнасці.
Азначэнне. Градуснай мерай дугі акружнасці называецца градусная мера адпаведнага цэнтральнага вугла.
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
25
Градусная мера дугі АВ, як і сама дуга, абазначаецца ^АВ.
Такім чынам, калі дуга АВ акружнасці меншая за паўакружнасць, a ZAOB — адпаведны цэнтральны вугал, то uAB = ZAOB (гл. рыс. 20, а).
Калі дугаАВ з’яўляецца паўакружнасцю, то яе градусная мера роўна 180° (рыс. 20, б).
Градусная мера дугі АТВ, якая большая за паўакружнасць і дапаўняе дугу АВ, якая меншая за паўакружнасць, да акружнасці, роўна 360° — ZAOB, дзе вугал АОВ адпавядае дузе АВ (рыс. 20, в).
КНІГІ ОНЛАЙН
