Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
57
цілеглага аснове, роўна 10 см, а даўжыня бакавой стараны роўна 20 см. Вылічыце радыус упісанай акружнасці.
136. У раўнабедраным трохвугольніку градусная мера вугла пры аснове роўна 30°. Вышыня, праведзеная да асновы, большая за радыус упісанай акружнасці на 2 см. Вылічыце даўжыню асновы трохвугольніка.
137. Знайдзіце даўжыню асновы раўнабедранага трохвугольніка, калі яго вышыня, праведзеная да асновы, роўна h, а радыус упісанай акружнасці роўны г.
138. У акружнасць упісаны раўнабедраны трохвугольнік, даўжыня асновы якога роўна 10 см, а даўжыня бакавой стараны — 12 см. Праз сярэдзіну вышыні, праведзенай да асновы трохвугольніка, праходзіць хорда, паралельная аснове. Вылічыце даўжыню хорды.
139. Каля раўнабедранага трохвугольніка апісана акружнасць радыуса 25 см. Адлегласць ад цэнтра акружнасці да асновы роўна 7 см. Вылічыце плошчу трохвугольніка.
140. У раўнабедраны трохвугольнік, даўжыня бакавой стараны якога роўна 18 см, а даўжыня асновы — 12 см, упісана акружнасць. Да яе праведзена датычная, паралельная аснове. Вылічыце даўжыню адрэзка датычнай, які абмежаваны пунктамі перасячэння з бакавымі старанамі.
141. Радыус акружнасці, апісанай каля прамавугольнага трохвугольніка, роўны R, а градусная мера аднаго з яго вострых вуглоў роўна а. Знайдзіце радыус упісанай акружнасці.
142*. Адрэзкі BD і АЕ — вышыні раўнабедранага трохвугольніка ABC з асновай AC. Радыусы акружнасцей, упісаных у трохвугольнікі ABD і АЕС, роўны адпаведна 10 см і 12 см. Вылічыце радыус акружнасці, упісанай у трохвугольнік ABC.
143*. Пабудуйце прамавугольны трохвугольнік па гіпатэнузе с і радыусе г упісанай акружнасці.
144*. Пабудуйце прамавугольны трохвугольнік па гіпатэнузе с і медыяне т, праведзенай да катэта.
§ 5. Упісаныя і апісаныя чатырохвугольнікі
1. Акружнасць, упісаная ў чатырохвугольнік. Вызначым паняцце акружнасці, упісанай у чатырохвугольнік.
Азначэнне. Акружнасць называецца ўпісанай у чатырохвугольнік, калі яна датыкаецца да ўсіх старон чатырохвугольніка. У гэтым выпадку чатырохвугольнік называецца апісаным каля акружнасці.
Напрыклад, на рысунку 53, а паказаны відарыс квадратаАВСВ і ўпісаная ў яго акружнасць. Акружнасць, відарыс якой паказаны на рысунку 53, б, не з’яўляецца ўпісанай у чатырохвугольнік AFDC, паколькі яна не датыкаецца да яго стараны DC.
Заўважым, што не ў любы чатырохвугольнік можна ўпісаць акружнасць. Напрыклад, у прамавугольнік, які не з’яўляецца квадратам, нельга ўпісаць акружнасць. Існуе акружнасць, якая датыкаецца да трох старон такога прамавугольніка, і не існуе акружнасці, якая датыкаецца да ўсіх чатырох яго старон (рыс. 53, в).
Круг называецца ўпісаным у чатырохвугольнік, калі яго граніца ўпісана ў чатырохвугольнік.
Наступная тэарэма характарызуе ўласцівасць чатырохвугольніка, у які можна ўпісаць акружнасць.
Тэарэма 1 (аб уласцівасці чатырохвугольніка, у які можна ўпісаць акружнасць). ў чатырохвугольнік можна ўпісаць акружнасць, то сумы даўжынь яго процілеглых старон роўныя.
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі
59
Доказ.
1) Няхай у чатырохвугольнік ABCD упісана акружнасць, якая датыкаецца да яго старон у пунктах F, 0, ТіЕ (рыс. 54).
Дакажам, што AB + CD = ВС +AD.
2) Паколькі адрэзкі датычных да акружнасці, праведзеныя з аднаго пункта, роўныя, to АЕ =АЕ = a, BF = BO = b, CO = CT = m, DT = DE = c.
3) Такім чынам, AB + CD = (AF + FB) +
+ (CT + DT) = a + b + c + m i BC+AD = (BO + OC) + (AE + ED) = = a + b + c + m. Адсюль вынікае, што AB + CD = BC +AD.
Тэарэма даказана.
Правільнае i адваротнае сцверджанне, што адказвае на пытанне, пры якой умове ў чатырохвугольнік можна ўпісаць акружнасць.
Тэарэма 2 (умова, пры якой у чатырохвугольнік можна ўпісаць акружнасць). Калі ў выпуклым чатырохвугольніку сумы даўжынь процілеглых старон роўныя, то ў гэты чатырохвугольнік можна ўпісаць акружнасць.
Доказ.
1) Няхай ABCD — выпуклы чатырохвугольнік, у якім AB + CD = BC +AD. Дакажам, што ў гэты чатырохвугольнік можна ўпісаць акружнасць.
2) Разгледзім акружнасць, якая датыкаецца да трох старон: AB, BC і AD. Цэнтр О гэтай акружнасці ёсць пункт перасячэння бісектрыс вуглоў СВА і BAD (рыс. 55, а).
3) Дакажам, што гэтая акружнасць упісана ў чатырохвугольнік, г. зн. што яна датыкаецца таксама і да стараны CD.
60
Раздзел 1, § 5
Дапусцім, што гэта не так. Тады старана CD або не перасякае акружнасць, або з’яўляецца сякучай.
4) Няхай старана CD не перасякае акружнасць (рыс. 55, б). Правядзём датычную DF, дзе F е ВС. Паколькі ABFD — апісаны чатырохвугольнік, то правільная роўнасцьАВ + DF = = AD + BF. Акрамя таго, па ўмове AB + CD = BF + FC+AD. Адсюль вынікае, што AB + CD =АВ + DF + FC або CD = DF + + FC, што немагчыма, паколькі ў трохвугольніку DFC даўжыня стараны CD павінна быць меншай за суму даўжынь дзвюх іншых старон. Аналагічна прыводзіць да супярэчнасці і дапушчэнне таго, што старана CD з’яўляецца сякучай.
5) Такім чынам, дапушчэнне таго, што старана CD не датыкаецца да разглядаемай акружнасці, няправільнае. Значыць, старана CD датыкаецца да гэтай акружнасці, і, такім чынам, акружнасць упісана ў чатырохвугольнік ABCD.
Тэарэма даказана.
2. Акружнасць, апісаная каля чатырохвугольніка. Вызначым паняцце акружнасці, апісанай каля чатырохвугольніка.
Азначэнне. Акр;
чатырохвугольніка, калі ўсе яго вяршыні ляжаць на акружнасці. У гэтым выпадку чатырохвугольнік называецца ўпіса
ным у акружнасць.
Круг называецца апісаным каля чатырохвугольніка, калі яго граніца апісана каля чатырохвугольніка.
Цяпер разгледзім уласцівасць чатырохвугольніка, упісанага ў акружнасць.
Тэарэма 3 (аб уласцівасці чатырохвугольніка, упісанага ў акружнасць). Калі каля чатырохвугольніка апісана акружнасць, то сумы градусных мер яго процілеглых вуглоў роўны, 180°.
Доказ.
1) Няхай чатырохвугольнік ABCD упісаны ў акружнасць (рыс. 56). Дакажам, што ZA + ZC= 180° і ZB + ZD = 180°.
2) Паколькі вуглы АіС — упісаныя, to ZA = u BCD і ZC = u BAD. Такім 2 2
чынам, ZA + ZC=|u BCD + | u BAD = = ^(^BCD + uBAD) = 1 • 360° = 180°.
Рыс. 56
Упісаныя і апісаныя многавугольнікі 61
Паколькі сума градусных мер вуглоў чатырохвугольніка ABCD роўна 360° і ZA + ZC= 180°, to ZB + ZD = 180°.
Тэарэма даказана.
Правільнае і адваротнае сцверджанне, што характарызуе ўмову, пры якой каля чатырохвугольніка можна апісаць акружнасць.
Тэарэма 4 (умова, пры якой каля чатырохвугольніка можна апісаць акружнасць). Калі ў чатырохвугольніку сумы. градусных мер процілеглых вуглоў роўны 180°, то каля такога чатырохвугольніка можна апісаць акружнасць.
Рыс. 57
Доказ.
1) Няхай у чатырохвугольніку ABCD выконваецца роўнасць ZA + ZC=180°. Дакажам, што каля чатырохвугольніка ABCD можна апісаць акружнасць (рыс. 57, а).
2) Разгледзім акружнасць, апісаную каля трохвугольніка ABD, і дакажам, што гэтая акружнасць праходзіць таксама праз вяршыню С. Дапусцім, што акружнасць не праходзіць праз вяршыню С. Тады вяршыня С ляжыць або паза кругам, граніцай якога з’яўляецца разглядаемая акружнасць, або ўнутры гэтага круга.
3) Няхай вяршыня С ляжыць паза кругам (рыс. 57, б). Абазначым літарамі F і О пункты перасячэння старон ВС і DC з акружнасцю. Тады ZC = ^(
КНІГІ ОНЛАЙН
