Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
343. Даўжыня акружнасці, апісанай каля прамавугольніка, роўна 20л см. Вылічыце перыметр прамавугольніка, калі яго дыяганаль утварае са стараной вугал, градусная мера якога роўна 30°.
344. Плошча прамавугольніка ABCD роўна 12 см2, а яго перыметр •— 14 см. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC.
345. Адрэзак BF — перпендыкуляр, праведзены з вяршыні В прамавугольніка ABCD да яго дыяганалі AC. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля прамавугольніка, калі BF = 6 cm і AF = 4 см.
346. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля прамавугольнага трохвугольніка, калі яго плошча роўна 48 см2, а даўжыня аднаго з катэтаў — 6 см.
347. Даўжыня акружнасці, апісанай каля прамавугольнага трохвугольніка, роўна 26л см, а даўжыня аднаго з яго катэтаў роўна 10 см. Вылічыце плошчу трохвугольніка.
348. Вылічыце даўжыню акружнасці, упісаыай у прамавугольны трохвугольнік, даўжыні катэтаў якога роўны 6 см і 8 см.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 119
349. Адна з дыяганалей ромба роўна яго старане. Вылічыце даўжыню акружнасці, упісанай у ромб, калі яго перыметр роўны 40 см.
350. Даўжыня акружнасці, упісанай у ромб, роўна 2лТз cm. Вылічыце плошчу гэтага ромба, калі яго старана роўна дыяганалі.
351. Пункты Т, F, К і Р — сярэдзіны старон AB, ВС, CD і AD ромба ABCD адпаведна. Знайдзіце даўжыню акружнасці, апісанай каля чатырохвугольніка TFKP, калі даўжыня е?араны ромба роўна а.
352. Даўжыня стараны асновы раўнабедранага трохвугольніка роўна 16 см, а градусная мера аднаго з яго вуглоў роўна 150°. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля гэтага трохвугольніка.
353. Градусная мера вугла пры аснове раўнабедранага трохвугольніса роўна 75°, а даўжыня яго асновы роўна 10 см. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля трохвугольніка.
354. Даўжыня акружнасці, апісанай каля раўнабедранага трохвугольніка, роўна ул см. Вылічыце сінус вугла пры аснове трохвугольніка, калі даўжыня яго бакавой стараны роўна 5 см.
355. Даўжынл акружнасці, апісанай каля раўнабедранага трохвугольніка ABC, роўна 25л см, адрэзак BF — дыяметр акоужнасці. Вылічыце даўжыню хорды FC, калі вышыня, праведзеная да асновы AC, роўна 16 см (рыс. 98, а).
б)
Рыс. 98
120
Раздзел 3, §2
356. Адрэзак ВС — дыяметр акружнасці, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О. Прамая I датыкаецца да акружнасці ў пункце С, A е I (рыс. 98, б). Адрэзак АВ перасякае акружнасць у пункце D так, што AD = DB = 1:3. Вылічыце даўжыню акружнасці, калі CD = 3 см.
357. На старане АВ прамавугольнага трохвугольніка ABC як на дыяметры пабудавана акружнасць, якая перасякае гіпатэнузу AC у пункце D. Вылічыце даўжыню акружнасці, калі BD = 24 см і ВС = 30 см.
358. Даўжыні катэтаў прамавугольнага трохвугольніка роўны 6 см і 8 см. Вылічыце даўжыню акружнасці, дыяметрам якой з’яўляецца медыяна, праведзеная да гіпатэнузы.
359. У акружнасць упісана трапецыя, адна з асноў якой з’яўляецца дыяметрам акружнасці. Градусная мера вугла трапецыі роўна 60°, а яе плошча роўна 12\/3 см2. Вылічыце даўжыню акружнасці.
360. Даўжыня стараны трохвугольніка роўна 18 cm, a градусныя меры прылеглых да яе вуглоў роўны 70° і 80°. Вылічыце даўжыні дуг, на якія вяршыні трохвугольніка падзяляюць апісаную каля яго акружнасць.
361. Даўжыня стараны асновы раўнабедранага трохвугольніка роўна 2ўЗ см, а градусная мера вугла пры аснове роўна 30°. Вылічыце даўжыні дуг, на якія вяршыні трохвугольніка падзяляюць акружнасць, апісаную каля трохвугольніка.
362. Вышыня, праведзеная да асновы раўнабедранага трохвугольніка, з’яўляецца дыяметрам акружнасці. Вылічыце даўжыню дугі акружнасці, размешчанай унутры трохвугольніка, калі градусная мера вугла пры аснове трохвугольніка роўна 70°, а яго вышыня, праведзеная да асновы, роўна 36 см.
363. Вугал пры аснове раўнабедранага трохвугольніка роўны 75°. Вышыня, праведзеная да асновы трохвугольніка, з’яўляецца дыяметрам акружнасці. Вылічыце даўжыню гэтай вышыні, калі даўжыня дугі акружнасці, размешчанай унутры трохвугольніка, роўна 2п.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 121
364. Градусная мера аднаго з вуглоў ромба роўна 120°, a даўжыня яго меншай дыяганалі роўна 4^3 см. Дыяметрам акружнасці з’яўляецца палова большай дыяганалі ромба. Вылічыце даўжыню дугі гэтай акружнасці, якая размешчана ўнутры ромба.
365. Даўжыня гіпатэнузы прамавугольнага трохвугольніка роўна 12 см, а градусная мера яго вугла роўна 30°. На меншым катэце як на дыяметры пабудавана акружнасць. Вылічыце даўжыню дугі акружнасці, якая размешчана ўнутры трохвугольніка.
366. Асновай прамой трохвугольнай прызмы АВСАХВ1С1 з’яўляецца роўнастаронні трохвугольнік ABC. Вылічыце даўжыню акружнасці, упісанай у трохвугольнік АВВ^ калі ААг = 4 см, а даўжыня акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC, роўна 2л\/3 см (рыс. 99, а, б, в).
367. Адрэзак BF — перпендыкуляр, праведзены з вяршыні В да дыяганалі AC прамавугольніка ABCD. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля прамавугольніка, калі AFFC= 1 : 3 і АВ= 12 см.
368. Даўжыня асновы раўнабедранага трохвугольніка роўна 4\/3 см, а вышыня, праведзеная да яго асновы, у два разы меншая за бакавую старану. Гэтая вышыня з’яўляецца дыяметрам акружнасці. Вылічыце даўжыню дугі акружнасці, якая размешчана ўнутры трохвугольніка.
122
Раздзел 3, §2
369. Адрэзкі ВТ і BF — вышыні, праведзеныя з вяршыні тупога вугла ромба ABCD да яго старон. Вылічыце даўжыню акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC, калі ZABC = 120°, а адлегласць паміж асновамі праведзеных вышынь роўна 6 см.
370. Даўжыня адной са старон трохвугольніка на 2 см меншая за даўжыню другой. Вылічыце даўжыню акружнасці, упісанай у трохвугольнік, калі вышыня падзяляе трэцюю старану на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 5 см і 9 см.
371. Дыяганаль раўнабедранай трапецыі, даўжыня якой роўна 20 см, перпендыкулярна бакавой старане. Вылічыце даўжыню акружнасці, дыяметрам якой з’яўляецца сярэдняя лінія трапецыі, калі адносіна даўжынь бакавой стараны і большай асновы роўна 3 : 5.
372. Акружнасць, цэнтрам якой з’яўляецца пункт О, што ляжыць на гіпатэнузе AC прамавугольнага трохвугольніка, датыкаецца да яго старон AB і ВС у пунктах F і Е адпаведна. Вылічыце даўжыні акружнасцей, пабудаваных на адрэзках AO і CO як на дыяметрах, калі АВ = 3 см і ВС = 4 см.
373. У прамавугольны трохвугольнік упісана паўакружнасць так, што яе дыяметр ляжыць на гіпатэнузе, а цэнтр падзяляе гіпатэнузу на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 15 см і 20 см. Вылічыце даўжыню паўакружнасці.
374. У роўнастаронні трохвугольнік упісана акружнасць. Акружнасць радыуса г датыкаецца да гэтай акружнасці і дзвюх старон трохвугольніка. Знайдзіце радыус акружнасці, упісанай у трохвугольнік.
375. Праз пункт S да акружнасці праведзены прамыя Іг і 12, якія датыкаюцца да акружнасці ў пунктах A і В. Меншая акружнасць датыкаецца да гэтых прамых і дадзенай акружнасці ў пункце F. Знайдзіце даўжыню меншай акружнасці, калі градусная мера дугі AFB роўна 120°, а яе даўжыня роўна ш.
376. Акружнасць упісана ў раўнабедраную трапецыю, a яе бакавая старана пунктам дотыку падзяляецца на адрэзкі,
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 123
даўжыні якіх роўны 4 см і 9 см. Вылічыце даўжыню акружнасці, упісанай у трапецыю.
377. Вылічыце градусную меру вугла, радыянная мера якога роўна: а) 6,2; б) 2,5; в) р г) ^; д) ^; е) |л; ж) 2л.
378. Вылічыце радыянную меру вугла, градусная мера якога роўна: а) 45°; 6)60°; в) 120°; г) 75°; д) 38°; е) 52°; ж) 18°.
379. Вылічыце даўжыню дугі акружнасці радыуса 6 см, калі радыянная мера цэнтральнага вугла, які адпавядае гэтай дузе, роўна 3,4 рад.
§ 3. Плошча круга. Плошча сектара
1. Плошча круга. Разгледзім пытанне аб вылічэнні плошчы круга. Няхай у акружнасць, якая абмяжоўвае круг, упісаны правільны nвугольнік. Калі колькасць п старон правільнага nвугольніка, упісанага ў акружнасць, неабмежавана нарастае, то многавугольнік усё менш і менш адрозніваецца ад круга (рыс. 100, а, б). 3 высноў, якія даказваюцца ў курсе матэматычнага аналізу ў ВНУ, вынікае, што існуе лік, да якога імкнуцца плошчы Sn правільных пвугольнікаў, упісаных у акружнасць, пры неабмежаваным нарастанні колькасці іх старон. Гэты лік называецца плошчай круга. Такім чынам, за плошчу круга прымаецца лік, да якога імкнуцца плошчы ўпісаных у акружнасць, што абмяжоўвае гэты круг, правільных пвугольнікаў пры неабмежаваным павелічэнні колькасці іх старон.
Рыс. 100
Цяпер дакажам наступную тэарэму.
Тэарэма (аб плошчы круга). Ілошчу S круга радыуса R можна вылічыць па формуле S = nR~.
1) Няхай дадзены круг радыуса R і правільны пвугольнік АхАг...Ап_1Ап, упісаны ў акружнасць, якая абмяжоўвае гэты круг. На рысунку 100, в дадзены відарыс для выпадку п = 6. Калі Рп — перыметр упісанага многавугольніка, a гп — радыус упісанай у яго акружнасці, to Sn — плошча гэтага многавугольніка, якую знаходзяць па формуле Sn = = nS. = —Рг„. п fl П
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 125
2) Пры неабмежаваным павелічэнні колькасці п старон nвугольніка радыус гп упісанай акружнасці імкнецца да R. Сапраўды, паколькі гп = Дсоз—, то пры неабмежаваным павелічэнні колькасці старон п лік — імкнецца да нуля, а значыць, cos імкнецца да адзінкі, г. зн. г„ імкнецца п
да R. Акрамя таго, перыметр Рп імкнецца да даўжыні акружнасці, роўнай 2nR, а плошча Sn імкнецца да плошчы S круга. Такім чынам, плошча круга S= ^2nR R = nR2.
Тэарэма даказана.
2. Плошча сектара. Разгледзім пытанне аб вылічэнні плошчы часткі круга, якая называецца сектарам.
Азначэнне. Сектарам называецца частка круга, абмежаваная дугой акружнасці і двума радыусамі, што злучаюць канцы дугі з цэнтрам круга.
Дуга акружнасці, якая абмяжоўвае сектар, называецца дугой сектара.
Напрыклад, на рысунку 101, а паказаны відарысы двух сектараў, дугамі якіх з’яўляюцца дугіАТВ iAFB. На рысунку 101, б паказаны відарыс круга, які датыкаецца да ўсіх старон трохвугольніка, і відарыс двух сектараў, абмежаваных радыусамі, праведзенымі ў пункты дотыку, і адпаведнымі дугамі акружнасці.
Выведзем формулу для вылічэння плошчы S сектара радыуса R, градусная мера дугі якога роўна а. Плошча круга радыуса R роўна nR2. Такім чынам, плошча сектара, абмежа
КНІГІ ОНЛАЙН
