Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
трохвугольніка, AB = с, AC b, a. — градусная мера вугла, які ляжыць супраць стараны ВС = а?
3. Градусныя меры двух вуглоў трохвугольніка роўны a і р. Даўжыня стараны, якая ляжыць супраць вугла а, роўна т. Ці правільна, што даўжыня стараны, якая ляжыць супраць вугла В, роуна —;
sina
Суадносіны паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка 95
4. Радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка, роўны R, а градусная мера аднаго з яго вуглоў роўна ср. Ці правільна, што даўжыня стараны, якая ляжыць супраць вугла ф, роўна 2R sin (р?
5. Градусная мера вугла пры вяршыні раўнабедранага трохвугольніка роўна 120°, а даўжыня бакавой стараны роўна а. Чаму роўны радыус акружнасці, апісанай каля дадзенага трохвугольніка?
6. Градусная мера вугла пры аснове раўнабедранага трохвугольніка роўна 15°, а радыус апісанай акружнасці роўны R. Знайдзіце аснову трохвугольніка.
7. Чаму роўна плошча выпуклага чатырохвугольніка, калі яго дыяганалі ўзаемна перпендыкулярныя і іх даўжыні роўны т і п?
8. У раўнабедраным трохвугольніку даўжыня асновы роўна a, а даўжыня бакавой стараны роўна р. Знайдзіце даўжыню медыяны, праведзенай да бакавой стараны дадзенага трохвугольніка.
9. Пры якой умове плошча выпуклага чатырохвугольніка роуна ~тп, дзе т і п — даужыш дыяганален чатырохвугольніка?
ПРАВІЛЬНЫЯ МНОГАВУГОЛЬНІКІ.
ДАЎЖЫНЯ АКРУЖНАСЦІ I ПЛОШЧА КРУГА
Раздзел 3
ПРАВІЛЬНЫЯ МНОГАВУГОЛЬНІКІ.
ДАЎЖЫНЯ АКРУЖНАСЦІ I ПЛОШЧА КРУГА
§ 1. Правільныя многавугольнікі
1. Правільны многавугольнік. У папярэдніх класах ужо былі вывучаны ўласцівасці роўнастаронняга трохвугольніка і квадрата. Кожная з гэтых фігур валодае той уласцівасцю, што ў іх усе вуглы роўныя і ўсе стораны роўныя. Названыя геаметрычныя фігуры з’яўляюцца прыкладамі правільных многавугольнікаў, уласцівасці якіх і будуць разгледжаны ў дадзеным параграфе.
Азначэнне. Правільным многавугольнікам называецца выпуклы многавугольнік, у якога ўсе вуглы роўныя і ўсе стораны роўныя.
Рыс. 81
Разгледзім прыклад. Няхай ABC — роўнастаронні трохвугольнік. Падзелім кожную яго старану на тры роўныя часткі, як паказана на рысунку 81, a. Кожны з трохвугольнікаў ATS, KBF і DPC з’яўляецца роўнастароннім. Адсюль вынікае, што Z1=Z2=Z3=Z4=Z5=Z6= 180° 60° = 120°. Акрамя таго, ST = ТК = KF — FP = PD = DS. Такім чынам, шасцівугольнік TKFPDS з’яўляецца правільным.
Мадэль гэтага правільнага многавугольніка атрымаецца, калі ад аркуша паперы, які мае форму роўнастаронняга трохвугольніка, адрэзаць роўныя часткі, якія маюць форму роўнастаронніх і роўных паміж сабой трохвугольнікаў, як паказана на рысунку 81, б.
98
Раздзел 3, §1
Калі трохвугольнік ABC з’яўляецца гранню тэтраэдра ВОАС (тэтраэдр •— трохвугольная піраміда, у якой усе чатыры грані — роўныя роўнастароннія трохвугольнікі), а кожная пара пунктаў Т, К; F, Р і D, S падзяляе адпаведна канты AB, ВС ІАС на тры роўныя часткі, to TKFPDS — правільны шасцівугольнік, які ляжыць на грані ABC (рыс. 81, в).
Раней, у § 1 раздзела 1 вучэбнага дапаможніка «Геаметрыя, 8», была даказана тэарэма аб тым, што сума градусных мер вуглоў любога выпуклага пвугольніка роўна 180°(п 2). 3 даказанай тэарэмы і азначэння правільнага тгвугольніка вынікае, што градусную меру кожнага яго вугла можна „ . , 180°(п2) „
знансці па формуле а„ =. Напрыклад, для правіль
180°(62) 1ОПО , ,
нага шасцівугольніка а6 == 120 (рыс. 82, a), а для
180°(82) 1 _
правільнага васьмівугольніка а8 == 135 (рыс. 82, 0).
а) б) Рыс. 82
2. Акружнасць, апісаная каля правільнага многавугольніка. Вы ведаеце, што каля правільнага трохвугольніка і правільнага чатырохвугольніка можна апісаць акружнасць. Цяпер вывучым пытанне аб існаванні акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка.
Азначэнне. Акружнасць называецца апісанай каля многавугольніка, калі ўсе яго вяршыні ляжаць на гэтай акружнасці. Пры гэтым многавугольнік называецца ўпісаным у акружнасць.
Аказваецца, што каля любога правільнага многавугольніка можна апісаць акружнасць. Дакажам наступную тэарэму.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 99
Тэарэма 1 (аб акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка). Каля любога правільнага многавугольніка ліожна апісаць адзіную акружнасць.
Доказ.
I. Дакажам існаванне акружнасці.
1) НяхайА1А2А3...А„_1А„ — правільны многавугольнік. Дакажам, што існуе пункт, роўнааддалены ад усіх яго вяршынь. Няхай пункт О — пункт перасячэння бісектрыс вуглоў А4 і А2. Злучым пункт О адрэзкамі з усімі вяршынямі многавугольніка і дакажам, што ОА} = ОА2 = ... = ОАп _ j = ОАп (рыс. 83).
2) Паколькі ZA1 = ZA2, OAr і ОА2 — бісектрысы, то Z1 = Z2, г. зн. трохвугольнік ОА4А2 — раўнабедраны, а значыць, ОА1 = ОА2.
3) Заўважым, што трохвугольнік ОАХА2 роўны трохвугольніку ОА^ па дзвюх старанах і вугле паміж імі (А1А2=А2А3, старана ОА2 — агульная, Z2Z3). 3 роўнасці гэтых трохвугольнікаў вынікае, што ОА3 = ОА1. Таксама можна даказаць, што ОА4 = ОА2, ОА3 = ОА3 і г. д.
4) Такім чынам, ОАХ = ОА2 = ... = ОАп _ j = ОАп, г. зн. пункт О роўнааддалены ад вяршынь многавугольніка. Значыць, акружнасць co з цэнтрам у пункце О і радыуса ОА4 з’яўляецца апісанай каля многавугольніка. 3 доказу вынікае, што цэнтрам акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка, з’яўляецца пункт перасячэння бісектрыс вуглоў гэтага многавугольніка.
II. Дакажам, што апісаная акружнасць адзіная.
Няхай існуе яшчэ адна акружнасць со1; апісаная каля правільнага многавугольніка А1А2А3...Ап_1Ап. Тады гэта акружнасць з’яўляецца апісанай, напрыклад, каля трохвугольніка AjAgAg. Але каля трохвугольніка AjAgAg можна апісаць адзіную акружнасць, такім чынам, акружнасці co і coj супадаюць, г. зн. каля многавугольніка А1А2А3...Ап^1Ап можна апісаць адзіную акружнасць.
Тэарэма даказана.
100
Раздзел 3, §1
3. Акружнасць, упісаная ў правільны многавугольнік. Вядома, што ў любы правільны трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць. Разгледзім пытанне аб існаванні акружнасці, упісанай у правільны многавугольнік.
Азначэнне. Акружнасць называецца ўпісанай у многавугольнік, калі ўсе стораны многавугольніка датыкаюцца да акружнасці. Пры гэтым многавугольнік называецца апісаным каля акружнасці.
Дакажам, што ў любы правільны многавугольнік можна ўпісаць акружнасць.
Тэарэма 2 (аб акружнасці, упісанай у правільны. многавугольнік). У любы правільны многавугольнік ліожна ўпісаць адзіную акружнасць.
I. Дакажам існаванне акружнасці.
1) НяхайА1А2А3...А„_1А„ — правільны многавугольнік. Дакажам, што існуе пункт, роўнааддалены ад прамых, якія змяшчаюць стораны многавугольніка (рыс. 84).
2) Няхай пункт О — цэнтр апісанай каля многавугольніка акружнасці. Цяпер правядзём вышыні OF^, OF2, ..., OF,,^, OFn адпаведна трохвугольнікаў
Рыс. 84
ОА^, OA^g, ..., ОА,^. Як было даказана ў папярэдняй тэарэме, гэтыя трохвугольнікі роўныя паміж сабой, значыць, роўныя іх вышыні, г. зн. OF{ = OF2 = ... = OF,,.
3) Такім чынам, акружнасць co з цэнтрам у пункце О радыуса OFr праходзіць праз пункты Fr, F2, ..., Fn і датыкаецца да старон многавугольніка ў гэтых пунктах, г. зн. гэтая акружнасць упісана ў правільны многавугольнік ^■і^г^з'^п і^л'
Заўважым таксама, што цэнтр О упісанай у правільны многавугольнік акружнасці з’яўляецца пунктам перасячэння пасярэдніх перпендыкуляраў да старон многавугольніка.
Падкрэслім, што для правільнага многавугольніка цэнтр упісанай акружнасці супадае з цэнтрам апісанай акружнасці.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 101
II. Дакажам, што ўпісаная акружнасць адзіная.
Дапусцім, што існуе яшчэ адна акружнасць со1; упісаная ў правільны многавугольнік А1А2А3...Ап_1Ап. Тады цэнтр Oj гэтай акружнасці роўнааддалены ад старон многавугольніка, г. зн. пункт Ог ляжыць на кожнай з бісектрыс вуглоў многавугольніка, а значыць, супадае з пунктам О перасячэння гэтых бісектрыс. Радыус гэтай акружнасці роўны адлегласці ад пункта О да старон многавугольніка, г. зн. ён роўны OF^ Значыць, акружнасці <в і coj супадаюць.
Тэарэма даказана.
Цэнтрам правільнага многавугольніка называецца цэнтр яго ўпісанай і апісанай акружнасцей.
4. Выражэнне элементаў nвугольніка праз радыус упісанай або апісанай акружнасцей. Няхай S — плошча правільнага nвугольніка, ап — даўжыня яго стараны, Р — перыметр, ar 1R — радыусыўпісанайіапісанай акружнасцей
адпаведна.
1) Плоійчу S правільнага nвугольніка, апісанага каля
акружнасці, можна знайсці, ведаючы перыметр Р і радыус г
упісанай акружнасці, па формуле S= — Рг.
Рыс. 85
Злучым цэнтр О правільнага многавугольніка з яго вяршынямі (рыс. 85, а). Тады многавугольнік разбіваецца на п роўных трохвугольнікаў, плошча кожнага з якіх роўна |а/. Такім чынам, S= n ^пг = ^(пап)г = ^г
Што і трэба было даказаць.
102
Раздзел 3, §1
2) Даўжыню стараны ап правільнага пвугольніка можна знайсці, ведаючы радыус г упісанай акружнасці, па формуле ап = 2rtg^.
Злучым цэнтр многавугольніка з вяршынямі А1 і А2 і правядзём вышыню OF раўнабедранага трохвугольніка ОАГА2 (рыс. 85, б). Паколькі многавугольнік правільны, to ZAYOA2 = _ 360°. у раўнабедраным трохвугольніку ОАгА2 вышыня OF, п
праведзеная да асновы, з’яўляецца бісектрысай, значыць, ZA,OF = ^^. Такім чынам, a=A1A2 = 2A1F=OFtg^^ = п п
= 2rtg^. п
Што і трэба было даказаць.
Паколькі S=Pr і an=2rtg±^, то плошча S = = пгЧё^. а п
3) Даўжыню стараны ап правільнага пвугольніка можна знайсці, ведаючы радыус R апісанай акружнасці, па формуле ап = 2Язт^.
Рыс. 86
Няхай OF ■— вышыня раўнабедранага трохвугольніка ОАгА2 (рыс. 86, а). Тады ZA}OF = ^ZArOA2 = ^. У прамавугольным трохвугольніку АДО АД = ОА^ sin^^ = = Д sin180 . Такім чынам, ап = 2АД = 2Дsin 180 . п п
Што і трэба было даказаць.
Правільныя многавугольнікі. Даўжыня акружнасці і плошча круга 103
Для правільнага трохвугольніка (п = 3), квадрата (п = 4) і правільнага шасцівугольніка (п = 6) атрымаем адпаведна формулы: а3 = Ry/З; аі = R\i2; а6 = R.
4) Плошчу S правільнага пвугольніка можна знайсці, ведаючы радыус R апісанай акружнасці, па формуле
О — — Л IL ЫІІ. 2 п
Злучым вяршыні правільнага пвугольніка з яго цэнтрам (рыс. 86, б). Тады многавугольнік разаб’ецца на п роўных трохвугольнікаў. Значыць, S = nS0AiA2 = n[~OA1 'O^sintpj = = n(^R2 sin—= ifi2nsin— . Што і трэба было даказаць.
КНІГІ ОНЛАЙН
