Геаметрыя
вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агульн. сярэдн. адукац. з беларус. мовай навучання
Выдавец: Народная асвета
Памер: 165с.
Мінск 2012
Задача 7 (знаходжанне элементаў трохвугольніка па даўжынях дзвюх старон і градуснай меры вугла паміж імі). Вядомы даўжыні a і b дзвюх старон ВС і AC трохвугольніка і градусная мера а вугла паміж імі. Знайдзіце невядомыя элементы трохвугольніка (рыс. 78).
B
Рыс. 78
Р аш э н н е.
1) У трохвугольніку ABC АС = а, ВС = a і AC = b. Па тэарэме косінусаў знойдзем
AB = \la2 +b2 2abcosa.
2) Па тэарэме сінусаў запішам a _ АВ
sin A sina '
Адсюль знойдзем sin A = а^а .
3) Ведаючы sin А, знойдзем градус
ную меру вугла А, а затым знойдзем АВ = 180° (АА + AC).
А д к а з: с = Ja2 + b2 2abcosa , sin A = asin“, ZB = 180°
(AA + ZC). c
Задача 8 (знаходжанне элементаў трохвугольніка па даўжыні стараны і градусных мерах двух прылеглых да яе вуглоў). Вядомы даўжыня а стараны ВС трохвугольніка ABC і градусныя меры у і Р двух прылеглых да яе вуглоў. Знайдзіце невядомыя элементы трохвугольніка.
Суадносіны паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка 89
Рашэнне.
1) У трохвугольніку ABC ВС = а, ZB = p, АС = у, тады ZA = 180°(р + у) (рыс. 79, а).
2) Па тэарэме сінусаў мае месца роўнасць а =
. _ sinA snip
л л asinp
Адсюль знондзем AC =
81П^ AR
3) Аналагічна па тэарэме сінусаў = ——. Адсюль
sin A siny
АВ = ^1.
sinA . „
A Z A \ a Ct Silly
Адказ: ZA = 180°(p + y), AC = ——AB = ■ .
sin A sin A
Задача 9 (знаходжанне элементаў трохвугольніка па даўжынях дзвюх старон і градуснай меры вугла, процілеглага адной з іх). Вядомы даўжыні а і & адпаведна старон ВС і AC трохвугольніка ABC і градусная мера a вугла, процілеглага старане ВС. Знайдзіце невядомыя элементы трохвугольніка.
1) У трохвугольніку ABC ВС = a, AC bi A A = a (рыс. 79, C). Знойдзем сінус вугла В. Па тэарэме сінусаў = —.
sinB sina
Адсюль знойдзем sinB = САСС. Калі sinB < 1, то задача мае рашэнне, калі sin В > 1, то задача не мае рашэння. Магчыма, што задачу задавальняюць два значэнні вугла, г. зн. задача мае два рашэнні.
2) Цяпер можам знайсці ZC = 180° (ZB + ZA).
3) Знойдзем даўжыню стараны АВ. Па тэарэме сінусаў B^L А. Адсюль знойдзем АВ = ^®іпС. sinC sina sina
Адказ: sinB = ^^, ZC = 180° (ZB + ZA), AB =
a sina
Задача 10 (знаходжанне градусных мер вуглоў трохвугольніка па даўжынях трох старон). Вядомы даўжыні а, b і с адпаведна старон ВС, AC і АВ трохвугольніка ABC. Знайдзіце невядомыя элементы трохвугольніка.
1) У трохвугольніку ABC AB = с, ВС = a, AC = b. Па тэарэл Ь2 + с2а2
ме косінусау знондзем cos A =—.
2) Сінус вугла В знойдзем па тэарэме сінусаў: sinB = ^АЧЛ.
3) Цяпер знойдзем ZС = 180° (ZA + ZВ).
2 2 2
Адказ: созА = Ц^, зіпВ = ^л, ZC= 180°2 co a
(АА + АВ).
90
Раздзел 2, §2
Задачы да § 2
248. У трохвугольніку даўжыні дзвюх старон роўны 3 см і 8 см, а градусная мера вугла паміж гэтымі старанамі роўна 120°. Вылічыце даўжыню трэцяй стараны трохвугольніка.
249. Вылічыце даўжыню стараны трохвугольніка, якая ляжыць супраць вугла, градусная мера якога 135°, а даўжыні дзвюх іншых старон роўны V2 см і 5 см.
250. У трохвугольніку ABC градусная мера вугла В роўна 60°, АВ = 2 cm, AC = V7 см. Вылічыце даўжыню стараны ВС.
251. Даўжыні дзвюх старон трохвугольніка роўны 6 см і 10 см, а градусная мера вугла паміж гэтымі старанамі роўна 60°. Вылічыце перыметр трохвугольніка.
252. Даўжыні старон трохвугольніка роўны 3 см, 5 см і 7 см. Вылічыце градусную меру вугла трохвугольніка, процілеглага большай старане.
253. Даўжыня адной са старон трохвугольніка роўна 13 см, дзве іншыя ўтвараюць вугал, градусная мера якога роўна 120°, а іх даўжыні адносяцца як 7 : 8. Вылічыце даўжыні гэтых старон.
254. Вылічыце даўжыні дыяганалей паралелаграма, калі даўжыні яго старон роўны 3^2 см і 7 см, а градусная мера аднаго з яго вуглоў роўна 135°.
255. Даўжыня адной са старон паралелаграма роўна 2 см, а яго плошча — 4 см2. Вылічыце даўжыню большай дыяганалі паралелаграма, калі градусная мера аднаго з яго вуглоў роўна 30°.
256. Градусная мера вугла паралелаграма роўна 150°, a даўжыня адной з яго старон — 2^3 см. Вылічыце плошчу паралелаграма, калі даўжыня яго большай дыяганалі роўна ТЗЗ см.
257. Даўжыні старон трохвугольніка роўны 5 см, 12 см і 13 см. Вылічыце вышыню трохвугольніка, праведзеную да большай стараны.
Суадносіны паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка 91
258. Градусная мера вугла паралелаграма роўна 45°, a даўжыні старон — 17 см і 7\/2 см. Вылічыце даўжыню большай дыяганалі паралелаграма і яго плошчу.
259. Даўжыні сумежных старон паралелаграма роўны а і b, а градусная мера аднаго з яго вуглоў роўна а. Знайдзіце даўжыні дыяганалей паралелаграма.
260. Даўжыні дыяганалей паралелаграма роўны dx і d2, a градусная мера вугла паміж дыяганалямі роўна <р. Знайдзіце даўжыні старон паралелаграма.
261. Градусная мера аднаго з вуглоў паралелаграма роўна 120°. Бісектрыса гэтага вугла падзяляе старану паралелаграма на адрэзкі, даўжыні якіх 15 см і 10 см, лічачы ад вяршыні вострага вугла. Вылічыце даўжыню большай дыяганалі паралелаграма.
262. У раўнабедраным трохвугольніку ABC градусная мера вугла пры вяршыні С роўна 120°, а даўжыня асновы АВ= 2х/1К см. Вылічыце даўжыню медыяны AF.
263. У раўнабедраным трохвугольніку ABC градусная мера вугла пры вяршыні В роўна 120°, даўжыня медыяны AT роўна 7 см. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка ABC.
264. У паралелаграме ABCD дыяганаль BD перпендыкулярна старане ВС. Вылічыце даўжыню другой дыяганалі паралелаграма, калі A BAD = 60° і BD = 4 см.
265. Градусная мера вугла А паралелаграма ABCD роўна 60°. Вылічыце даўжыню большай дыяганалі паралелаграма, калі вышыня, праведзеная да стараны AD, роўна 7з см і AD = 1 см.
266. Даўжыні старон трохвугольніка роўны 5 см, 7 см і 8 см. Вылічыце градусную меру вугла, які ляжыць супраць сярэдняй стараны трохвугольніка, і радыус апісанай каля яго акружнасці.
267. Перыметр трохвугольніка роўны 15 см, а даўжыня адной з яго старон роўна 7 см. Вылічыце градусную меру
92
Р а з д з е л 2, §2
вугла, процілеглага дадзенай старане, калі бісектрыса трохвугольніка падзяляе яе ў адносіне 3 : 5.
268. У востравугольным трохвугольніку ABC даўжыні старон AB і ВС роўны адпаведна 7з см і 4 см. Вылічыце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка, калі яго плошча роўна 7з см2.
269. Асновай прамой трохвугольнай прызмы АВСА1В1С1 з’яўляецца прамавугольны трохвугольнік ABC, у якім ZC = 90°, ZA = 60°, а даўжыня бісектрысы AF роўна 4 см. Вылічыце плошчу грані ААГВХВ, калі радыус апісанай каля гэтай грані акружнасці роўны 4 см (рыс. 80, а, б).
270. Вылічыце плошчу трапецыі, калі даўжыні яе асноў роўны 6 см і 7 см, а даўжыні дыяганалей роўны 5 см і 12 см.
271. Градусная мера вугла паралелаграма роўна 60°, рознасць даўжынь яго сумежных старон роўна 2 см, а даўжыня большай дыяганалі роўна 7 см. Вылічыце даўжыню меншай дыяганалі і плошчу паралелаграма.
272. Плошча паралелаграма, градусная мера вугла якога 120°, роўна 40Тз cm2, а рознасць даўжынь яго сумежных старон роўна 11 см. Вылічыце даўжыні дыяганалей паралелаграма.
273. Рашыце трохвугольнік ABC, калі АВ = 7з см, ZA = 45°, ZB = 75°.
Суадносіны паміж старанамі і вугламі адвольнага трохвугольніка 93
274. Знайдзіце невядомыя элементы трохвугольніка ABC, калі ВС = 3^2 cm, AC = 1 cm, Z С = 135°.
275. Рашыце трохвугольнік ABC, калі АВ = 8\/2 см, ВС = 10 cm і ZA = 45°.
276. Даўжыня адной са старон паралелаграма на 4 см большая за даўжыню другой. Вылічыце перыметр паралелаграма, калі адна з яго дыяганалей утварае са старанамі паралелаграма вуглы, градусныя меры якіх роўны 30° і 45°.
277. Вяршыні трохвугольніка падзяляюць апісаную каля яго акружнасць на дугі, градусныя меры якіх адносяцца як 1:2:3. Вылічыце радыус акружнасці, калі даўжыня найменшай стараны роўна 8 см.
278. Даўжыні старон трохвугольніка роўны а,Ыс,а даўжыні яго медыян, праведзеных адпаведна да гэтых старон, роўны та, ть і тс. Дакажыце, што т2 + mf + т2 = ^(а2 + Ь2 + с2).
279. У паралелаграме ABCD даўжыня дыяганалі BD большая за даўжыню бакавой стараны АВ на 8 см, а вышыня, праведзеная з вяршыні В да стараны AD, падзяляе яе на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 8 см і 20 см. Вылічыце даўжыню большай дыяганалі паралелаграма.
280. Вылічыце плошчу паралелаграма, калі даўжыні яго старон роўны 6 см і 4 см, а градусная мера вугла паміж дыяганалямі роўна 60°.
281. Вылічыце даўжыні дыяганалей паралелаграма ABCD, калі даўжыні старон AB iAD роўны адпаведна 13 см і 16 см, а даўжыня медыяны BF трохвугольніка ABD роўна 9 см.
282. У паралелаграме ABCD старана АВ роўна дыяганалі BD. Каля трохвугольніка ABD апісана акружнасць, якая падзяляе большую дыяганаль паралелаграма на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 65 см і 16 см. Вылічыце даўжыні старон паралелаграма.
283. Градусная мера вострага вугла паралелаграма роўна а. Знайдзіце плошчу паралелаграма і даўжыні яго дыяганалей,
94
Раздзел 2, §2
калі min — адлегласць ад пункта перасячэння дыяганалей да прамых, што змяшчаюць стораны паралелаграма.
284. Даўжыні старон трохвугольніка роўны 11 см, 12 см і 13 см. Вылічыце даўжыню медыяны, праведзенай да большай стараны.
285. Даўжыня большай дыяганалі паралелаграма роўна 14 см, а меншая падзяляецца перпендыкулярам, праведзеным з вяршыні вострага вугла, на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 2 см і 6 см. Вылічыце даўжыні старон паралелаграма.
286. Даўжыні дзвюх старон трохвугольніка роўны 3 см і 5 см, а даўжыня медыяны, праведзенай да трэцяй стараны, роўна 3,5 см. Вылічыце градусную меру вугла трохвугольніка паміж зададзенымі старанамі.
287. У трохвугольнік упісана акружнасць радыуса 3 см. Вылічыце даўжыні старон трохвугольніка, калі адна з іх падзяляецца пунктам дотыку на адрэзкі, даўжыні якіх роўны 3 см і 4 см.
288*. Паралелаграм РТКЕ размешчаны так, што яго вяршыні Е і К ляжаць на старане AC трохвугольніка ABC, вяршыні Р і Т — на старанах AB і ВС адпаведна, а дыяганалі паралельны старанам. Вылічыце даўжыні старон трохвугольніка, калі ЕК = 3 см, РЕ = 5 см, РК = 6 см.
Пытанні да другога раздзела
1. Плошча трохвугольніка ABC роўна 3 см2, а даўжыні дзвюх яго старон роўны 2 см і 6 см. Ці правільна, што градусная мера вугла паміж дадзенымі старанамі роўна 60°?
2. Ці правільна, што сінус вугла трохвугольніка ABC можна знайсці па формуле sin a = дзе S — плошча ао
КНІГІ ОНЛАЙН
